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初中数学中考复习 精品解析：江苏省镇江市2021年中考数学真题试卷（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 精品解析：江苏省镇江市2021年中考数学真题试卷（解析版），共32页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省镇江市中考数学试卷
一、填空题（本大题共12小题）
1. 的绝对值是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据绝对值的定义计算即可．
【详解】解：|-5|=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，掌握知识点是解题关键．
2. 使有意义x的取值范围是__．
【答案】x≥7
【解析】
【分析】直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案．
【详解】解：有意义，则x﹣7≥0，
解得：x≥7．
故答案为：x≥7．
【点睛】]此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式被开方数是非负数是解题关键．
3. 8的立方根是___．
【答案】2
【解析】
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【详解】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的定义．
4. 如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是__．
【答案】120°
【解析】
【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．
【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，
则6x＝(6﹣2)•180°，
解得x＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
5. 一元二次方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据x（x-1）=0得到两个一元一次方程x=0，x-1=0，求出方程的解即可．
【详解】x(x−1)=0，
x=0或x+1=0，
故答案为x=0或x=-1.
【点睛】此题考查解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键在于运用因式分解法.
6. 小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是__分．
【答案】96
【解析】
【分析】根据加权平均数的公式计算可得．
【详解】解：小丽的平均成绩是＝96（分），
故答案为：96．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求100，90这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．
7. 某射手在一次训练中共射出了10发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中位数是__环．
【答案】9
【解析】
【分析】根据统计图中的数据，可以得到中间的两个数据是9，9，然后计算它们的平均数即可得到相应的中位数．
【详解】解：由统计图可得，
中间的两个数据是9，9，故射击成绩的中位数是（9+9）÷2＝9（环），
故答案为：9．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数，会计算一组数据的中位数．
8. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝()2＝，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
9. 如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．
【答案】
【解析】
【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答．
【详解】解：连接PQ，AM，
由图形变换可知：PQ＝AM，
由勾股定理得：AM＝，
∴PQ＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．
10. 已知一次函数的图象经过点(1，2)，且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式__．（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】y＝﹣x+3
【解析】
【分析】由函数值y随自变量x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，取k＝﹣1，由一次函数的图象经过点（1，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出2＝﹣1+b，解之即可得出b值，进而可得出符合条件的一次函数表达式．
【详解】解：设一次函数表达式为y＝kx+b．
∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k＜0，取k＝﹣1．
又∵一次函数的图象经过点（1，2），
∴2＝﹣1+b，
∴b＝3，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+3．
故答案为：y＝﹣x+3．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
11. 一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．
【答案】3
【解析】
【分析】分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．
【详解】解：（1）假设袋中红球个数为1，
此时袋中由1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
（2）假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，
（3）假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为__．
【答案】9
【解析】
【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．
【详解】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，
∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形，
∴∠PBD＝30°，
过点P作PH⊥BD于点H，
∴BH＝DH，
∵cos30°＝＝，
∴BH＝BP，
∴BD＝BP，
∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，
过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝BC＝3，
∵cos∠ABC＝，
∴，
∴AB＝9，
∴BD最大值为：BP＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BD=BP是解题的关键．
二、选择题（本大题共6小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
13. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A. 正方形 B. 长方形 C. 三角形 D. 圆
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．
【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的概念是正确判断的前提．
14. 2021年1﹣4月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿元，其中25900用科学记数法表示为（ ）
A. 25.9×103 B. 2.59×104 C. 0.259×105 D. 2.59×105
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：25900＝2.59×104，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要定a的值以及n的值．
15. 如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A. 27° B. 29° C. 35° D. 37°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16. 如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）
A. 1840 B. 1921 C. 1949 D. 2021
【答案】D
【解析】
【分析】把1921代入程序中计算，判断即可得到结果．
【详解】解：把1921代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000，
把﹣131代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000，
则输出结果为1921+100＝2021．
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
