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2022-2023学年甘肃省区域中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年甘肃省区域中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析，共60页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
2. 下列四个几何体的俯视图中与众没有同的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
4. 没有等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列为没有可能的是( )．
A. 某射击运动员射击，命中靶心
B. 掷骰子，向上的一面是5点
C. 找到一个三角形，其内角和为360°
D. 城市某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
6. 如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（ ）
A. 20° B. 35° C. 45° D. 70°
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A 4 B. 6 C. 3 D. 3
8. 在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论：
①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE ③BN－AM ＝2 ④
上述结论中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
9. 2016年9月26日，我国自主设计建造的世界球面射电望远镜落成启用．该望远 镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为____光年．
10. 分解因式：2x2﹣8=_______
11. 在函数中，自变量的取值范围是__________．
12. 用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14元/块，单色地砖12元/块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2倍少15块，买两种地砖共用了1340元，设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组为_______________.
13. 如图，对平行四边形ABCD对角线交点O的直线分别交AB的延长线于点E，交CD的延长线于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长等于__．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________________________ .
15. 如图，菱形OABC一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.
16. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______.
三、解 答 题（每小题8分，共16分）
17. 计算：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
（1）将△ABC向左平移3个单位，再向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所的路径长.
19. 如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有3,4,5的三个球放入甲箱中，标有4,5,6的三个球放入乙箱中．
(1)小宇从甲箱中随机模出一个球，求“摸出标有数字是3的球”的概率；
(2)小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”．请你用列表法(或画树状图)求小宇“略胜一筹”的概率．
20. 某文具店老板次用1000元购进一批文具，很快完毕，第二次购进时发现每件文具的进价比次上涨了2.5元，老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是次购进数量的2倍，同样很快完毕，已知两批文具的售价均为每件15元.
（1）第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
21. 某中学开展“阳光体育一小时”，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行，并将结果绘制成如下两个统计图.请图中的信息解答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整.
（3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？
22. 如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形菱形．
23. 一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处， 发现它的东向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离．（结果保留根号）
24. 某商场新进一批商品，每个成本价25元，一段时间发现量y（个）与单价x（元/个）之间成函数关系，如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商品的单价在45元～80元之间浮动，
①单价定为多少元时，利润？此时量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4550元的利润，单价应定为多少元？
25. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，没有必说明理由．
2022-2023学年甘肃省区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
【正确答案】C
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号没有同的两个数互为相反数是关键．
2. 下列四个几何体的俯视图中与众没有同的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得
A的俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B的俯视图是列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D的俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选B．
本题考查简单组合体的三视图．
3. 下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：
根据整式的相关运算法则进行计算判断即可.
详解：
A选项中，因为，所以A中计算错误；
B选项中，因为，所以B中计算错误；
C选项中，因为，所以C中计算错误；
D选项中，因，所以D中计算正确.
故选D.
点睛：熟练掌握各选项中所涉及的整式运算的运算法则，是正确解答本题的关键.
4. 没有等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出两个没有等式的解集，再求其公共解．
【详解】解：由x≤1得：x≤2．由2-x＜3得：x＞-1．所以没有等式组的解集为-1＜x≤2．
故选C．
此题主要考查没有等式组的解法及在数轴上表示没有等式组的解集．没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5. 下列为没有可能的是( )．
A. 某射击运动员射击，命中靶心
B. 掷骰子，向上的一面是5点
C. 找到一个三角形，其内角和为360°
D. 城市某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
【正确答案】C
【详解】解：A、B、D都是有可能发生的，但是C是没有可能的，因为三角形内角和都是180°．
故选∶C．
本题主要考查学生对可能和没有可能的理解，同时考查学生对代数几何知识点的熟记程度．
6. 如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（ ）
A. 20° B. 35° C. 45° D. 70°
【正确答案】B
【详解】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=35°，∵CD∥OB，∴∠BOC=∠C=35°，
故选B．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A 4 B. 6 C. 3 D. 3
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠CAB=30°，故AB=4，
∵△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
∴AB=A′B′=4，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC=30°，
∴AB′=B′C=2，
∴AA′=2+4=6．
故选B．
考点：1、旋转的性质；2、直角三角形的性质
8. 在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论：
①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE ③BN－AM ＝2 ④ .
