初中数学中考复习 精品解析：辽宁省朝阳市2021年中考数学真题试卷（解析版）

这是一份初中数学中考复习 精品解析：辽宁省朝阳市2021年中考数学真题试卷（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省朝阳市中考数学试卷
一、选择题
1. 在有理数2，﹣3，，0中，最小的数是（ ）
A. 2 B. ﹣3 C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．依此即可求解．
【详解】解：∵﹣3＜0＜＜2，
∴在有理数2，﹣3，，0中，最小的数是﹣3．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2. 如图所示几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是(　　 )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示：

故选：B．
【点睛】此题考查几何体的三视图，解题关键在于掌握左视图是从物体的左面看得到的视图．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a3＋a3＝a6 B. a2•a3＝a6 C. （ab）2＝ab2 D. （a2）4＝a8
【答案】D
【解析】
【分析】先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方求出每个式子的值，再得出选项即可．
【详解】解：A．a3＋a3＝2a3，故本选项不符合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不符合题意；
C．（ab）2＝a2b2，故本选项不符合题意；
D．（a2）4＝a8，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的运用．
4. 某校开展了以“爱我家乡”为主题的艺术活动，从九年级5个班收集到的艺术作品数量（单位：件）分别为48，50，47，44，50，则这组数据的中位数是（ ）
A. 44 B. 47 C. 48 D. 50
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的意义，排序后处在中间位置的数即可．
【详解】解：将这五个数据从小到大排列后
处在第3位的数是48，因此中位数是48；
故选：C．
【点睛】本题考查中位数的意义，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
5. 一个不透明的口袋中有4个红球，6个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出1个球，则摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出总的球的个数，再根据概率公式即可得出摸到绿球的概率．
【详解】解：∵袋中装有4个红球，6个绿球，
∴共有10个球，
∴摸到绿球的概率为：＝；
故选：D．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
6. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）

A. 45° B. 65° C. 75° D. 85°
【答案】C
【解析】
【分析】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【详解】解：∵∠2＋60°＋45°＝180°，
∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠1＝∠2＝75°．
故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
7. 不等式﹣4x﹣1≥﹣2x＋1的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】不等式移项，合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：不等式﹣4x﹣1≥﹣2x＋1，
移项得：﹣4x＋2x≥1＋1，
合并得：﹣2x≥2，
解得：x≤﹣1，
数轴表示，如图所示：

故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
8. 如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（ ）

A. ﹣12 B. ﹣15 C. ﹣20 D. ﹣30
【答案】A
【解析】
【分析】过A点作AC⊥OB，利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题．
【详解】解：过A点作AC⊥OB，

∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6，
∴OC＝BC＝3，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∵AC＝，
∴A（﹣3，4），
把A（﹣3，4）代入y＝，可得k＝﹣12
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可证EG∥BC，EG＝2，HF∥AD，HF＝2，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解．
【详解】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴，，
∴，
∴EG∥BC
∴，
同理可得HF∥AD，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，由题意可证EG∥BC，HF∥AD是本题的关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点N的运动情况，分点N在AD，DC，CB上三种情况讨论，分别写出每种情况x和y之间的函数关系式，即可确定图象．
【详解】解：当点N在AD上时，即0≤x＜2

∵AM＝x，AN＝2x，
∴，
此时二次项系数大于0，
∴该部分函数图象开口向上，
当点N在DC上时，即2≤x＜4，

此时底边AM＝x，高AD＝4，
∴y＝＝2x，
∴该部分图象直线段，
当点N在CB上时，即4≤x＜6时，

此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，
∴y＝，
∵﹣1＜0，
∴该部分函数图象开口向下，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键．
二、填空题
11. 2020年9月1日以来，教育部组织开展重点地区、重点行业、重点单位、重点群体“校园招聘服务”专场招聘活动，提供就业岗位3420000个，促就业资源精准对接．数据3420000用科学记数法表示为____________．
【答案】3.42×106
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数据3420000用科学记数法表示为3.42×106．
故答案为：3.42×106．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 因式分解：﹣3am2＋12an2＝____________．
【答案】﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）
【解析】
【分析】直接提取公因式﹣3a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：原式＝﹣3a（m2﹣4n2）
＝﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）．
故答案为：﹣3a（m＋2n）（m﹣2n）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
13. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵总面积为9个小等边形的面积，其中阴影部分面积为3个小等边形的面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率求解问题，准确分析计算是解题的关键．
14. 已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7，则弦AB所对的圆周角的度数为__________．
【答案】60°或120°
【解析】
【分析】∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB，如图，过O点作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH＝，则利用余弦的定义可求出∠OAH＝30°，所以∠AOB＝120°，然后根据圆周角定理得到∠ACB＝60°，根据圆内接四边形的性质得到∠ADB＝120°．
【详解】解：∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，
连接OA、OB，如图，