17. 设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A. 有最大值π B. 有最小值π C. 有最大值π D. 有最小值π
【答案】C
【解析】
【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π(r﹣)2+π，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵2r+l＝6，
∴l＝6﹣2r，
∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，
∴当r＝时，S侧有最大值．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:是解题的关键．
18. 如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A. A1 B. B1 C. A2 D. B3
【答案】B
【解析】
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
三、解答题（本大题共10小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：（1﹣）0﹣2sin45°+；
（2）化简：（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x．
【答案】（1）1；（2）x2
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：（1）（1﹣）0﹣2sin45°+
＝1﹣2×
＝1．
（2）（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x
＝（x+1）（x﹣1）÷﹣x
＝（x+1）（x﹣1）•﹣x
＝x（x+1）﹣x
＝x2．
【点睛】本题考查整式的运算以及分式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则．
20. （1）解方程：﹣＝0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）x＝6；（2）x＞2
【解析】
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）﹣＝0
去分母得：3（x﹣2）﹣2x＝0，
去括号得：3x﹣6﹣2x＝0，
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）＝24≠0，
∴分式方程的解为x＝6；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解本题的关键．
21. 甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得：
共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，
所以这三人在同一个献血站献血的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适台两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：；
（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝ °时，四边形BFDE是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性子和“SAS”可证△ABE≌△CDF；
（2）先证明四边形BFDE是平行四边形，再通过证明BE＝DE，可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形，
理由如下：∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，AE=CF，
∴BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1=30°，∠2=20°，
∴∠ABD=∠1-∠2=10°，
∴∠DBE=20°，
∴∠DBE=∠EDB=20°，
∴BE=DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为10．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键．
23. 《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱
【解析】
【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24. 如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．
年份
我国大陆人口总数
其中具有大学文化程度的人数
每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数
1990年
1133682501
16124678
1422
2000年
1265830000
45710000
3611
2010年
1339724852
119636790
8930
2020年
1411778724
218360767
15467
（1）设下一次人口普查我国大陆人口共a人，其中具有大学文化程度有b人，则该次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ；（用含有a，b的代数式表示）
（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到1°）
（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）
【答案】（1）；（2）56°；（3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况
【解析】
【分析】（1）根据“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的意义求解即可；
（2）求出2020年，“具有大学文化程度的人数”所占总人数的百分比，即可求出相应的圆心角度数；
（3）根据“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义得出结论．
【详解】解：（1）由题意得，下一次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为，
故答案为：；
（2）360°×≈56°，
答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为56°；
（3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况．
【点睛】本题考查扇形统计图,频数分布表，掌握扇形统计图的制作方法是正确解答的前提，理解“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义是正确判断的关键．
25. 如图，点A和点E(2，1)是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3）(，)
【解析】
【分析】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；
（2）根据AAS可证△BDF≌△ACF，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
（3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．
【详解】解：（1）∵点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，
∴＝1，
解得k＝2，
故答案为：2；
（2）在△BDF和△ACF中，
，
∴△BDF≌△ACF（AAS），
∴S△BDF＝S△ACF，
即a×（﹣m）＝a×（+m），
整理得am＝﹣2；
（3）设A点坐标为（a，），
则C（0，），D（0，﹣），
∵E（2，1），∠CED＝90°，
∴CE2+DE2＝CD2，
即22+（1﹣）2+22+（1+）2＝（+）2，
解得a＝﹣2（舍去）或a＝，
∴A点的坐标为(，)．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
26. 如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．
【答案】（1）相切，见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径半径，可得结论．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论．
【详解】解：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHED矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH＝OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．
∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直径，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
设PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×4×8＝×4×x+×4×x，
∴x＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形、相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的证明方法：已知垂直证半径，已知半径证垂直，利用三角形面积不同的表示方法构建方程解决问题是难点．