上述结论中正确的个数是
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】试题解析：①如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∵∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．
∵AM没有一定等于CN，∴AM没有一定等于CN，∴①错误，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正确，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正确，④如图，
由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN
∵tanα=，∴AM=AEtanα
∵cosα==，∴ ，∴=1+=1+=1+，∴=2（1+）
∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
=（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM
=（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN
=（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）
=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）
=AE+AM﹣AE×AM+
=AE+AEtanα﹣tanα+
=2+2tanα﹣2tanα+2
=2（1+）
=，∴④正确．
故选C．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
9. 2016年9月26日，我国自主设计建造的世界球面射电望远镜落成启用．该望远 镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为____光年．
【正确答案】1.37×1010.
【详解】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于1时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
13 700 000 000=1.37×1010，
故答案为1.37×1010．
考点：科学记数法—表示较大的数.
10. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
11. 在函数中，自变量的取值范围是__________．
【正确答案】且
【详解】试题解析：根据题意可得：，
解得：且．
故答案为且．
点睛：分式有意义的条件：分母没有为零.
二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零.
12. 用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14元/块，单色地砖12元/块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2倍少15块，买两种地砖共用了1340元，设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组为_______________.
【正确答案】
【详解】分析：
根据题中所给的两个等量关系：（1）单色地砖的数量=2×彩色地砖的数量-15；（2）购买单色地砖的总费用+购买彩色地砖的总费用=1340，再题目中的已知数据列出方程组即可.
详解：
设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组：
.
故答案为.
点睛：读懂题意，找到两个等量关系：“（1）单色地砖的数量=2×彩色地砖的数量-15；（2）购买单色地砖的总费用+购买彩色地砖的总费用=1340”是解答本题的关键.
13. 如图，对平行四边形ABCD对角线交点O的直线分别交AB的延长线于点E，交CD的延长线于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长等于__．
【正确答案】2
【详解】试题解析：连接AC,如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4,AB∥CD，AO=CO，
∴∠F=∠E，
在△COF和△AOE中,
∴△COF≌△AOE(AAS)，
∴DF=CF−CD=6−4=2；
故答案为2.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________________________ .
【正确答案】
【分析】阴影部分的面积等于整体图形的面积减去空白部分的面积，旋转的性质和扇形的面积求解.
【详解】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝5.
根据旋转的性质可知，∠BAD＝30°，AD＝AB＝5，△ABC≌△ADE.
因为S阴影＝S△ABC＋S扇形OBD－S△ADE，
所以S阴影＝S扇形OBD＝.
本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分没有是规则图形，也没有是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求.
15. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.
【正确答案】﹣24
【分析】如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，由tan∠AOC=可得OF=3x，由此可得OC=5x，从而可得OA=5x，由已知条件易证S菱形ABCO=2S△COD=40=OA·CF=20x2，从而可得x=，由此可得点C的坐标为，这样由点C在反比例函数的图象上即可得到k=-24.
【详解】如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AB//CO，AO//BC，
∵DE//AO，
∴四边形AOED和四边形DECB都是平行四边形，
∴S△AOD=S△DOE，S△BCD=S△CDE，
∴S菱形ABCD=2S△DOE+2S△CDE=2S△COD=40，
∵tan∠AOC=，CF=4x，
∴OF=3x，
∴在Rt△COF中，由勾股定理可得OC=5x，
∴OA==OC=5x，
∴S菱形ABCO=AO·CF=5x·4x=20x2=40，解得：x=，
∴OF=，CF=，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k=.
故-24.
本题的解题要点有两点：（1）作出如图所示的辅助线，设CF=4x，已知条件把OF和OA用含x的式子表达出来；（2）由四边形AOCB是菱形，点D在AB上，S△COD=20得到S菱形ABCO=2S△COD=40.
16. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______.
【正确答案】
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′.
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=
∴BD=CD′=，
故答案为.
三、解 答 题（每小题8分，共16分）
17. 计算：．
【正确答案】．
【详解】分析：
代入30°角的正切函数值，“零指数幂的意义”、“负整数指数幂的意义”和“二次根式的性质”进行计算即可.
详解：
原式=
=.
点睛：熟记“角的三角函数值”和“零指数幂的意义：”及“负整数指数幂的意义：（为正整数）”是正确解答本题的关键.
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
（1）将△ABC向左平移3个单位，再向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所的路径长.
【正确答案】(1)见解析；（2）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C，△ABC绕点C顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再先求得AC的长，再根据弧长公式列式计算即可．
【详解】(1)如图所示：A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1) 向左平移3个单位，再向上平移5个单位的坐标分别为A1(-2,1)、B1（0，2）、C1（－2，4）.
(2)如图所示：AC＝4－1＝3，.
考查作图-旋转变换，轨迹，作图-平移变换，解题的关键是：平移，旋转后对应点的坐标表示出来，及弧长公式的正确运用．
19. 如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有3,4,5的三个球放入甲箱中，标有4,5,6的三个球放入乙箱中．
(1)小宇从甲箱中随机模出一个球，求“摸出标有数字是3的球”的概率；
(2)小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”．请你用列表法(或画树状图)求小宇“略胜一筹”的概率．
【正确答案】（1）；（2）P(小宇“略胜一筹”)＝.
【详解】分析：
（1）由题意可知，小宇从甲箱中任意摸出一个球，共有3种等可能结果出现，其中结果为3的只有1种，由此可得小宇从甲箱中任取一个球，刚好摸到“标有数字3”的概率为；
（2）根据题意通过列表的方式列举出小宇和小静摸球的所有等可能结果，然后根据表中结果进行解答即可.
详解：
(1)P(摸出标有数字是3的球)＝.
(2)小宇和小静摸球的所有结果如下表所示：
小静
小宇
4
5
6
3
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,4)
(5,5)
(5,6)
从上表可知，一共有九种可能，其中小宇所摸球的数字比小静的大1的有一种，因此
P(小宇“略胜一筹”)＝.
点睛：能正确通过列表的方式列举出小宇在甲箱中任摸一个球和小静在乙箱中任摸一个球的所有等可能结果，是正确解答本题第2小题的关键.
20. 某文具店老板次用1000元购进一批文具，很快完毕，第二次购进时发现每件文具的进价比次上涨了2.5元，老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是次购进数量的2倍，同样很快完毕，已知两批文具的售价均为每件15元.
（1）第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
【正确答案】（1）第二次购进了200件文具.
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利1000元
【详解】本题中两个等量关系：（1）次的进价+2.5=第二次的进价，（2）第二次的数量=2×次的数量.利用（2）设出未知数，并且用未知数表示出另一个的数量，然后利用（1）列方程.两批文件的总售价－1000－2500=总利润.
21. 某中学开展“阳光体育一小时”，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行，并将结果绘制成如下两个统计图.请图中的信息解答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整.
（3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目学生约有多少名？
【正确答案】（1）本次共200名学生；（2）补全图形见解析；（3）该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有180人.
