初中数学中考复习 精品解析：2022年湖南省岳阳市中考数学真题（解析版）

2022年湖南省岳阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 8的相反数是（    ）

A.  B.  C. 8 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．

【详解】解：8的相反数是-8．
故选：D．

【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．

2. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（    ）

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱

【答案】C

【解析】

【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．

【详解】解：A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；

B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；

C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；

D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握棱柱的底面是边形是解题的关键．

3. 下列运算结果正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据同底数幂的乘法判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．

【详解】解：A选项，原式，故该选项符合题意；

B选项，原式，故该选项不符合题意；

C选项，原式，故该选项不符合题意；

D选项，原式，故该选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握是解题的关键．

4. 某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量（单位：袋）分别为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是（    ）

A. 105，108 B. 105，105 C. 108，105 D. 108，108

【答案】B

【解析】

【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．

【详解】解：将这组数据重新排列为103，105，105，105，108，108，110，

这组数据出现次数最多的是105，

所以众数为105，

最中间的数据是105，

所以中位数105，

故选：B．

【点睛】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

5. 如图，已知，于点，若，则的度数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．

【详解】解：在中，，，

则，

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

6. 下列命题是真命题的是（    ）

A. 对顶角相等

B. 平行四边形的对角线互相垂直

C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点

D. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形

【答案】A

【解析】

【分析】根据对顶角性质判断A，根据平行四边形的性质判断B，根据三角形的内心定义判断C，根据全等三角形的判定定理判断D．

【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A符合题意；

B.菱形对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B不符合题意；

C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C不符合题意；

D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．

7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（    ）

A. 25 B. 75 C. 81 D. 90

【答案】B

【解析】

【分析】设城中有户人家，利用鹿的数量城中人均户数城中人均户数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】解：设城中有户人家，

依题意得：，

解得：，

∴城中有75户人家．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

8. 已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．

【详解】解：∵二次函数，

∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，

∵点是该函数图象上一点，当时，，

∴①当时，对称轴，

此时，当时，，即，

解得；

②当时，对称轴，

当时，随增大而减小，

则当时，恒成立；

综上，的取值范围是：或．

故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数性质，关键是分情况讨论．

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

9. 使有意义的的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．

【详解】解：根据题意得，

解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数得出不等式．

10. 2022年5月14日，编号为B-001J的大飞机首飞成功．数据显示，大飞机的单价约为65300000元，数据653000000用科学记数法表示为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．

11. 如图，在中，，于点，若，则______．

【答案】3

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴，

故答案为：3．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．

12. 分式方程的解为______．

【答案】2

【解析】

【分析】去分母，移项、合并同类项，再对所求的根进行检验即可求解．

【详解】解：，

，

，

经检验是方程的解．

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．

13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可．

【详解】解：根据题意得，

解得，

所以实数的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

14. 聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A（节日文化篇），（安全防疫篇），（劳动实践篇），（冬奥运动篇）下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则类作业有______份．

【答案】20

【解析】

【分析】由条形统计图可得A，，类作业分别有25份，30份，25份，由扇形统计图可得类作业份数占总份数的，可得总份数为份，减去A，，类作业的份数即可求解．

【详解】解：∵类作业有30份，且类作业份数占总份数的，

∴总份数为：（份），

∵A，类作业分别有25份，25份，

∴类作业的份数为：（份）．

故答案为：20．

【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是能够根据统计图提取所需信息．

15. 喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为______米（结果保留整数，参考数据：）．

【答案】87

【解析】

【分析】过点作，垂足为，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答．

【详解】解：过点作，垂足为，

 设米，

在中，，

∴（米），

在中，，

∴（米），

∵米，

∴，

∴，

∴，

∴米，

∴点到赛道的距离约为87米，

故答案为：87．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

16. 如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．

（1）若，则的长为______（结果保留）；

（2）若，则______．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】（1）根据圆周角定理求出∠AOD=70°，再利用弧长公式求解；

（2）解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性质求出DE，BE，可得结论．

【详解】解：（1）∵，

∴的长；

故答案为：；

（2）连接，

∵是切线，是直径，

∴，

∴，

∵是直径，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质及判定定理，正确寻找相似三角形解决问题是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共64分）

17. 计算：．

【答案】1

【解析】

【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．

18. 已知，求代数式的值．

【答案】-2

【解析】

【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．

【详解】解：

，

∵，

∴，

∴原式．

【点睛】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键．

19. 如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形．

（1）你添加的条件是______（填序号）；

（2）添加了条件后，请证明为菱形．

【答案】（1）①    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）添加合适的条件即可；

（2）证，得，再由菱形的判定即可得出结论．

【小问1详解】

解：添加的条件是．

故答案为：①．

【小问2详解】

证明：∵四边形是平行四边形，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴为菱形．

【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．

20. 守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．

（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为______；

（2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

【小问1详解】

将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，

则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为，

故答案为：；

【小问2详解】

将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，

列表如下：

由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有2种结果，

所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为．

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

21. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）求的面积；

（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）4    （3）或

【解析】

【分析】（1）把点代入可得的值，求得反比例函数的解析式；

（2）根据对称性求得、的坐标然后利用三角形面积公式可求解．

（3）根据图象得出不等式的解集即可．

【小问1详解】

解：把点代入得：，

∴，

∴反比例函数的解析式为；

【小问2详解】

∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，

∴，

∵点是点关于轴的对称点，

∴，

∴，

∴．

【小问3详解】

根据图象得：不等式的解集为或．

【点睛】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．

22. 为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元．

（1）求，两种跳绳的单价各是多少元？

（2）若该班准备购买，两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买种跳绳多少根？

【答案】（1）A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元   

（2）至多可以购买种跳绳20根

【解析】

【分析】（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．由题意：若购买3根种跳绳和1根种跳绳共需元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．

【小问1详解】

解：设A种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．

根据题意得：，

解得：，

答：A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元．

【小问2详解】

设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根，

由题意得：，

解得：，

答：至多可以购买种跳绳20根．

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，正确列出一元一次不等式．

23. 如图，和的顶点重合，，，，．

（1）特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；

（2）探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．

【答案】（1） ，垂直   

（2）成立，理由见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）解直角三角形求出，，可得结论；

（2）结论不变，证明，推出，，可得结论；

（3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点求出，，可得结论．

【小问1详解】

解：在中，，，，

∴，

在中，，，

∴，

∴，，

∴，此时，

故答案为：，垂直；

【小问2详解】

结论成立．

理由：∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

【小问3详解】

如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点．

∵，，

∴，

∴．

∵，

∴，，

当时，四边形是矩形，

∴，，

设，则，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；

（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．

①求点和点的坐标；

②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）①或；②12

【解析】

【分析】（1）将点和点代入，即可求解；

（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；

（3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可；

②求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的最大值4，的最大值2，即可求解．

【小问1详解】

解：将点和点代入，

∴，解得，

∴．

【小问2详解】

∵，

∴抛物线的顶点，

∵顶点关于原点的对称点为，

∴抛物线的解析式为，

∴．

【小问3详解】

由题意可得，抛物线的解析式为，

①联立方程组，

解得或，

∴或；

②设直线的解析式为，

∴，解得，

∴，

过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示：

设，，

则，，

∴，

，

∵，，

∴当时，有最大值，

当时，有最大值，

∵，

∴当最大时，四边形面积的最大值为12．

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．