27. 将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(﹣6，0)，点B(0，2)，点C(﹣4，8)，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是 ．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当PDQ∼PMN时，求点Q的坐标．
【答案】（1）y＝，D(﹣4，﹣)；（2）①见解析；②A，D；③(2，)或(﹣10，)
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①根据要求作出图形即可．
②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想办法证明△PMN是等腰直角三角形，可得结论．
③设P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，推出Q（﹣+m，m），构建方程求出m即可．
【详解】解（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A(﹣6，0)，点B(0，2)，且抛物线的对称轴经过点C(﹣4，8)，
∴，
解之得：，
∴y＝，
∴当x＝﹣4时，y＝＝﹣，
∴D(﹣4，﹣)．
（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．
②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．
由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），
∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝x+2，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，
由，解得，
∴M（，），
由．解得，
∴N（，），
∴Q（（，），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴＝，故选项D正确，B，C错误，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，
∴折痕与AB垂直，故选项A正确，
故答案为：A，D．
③设P（﹣4，m）．
∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，
∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），
把Q的坐标代入，得到，，
整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，
解得m＝或﹣（舍弃），
∴Q（2，），
根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(2，)或(﹣10，)．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明△PMN是等腰直角三角形是本题的突破点．
28. 如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）
【思考】
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．
【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．
（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 ．
【答案】【活动】见解析；【思考】是；【应用】（1）①；②；（2）＜t＜
【解析】
【分析】[活动]如图1，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线；
[思考]如图2，证明△OQN≌△OPM（AAS），根据割补法可得直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线；
[应用]
（1）①建立平面直角坐标系，分两种情况：如图3﹣1和3﹣2，根据中点坐标公式和待定系数法可得面积平分线的解析式，并计算P和Q的坐标，利用两点的距离公式可得PQ的长，并比较大小可得结论；
②当GH⊥AB时，GH最小，设BG＝x，根据面积相等列方程，解出即可；
（2）如图5，由已知得：CD＝tAF，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，列不等式可得t的取值．
【详解】解：【活动】如图1，直线O1O2是该L图形的面积平分线；
【思考】如图2，∵∠A＝∠B＝90°，
∴AF∥BC，
∴∠NQO＝∠MPO，
∵点O是MN的中点，
∴ON＝OM，
在△OQN和△OPM中，
，
∴△OQN≌△OPM（AAS），
∴S△OQN＝S△OPM，
∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，
∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，
即SABPON＝SCDEFQOM，
∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，
即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，
∴直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线．
故答案为：是；
【应用】（1）①如图3﹣1，以直线OC为x轴，OA为y轴，以B为原点，建立平面直角坐标系，同理确定L图形ABCDEF的面积平分线：直线O1O2，
∵AB＝4，BC＝6，AF＝CD＝1，
∴B（0，0），F（1，4），D（6，1），K（1，0），
∴线段BF的中点O1的坐标为（，2），线段DK的中点O2的坐标为（，），
设直线O1O2的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线O1O2的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝，
∴Q（，0），
当y＝1时，﹣x+＝1，解得：x＝，
∴P（，1），
∴PQ＝＝；
如图3﹣2，同理确定平面直角坐标系，画出L图形ABCDEF的面积平分线：直线O3O4，
∵G（0，1），F（1，4），C（6，0），
∴线段GF的中点O3的坐标为（，），线段CG的中点O4的坐标为（3，），
设直线O3O4的解析式为：y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线O3O4的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝，
∴Q（，0），
当y＝1时，﹣x+＝1，解得：x＝，
∴P（，1），
∴PQ＝＝；
∵＜；
∴PQ长的最大值为；
②如图4，当GH⊥AB时GH最短，过点E作EM⊥AB于M，
设BG＝x，则MG＝1﹣x，
根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，
解得x＝，即BG＝；
故答案为：；
（2）∵＝t（t＞0），
∴CD＝tAF，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，
如图5，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，
即（4﹣tAF）•AF＜6t•AF，
∴，
∵0＜AF＜6，
∴0＜﹣6＜6，
∴．
故答案为：＜t＜．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．
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2021年江苏省镇江市中考数学试卷
一、填空题（本大题共12小题）
1. 的绝对值是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据绝对值的定义计算即可．
【详解】解：|-5|=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了绝对值的定义，掌握知识点是解题关键．
2. 使有意义x的取值范围是__．
【答案】x≥7
【解析】
【分析】直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案．
【详解】解：有意义，则x﹣7≥0，
解得：x≥7．
故答案为：x≥7．
【点睛】]此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式被开方数是非负数是解题关键．
3. 8的立方根是___．
【答案】2
【解析】
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【详解】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的定义．
4. 如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是__．
【答案】120°
【解析】
【分析】多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．
【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，
则6x＝(6﹣2)•180°，
解得x＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
5. 一元二次方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据x（x-1）=0得到两个一元一次方程x=0，x-1=0，求出方程的解即可．
【详解】x(x−1)=0，
x=0或x+1=0，
故答案为x=0或x=-1.