【分析】（1）条形统计图和扇形统计图，利用A组频数80除以A组频率40%，即可得到该校本次了多少名学生；
（2）利用（1）中所求人数，减去A、B、D组的频数即可的C组的频数；B组频数除以总人数即可得到B组频率；
（3）用1200乘以抽查的人中喜欢篮球运动项目的人数所占的百分比即可．
【详解】解：（1）80÷40%=200（人）
∴本次共200名学生
（2）200−80−30−50=40(人)，
30÷200×=15%，
补全如下图：
（3）1200×15%=180（人）
∴该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有180人．
22. 如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形．
【正确答案】（1）30° （2）证明见详解
【分析】（1）由直径AB的长，求出半径OA及OC的长，再由AC的长，得到三边相等，可得此三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可得出∠AEC的度数；
（2）由直线l与⊙O相切，根据切线的性质得到OC与直线l垂直，又BD与直线l垂直，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到，根据两直线平行同位角相等，可得出，再由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠AED为直角，用求出，可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行，可得出，根据两组对边平行的四边形为平行四边形可证明四边形OBEC为平行四边形，再由，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出OBEC为菱形．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴△OAC为等边三角形，
∴，
∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都对弧，
∴；
【小问2详解】
证明：∵直线l切⊙O于C，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵AB为⊙O直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵，
∴四边形OBEC为菱形．
本题主要考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、平行四边形及菱形的判定等知识，是一道综合性较强的试题，做题时应图形，弄清题中的条件，找出已知与未知间的联系来解决问题．
23. 一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处， 发现它的东向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离．（结果保留根号）
【正确答案】此时船与灯塔的距离为72海里．
【详解】分析：
如下图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意易得AC=72，再Rt△ACD中已知条件可解得CD=，再在Rt△CDB中由已知条件求得∠B=30°，即可解得BC=.
详解：
过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，AC=36×2=72 ，∠A=45°，
∴sinA=，
∴CD=AC·sinA=72×，
在Rt△BCD中，∠B=∠PCB- ∠A=75°-45°=30°，
∴BC=2·CD=2×3672（海里） ，
∴此时船与灯塔的距离为72海里.
点睛：读懂题意，得到∠A=45°，AC=72，∠PCB=75°，并由此得到∠B=30°，再作出如图所示的辅助线，把问题转化成在Rt△ACD和△CBD中求CD和BC的长，是解答本题的关键.
24. 某商场新进一批商品，每个成本价25元，一段时间发现量y（个）与单价x（元/个）之间成函数关系，如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商品的单价在45元～80元之间浮动，
①单价定为多少元时，利润？此时量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4550元的利润，单价应定为多少元？
【正确答案】（1）y=-2x+250；（2）①75，100；②单价应定在60元．
【分析】（1）设出函数解析式，把两组值分别代入计算可得的值；
①利润=量单价，得到二次函数解析式，求得相应的最值即可；②把代入①得到的解析式，求得合适的解即可．
【详解】（1）设由题意得：，解得，
（2）①设该商品的利润为元，，∴当时，，此时销量为（个）；
②，解得
考点：1、函数的应用；2、一元二次方程的应用．
25. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．
【正确答案】（1）BD＝MF，BD⊥MF；（2）β的度数为60°或15°；（3）平移的距离是（3﹣）cm．
【分析】（1）由旋转的性质得到BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．
（2）分两种情形讨论①当AK=FK时，②当AF=FK时，根据旋转的性质得出结论．
（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例，即可得到A2A的大小．
【详解】（1）结论：BD=MF，BD⊥MF．理由：
如图1，延长FM交BD于点N．
由题意得：△BAD≌△MAF，∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．
（2）如图2．
①当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK（180°﹣∠F）=75°，∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，即β=15°；
综上所述：β的度数为60°或15°；
（3）如图3．
由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x．在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=4，∠F=∠ADB=30°，∴A2M2=2，A2F2=2，∴AF2=2x．
∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，∴AP=AF2•tan30°=2x，∴PD=AD﹣AP=22x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB，∴，∴，解得：x=，即A2A=，∴平移的距离是（）cm．
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，没有必说明理由．
【正确答案】（1）抛物线解析式为；（2）；（3）①5；② P1（2.5，0），P2（9-，0），P3（，0）．
【详解】分析：
（1）由抛物线过原点和点A（10，0）设其解析式为，代入点B的坐标（2，2）解得a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）由已知条件求出直线AB的解析式，由点P的坐标为（m，0）已知条件可得OQ=10-2m，由此即可用含m的式子表达出DQ的长度，这样由四边形ACDE是正方形即可由S=DQ2求出S与m之间的函数关系式了；
（3）①将x=2代入抛物线解析式得y=2，可知点N的坐标为（2，2），点G的坐标为（2，4），当GF和EQ落在同一条直线上时，△FGQ为等腰直角三角形，则PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，将x=6代入直线AB解析式可求得得点M的坐标为（6，1），即QM=1，由旋转法可知，每一个阴影部分面积等所在正方形面积的一半，由此可求两个阴影部分面积和；②分为PF、DE在同一直线上；PF、CQ在同一直线上；GF、CD在同一直线上三种情况分析计算求出相应的P点的坐标即可.