过O点作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝AB＝，
在Rt△OAH中，∵cos∠OAH＝＝＝，
∴∠OAH＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBH＝∠OAH＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∵∠ADB＋∠ACB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．
故答案为60°或120°．
【点睛】本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点M的坐标为(0，4)，过点M作MNx轴，点P在射线MN上，若MAP为等腰三角形，则点P的坐标为___________．

【答案】(，4)或(，4)或(10，4)
【解析】
【分析】分三种情况：①PM＝PA，②MP＝MA，③AM＝AP，分别画图，根据等腰三角形的性质和两点的距离公式，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为（x，4），
分三种情况：①PM＝PA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴PM＝x，PA＝ ，
∵PM＝PA，
∴x＝，解得：x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
②MP＝MA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴MP＝x，MA＝＝，
∵MP＝MA，
∴x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
③AM＝AP，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴AP＝，MA＝＝，
∵AM＝AP，
∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标为（10，4）；
综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．
故答案为：(，4)或(，4)或(10，4)．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利用坐标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A1D于点O2，过点D作DC3⊥A2C2于点C3，交A1C1于点M2；以C3A2，C3D为邻边作矩形A2A3DC3，连接A3C3，交A2D于点O3，过点D作DC4⊥A3C3于点C4，交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1，四边形A1O2C3M2的面积为S2，四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn＋1Mn的面积为Sn，则Sn＝__________．（结果用含正整数n的式子表示）

【答案】
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是矩形，可得AC＝，运用面积法可得DC1＝＝，进而得出DCn＝，得出S1＝，……，Sn＝＝×＝．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，
∴AC＝＝＝，
∵DC1•AC＝AB•BC，
∴DC1＝＝＝，
同理，DC2＝DC1＝（）2，
DC3＝（）3，
……，
DCn＝（）n，
∵＝tan∠ACD＝＝2，
∴CC1＝DC1＝，
∵tan∠CAD＝＝＝，
∴A1D＝AC1＝2DC1＝，
∴AM1＝AC1﹣C1M1＝2DC1﹣DC1＝×DC1＝，
同理，A1M2＝×DC2，
A2M3＝×DC3，
……，
An﹣1Mn＝×DCn，
∵四边形AA1DC1是矩形，
∴O1A＝O1D＝O1A1＝O1C1＝1，
同理∵DC2•A1C1＝A1D•DC1，
∴DC2＝＝＝，
在Rt△DO1C2中，O1C2＝＝＝＝DC2，
同理，O2C3＝DC3，
O3C4＝DC4，
……，
OnCn＋1＝DCn＋1，
∴
＝×AM1×DC1﹣×O1C2×DC2
＝（﹣）
＝
＝，
同理，
＝×＝，
S3＝＝×＝，
……，
Sn＝＝×＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形性质，勾股定理，解直角三角形，三角形面积等，解题关键是通过计算找出规律．
三、解答题
17. 先化简，再求值：（＋1）÷，其中x＝tan60°．
【答案】，1＋
【解析】
【分析】先把括号内的分式通分，再把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，代入求值即可．
【详解】解：原式＝÷
＝×
＝．
x＝tan60°＝，代入得：原式＝＝1＋．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
18. 为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？
【答案】每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元
【解析】
【分析】设每个足球的进价是x元，则每个篮球的进价是（x＋25）元，利用数量＝总价÷单价，结合用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出足球的单价，再将其代入（x＋25）中即可求出篮球的单价．
【详解】解：设每个足球的进价是x元，
则每个篮球的进价是（x＋25）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝75，
经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意，
∴x＋25＝75＋25＝100．
答：每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19. “赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校对全体学生进行了古诗词知识测试，将成绩分为一般、良好、优秀三个等级，从中随机抽取部分学生的测试成绩，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的人数；
（2）在扇形统计图中，阴影部分对应的扇形圆心角的度数是 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）该校共有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计测试成绩达到优秀的学生人数．

【答案】（1）120人；（2）90°；（3）见解析；（4）500人
【解析】
【分析】（1）由良好的人数除以占的百分比求本次抽样调查的人数；
（2）根据一般的人数所占百分比即可求出圆心角的度数；
（3）求出优秀的人数即可画出条形图；
（4）求出优秀占的百分比，乘以1500即可得到结果．
【详解】解：（1）总人数＝50÷＝120（人）；
（2）阴影部分扇形的圆心角＝360°×＝90°，
故答案为：90°；
（3）优秀的人数为：120﹣30﹣50＝40（人），
条形统计图如图所示：