【点睛】此题考查解一元二次方程、解一元一次方程，解题关键在于运用因式分解法.
6. 小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是__分．
【答案】96
【解析】
【分析】根据加权平均数的公式计算可得．
【详解】解：小丽的平均成绩是＝96（分），
故答案为：96．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求100，90这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．
7. 某射手在一次训练中共射出了10发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中位数是__环．
【答案】9
【解析】
【分析】根据统计图中的数据，可以得到中间的两个数据是9，9，然后计算它们的平均数即可得到相应的中位数．
【详解】解：由统计图可得，
中间的两个数据是9，9，故射击成绩的中位数是（9+9）÷2＝9（环），
故答案为：9．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数，会计算一组数据的中位数．
8. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝()2＝，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
9. 如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．
【答案】
【解析】
【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答．
【详解】解：连接PQ，AM，
由图形变换可知：PQ＝AM，
由勾股定理得：AM＝，
∴PQ＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．
10. 已知一次函数的图象经过点(1，2)，且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式__．（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】y＝﹣x+3
【解析】
【分析】由函数值y随自变量x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k＜0，取k＝﹣1，由一次函数的图象经过点（1，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出2＝﹣1+b，解之即可得出b值，进而可得出符合条件的一次函数表达式．
【详解】解：设一次函数表达式为y＝kx+b．
∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k＜0，取k＝﹣1．
又∵一次函数的图象经过点（1，2），
∴2＝﹣1+b，
∴b＝3，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+3．
故答案为：y＝﹣x+3．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
11. 一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．
【答案】3
【解析】
【分析】分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．
【详解】解：（1）假设袋中红球个数为1，
此时袋中由1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
（2）假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，
（3）假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为__．
【答案】9
【解析】
【分析】由旋转知△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可求得BD＝BP，当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，求出AB的长即可解决问题．
【详解】解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，
∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形，
∴∠PBD＝30°，
过点P作PH⊥BD于点H，
∴BH＝DH，
∵cos30°＝＝，
∴BH＝BP，
∴BD＝BP，
∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大，
过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝BC＝3，
∵cos∠ABC＝，
∴，
∴AB＝9，
∴BD最大值为：BP＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BD=BP是解题的关键．
二、选择题（本大题共6小题，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
13. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A. 正方形 B. 长方形 C. 三角形 D. 圆
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．
【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的概念是正确判断的前提．
14. 2021年1﹣4月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿元，其中25900用科学记数法表示为（ ）
A. 25.9×103 B. 2.59×104 C. 0.259×105 D. 2.59×105
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：25900＝2.59×104，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要定a的值以及n的值．
15. 如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A. 27° B. 29° C. 35° D. 37°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16. 如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）
A. 1840 B. 1921 C. 1949 D. 2021
【答案】D
【解析】
【分析】把1921代入程序中计算，判断即可得到结果．
【详解】解：把1921代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000，
把﹣131代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000，
则输出结果为1921+100＝2021．
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
17. 设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A. 有最大值π B. 有最小值π C. 有最大值π D. 有最小值π
【答案】C
【解析】
【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π(r﹣)2+π，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵2r+l＝6，
∴l＝6﹣2r，
∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，
∴当r＝时，S侧有最大值．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:是解题的关键．
18. 如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A. A1 B. B1 C. A2 D. B3
【答案】B
【解析】
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
三、解答题（本大题共10小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：（1﹣）0﹣2sin45°+；
（2）化简：（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x．
【答案】（1）1；（2）x2
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数值即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：（1）（1﹣）0﹣2sin45°+
＝1﹣2×
＝1．
（2）（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x
＝（x+1）（x﹣1）÷﹣x
＝（x+1）（x﹣1）•﹣x
＝x（x+1）﹣x
＝x2．
【点睛】本题考查整式的运算以及分式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则．
20. （1）解方程：﹣＝0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）x＝6；（2）x＞2
【解析】
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）﹣＝0
去分母得：3（x﹣2）﹣2x＝0，
去括号得：3x﹣6﹣2x＝0，
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）＝24≠0，
∴分式方程的解为x＝6；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解本题的关键．
21. 甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果和满足条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得：
共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果，
所以这三人在同一个献血站献血的概率为．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适台两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：；
（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝ °时，四边形BFDE是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性子和“SAS”可证△ABE≌△CDF；
（2）先证明四边形BFDE是平行四边形，再通过证明BE＝DE，可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形，
理由如下：∵△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，AE=CF，
∴BF=DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵∠1=30°，∠2=20°，
∴∠ABD=∠1-∠2=10°，
∴∠DBE=20°，
∴∠DBE=∠EDB=20°，
∴BE=DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
故答案为10．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键．
23. 《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱
【解析】
【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设共x人合伙买金，金价为y钱，
依题意得：，
解得：．
答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24. 如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．
年份
我国大陆人口总数
其中具有大学文化程度的人数
每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数
1990年
1133682501
16124678
1422
2000年
1265830000
45710000
3611
2010年
1339724852
119636790
8930
2020年
1411778724
218360767
15467
（1）设下一次人口普查我国大陆人口共a人，其中具有大学文化程度有b人，则该次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ；（用含有a，b的代数式表示）
（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到1°）
（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）
【答案】（1）；（2）56°；（3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况
【解析】
【分析】（1）根据“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的意义求解即可；
（2）求出2020年，“具有大学文化程度的人数”所占总人数的百分比，即可求出相应的圆心角度数；
（3）根据“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义得出结论．
【详解】解：（1）由题意得，下一次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为，
故答案为：；
（2）360°×≈56°，
答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为56°；
（3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况．
【点睛】本题考查扇形统计图,频数分布表，掌握扇形统计图的制作方法是正确解答的前提，理解“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义是正确判断的关键．
25. 如图，点A和点E(2，1)是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3）(，)
【解析】
【分析】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；
（2）根据AAS可证△BDF≌△ACF，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
（3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．
【详解】解：（1）∵点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，
∴＝1，
解得k＝2，
故答案为：2；
（2）在△BDF和△ACF中，
，
∴△BDF≌△ACF（AAS），
∴S△BDF＝S△ACF，
即a×（﹣m）＝a×（+m），
整理得am＝﹣2；
（3）设A点坐标为（a，），
则C（0，），D（0，﹣），
∵E（2，1），∠CED＝90°，
∴CE2+DE2＝CD2，
即22+（1﹣）2+22+（1+）2＝（+）2，
解得a＝﹣2（舍去）或a＝，
∴A点的坐标为(，)．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
26. 如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．
【答案】（1）相切，见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径半径，可得结论．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论．
【详解】解：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHED矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH＝OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．
∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直径，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
设PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×4×8＝×4×x+×4×x，