（4）测试成绩达到优秀的学生人数有：1500×＝500（人），
答：该校1500名学生中测试成绩达到优秀的学生有500人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20. 为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩•跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是 ；
（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率．
【答案】（1）；（2）见解析，
【解析】
【分析】（1）共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有一种，即可求出概率；
（2）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出一张是演讲社团C的结果数，进而求出概率．
【详解】解：（1）∵共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团D的有1种，
∴小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团D的概率是，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

A
B
C
D
A
——
AB
AC
AD
B
BA
——
BC
BD
C
CA
CB
——
CD
D
DA
CB
DC
——
共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团C的有6种，
∴小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团C的概率是＝．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，正确画出树状图或表格是解决本题的关键．
21. 一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

【答案】（9＋4）m
【解析】
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得，求出AH＝（8＋4）m，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴，
即，
解得：AH＝（8＋4）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋4）m，
即这棵古树的高AB为（9＋4）m．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．
22. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理和等量代换可得∠BAC＝∠ACD，进而得出AB∥CD，由∠AOD＝90°可得OD⊥CD，从而得出结论；
（2）由tanE＝，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝，在直角三角形中由锐角三角函数可求出ON、DN、CD，由勾股定理求出CN，由三角形的面积公式求出DF，再根据圆周角定理可求出∠AMD＝45°，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出DM即可．
【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于F，

∵⊙O的半径为6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ON＝OA＝×6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面积公式可得，
CN•DF＝DN•CD，
即4DF＝4×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理，掌握锐角三角函数以及勾股定理是解决问题的前提．
23. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）y＝﹣2x＋120；（2）30元；（3）售价定为40元/件时，每天最大利润800元
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据“每件利润×销售量＝总利润”列出一元二次方程，解之可得；
（3）根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x＋120；
（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣2x＋120）＝600，
整理，得：x2﹣80x＋1500＝0，
解得：x＝30或x＝50（不合题意，舍去），
答：每件商品的销售价应定为30元；
（3）∵y＝﹣2x＋120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x＋120）
＝﹣2x2＋160x﹣2400
＝﹣2（x﹣40）2＋800，
∴当x＝40时，w最大＝800，
∴售价定为40元/件时，每天最大利润w＝800元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
24. 如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．

【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；
（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON；
（3）设AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代数式分别表示再利用比例的性质可得答案．
【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，

作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，
，
同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EON＋∠MOE＝90°，
∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，
，
∴△DOM≌△EON（ASA），
∴OM＝ON．
（2）如图2，

作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，
∴，
由（1）知：
∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，
∴，
∴ON＝k•OM．
（3）如图3，

设AC＝BC＝a，
∴AB＝a，
∵OB＝k•OA，
∴OB＝•a，OA＝•a，
∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，
∴EN＝＝OE＝•a，
∵CE＝OD＝OA＝a，
∴NC＝CE＋EN＝a＋•a，
由（2）知：，△DOM∽△EON，
∴∠AMO＝∠N＝30°
∵，
∴，
∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝a，
∴PN＝PE＋EN＝a＋•a，
设AD＝OD＝x，
∴DM＝，
由AD＋DM＝AC＋CM得，
（＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，
∴k＞1
∴，


∴．
【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件得出k＞1．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；
（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(2，1)；（3）M(，)或(1＋，)
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可．
（3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1．
（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．

∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），
∴D（2，3），
∵B（3，0），
∴T（，），BD＝，
∵∠NPD＝90°，DT＝TB，
∴PT＝BD＝，
∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2，
解得m＝1或2，
∴P（1，1），或（2，1）．
（3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E．

∵△BMN是等边三角形，
∴∠NMB＝∠NBM＝60°，
∵∠NBT＝90°，
∴∠MBT＝30°，BT＝BN，
∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°，
∴∠MBT＝∠BTM＝30°，
∴MB＝MT＝MN，
∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°，
∴∠NBE＝∠BTJ，
∵∠BEN＝∠TJB＝90°，
∴△BEN∽△TJB，
∴＝，
∴BJ＝t，TJ＝2，
∴T（3＋t，2），
∵NM＝MT，
∴M（，），
∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，
∴＝﹣（）2＋2×＋3，
整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0，
解得t＝﹣2（舍弃）或，
∴M（，）．
如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM延长线于T．

同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，），
则有＝﹣（）2＋2×＋3，
整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0，
解得n＝（舍弃）或，
∴M（1＋， ），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（1＋，）．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键．

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