∴x＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形、相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的证明方法：已知垂直证半径，已知半径证垂直，利用三角形面积不同的表示方法构建方程解决问题是难点．
27. 将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(﹣6，0)，点B(0，2)，点C(﹣4，8)，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是 ．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当PDQ∼PMN时，求点Q的坐标．
【答案】（1）y＝，D(﹣4，﹣)；（2）①见解析；②A，D；③(2，)或(﹣10，)
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①根据要求作出图形即可．
②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想办法证明△PMN是等腰直角三角形，可得结论．
③设P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，推出Q（﹣+m，m），构建方程求出m即可．
【详解】解（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A(﹣6，0)，点B(0，2)，且抛物线的对称轴经过点C(﹣4，8)，
∴，
解之得：，
∴y＝，
∴当x＝﹣4时，y＝＝﹣，
∴D(﹣4，﹣)．
（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．
②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．
由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），
∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝x+2，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，
由，解得，
∴M（，），
由．解得，
∴N（，），
∴Q（（，），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴＝，故选项D正确，B，C错误，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，
∴折痕与AB垂直，故选项A正确，
故答案为：A，D．
③设P（﹣4，m）．
∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，
∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），
把Q的坐标代入，得到，，
整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，
解得m＝或﹣（舍弃），
∴Q（2，），
根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(2，)或(﹣10，)．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明△PMN是等腰直角三角形是本题的突破点．
28. 如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为铅直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）
【思考】
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．
【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．
（1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．
（2）设＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，如果只有与边AB，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 ．
【答案】【活动】见解析；【思考】是；【应用】（1）①；②；（2）＜t＜
【解析】
【分析】[活动]如图1，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线；
[思考]如图2，证明△OQN≌△OPM（AAS），根据割补法可得直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线；
[应用]
（1）①建立平面直角坐标系，分两种情况：如图3﹣1和3﹣2，根据中点坐标公式和待定系数法可得面积平分线的解析式，并计算P和Q的坐标，利用两点的距离公式可得PQ的长，并比较大小可得结论；
②当GH⊥AB时，GH最小，设BG＝x，根据面积相等列方程，解出即可；
（2）如图5，由已知得：CD＝tAF，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，列不等式可得t的取值．
【详解】解：【活动】如图1，直线O1O2是该L图形的面积平分线；
【思考】如图2，∵∠A＝∠B＝90°，
∴AF∥BC，
∴∠NQO＝∠MPO，
∵点O是MN的中点，
∴ON＝OM，
在△OQN和△OPM中，
，
∴△OQN≌△OPM（AAS），
∴S△OQN＝S△OPM，
∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，
∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，
即SABPON＝SCDEFQOM，
∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，
即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，
∴直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线．
故答案为：是；
【应用】（1）①如图3﹣1，以直线OC为x轴，OA为y轴，以B为原点，建立平面直角坐标系，同理确定L图形ABCDEF的面积平分线：直线O1O2，
∵AB＝4，BC＝6，AF＝CD＝1，
∴B（0，0），F（1，4），D（6，1），K（1，0），
∴线段BF的中点O1的坐标为（，2），线段DK的中点O2的坐标为（，），
设直线O1O2的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线O1O2的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝，
∴Q（，0），
当y＝1时，﹣x+＝1，解得：x＝，
∴P（，1），
∴PQ＝＝；
如图3﹣2，同理确定平面直角坐标系，画出L图形ABCDEF的面积平分线：直线O3O4，
∵G（0，1），F（1，4），C（6，0），
∴线段GF的中点O3的坐标为（，），线段CG的中点O4的坐标为（3，），
设直线O3O4的解析式为：y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线O3O4的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得：x＝，
∴Q（，0），
当y＝1时，﹣x+＝1，解得：x＝，
∴P（，1），
∴PQ＝＝；
∵＜；
∴PQ长的最大值为；
②如图4，当GH⊥AB时GH最短，过点E作EM⊥AB于M，
设BG＝x，则MG＝1﹣x，
根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，
解得x＝，即BG＝；
故答案为：；
（2）∵＝t（t＞0），
∴CD＝tAF，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，
如图5，直线DE将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB，CD相交的面积平分线，
即（4﹣tAF）•AF＜6t•AF，
∴，
∵0＜AF＜6，
∴0＜﹣6＜6，
∴．
故答案为：＜t＜．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．
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