详解：
（1）∵抛物线过O（0，0），A（10，0），
∴设抛物线解析式为，
将B（2，2）代入，得，解得，
∴抛物线解析式为，
即 ：；
（2）设直线AB的解析式为：，将A（10，0），B（2，2）代入，得，解得，
∴，
∵P（m，0），
∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，
∴当x=10-2m时，QM=，
∴QD=m，
∵四边形QCDE是正方形，
∴；
（3）① ∵点P的坐标为（2，0），
∴将x=2代入抛物线解析式：可得点N的坐标为（2，2），
由正方形的性质可得点G的坐标为：（2，4），
∴PG=4，
又∵当GF和EQ落在同一条直线上时，△PGQ为等腰直角三角形，
∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB解析式 可得点M的坐标为：（6，1），即QM=1，QD=2，
∴阴影部分面积和=×（PG2+QD2）=5；
②若点P继续向点A运动，则当两个正方形分别有边落在同一条直线上时，点P的坐标如下：
P1（2.5，0），P2（，0），P3（9-，0）．
点睛：本题考查的是二次函数、函数和正方形的性质的综合应用，能熟练“用待定系数法求函数解析式、熟悉正方形、二次函数和函数的相关性质”是正确解答本题的关键.
2022-2023学年甘肃省区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)
1. 2018的相反数是（ ）
A. B. 2018 C. -2018 D.
2. 一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ）
A. -3 B. 2 C. 0 D. 1
3. 随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 关于一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两没有相等实数根 B. 有两相等实数根
C. 无实数根 D. 没有能确定
6. 没有等式组的最小整数解是（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
7. 下图所示立体图形的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
8. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且x≠3 D.
9. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，往竖直放置在处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“”形装置中注入一定量的水，水面高度为，现将右边细管绕处顺时针方向旋转到位置，则中水柱的长度约为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，由四个全等直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知: 表示没有超过的整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 或1
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
13. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点是反比例函数图象上的一点， 轴于点，则的面积为___________.
14. 如图， 是的内心，连接，的面积分别为，则___________.(填“<”或“=”或“>”)
15. 从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试.学生已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为___________.
16. 如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.
17. 如图，已知半圆与四边形的边都相切，切点分别为，半径，则___________.
18. 设是一列正整数，其中表示个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________.
三、解 答 题
19. 计算: .
20. 先化简，再求值: ，其中.
21. 为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为四个没有同的等级，绘制成没有完整统计图如下图，请根据图中的信息，解答下列问题；
(1)求样本容量；
(2)补全条形图，并填空∶ ；
(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为级的人数为多少？
22. 如图，长沙九龙仓国际金融主楼高达，是目前湖南省高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼高，为了测量高楼上发射塔的高度，在楼底端点测得的仰角为α，，在顶端E测得A的仰角为，求发射塔的高度.
23. “绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买两种型号的处理设备共10台，已知每台型设备日处理能力为12吨；每台型设备日处理能力为15吨，购回的设备日处理能力没有低于140吨.
(1)请你为该景区设计购买两种设备的；
(2)已知每台型设备价格为3万元，每台型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款没有低于40万元时，则按9折优惠；问:采用(1)设计的哪种，使购买费用至少，为什么?
24. 如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.
(1)求证: ；
(2)判断四边形的形状，并说明理由.
25. 如图， 是以为直径的上的点，，弦交于点.
(1)当是切线时，求证: ；
(2)求证: ；
(3)已知，是半径的中点，求线段的长.
26. 如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线的顶点， 是线段的中点.
(1)求抛物线的解析式，并写出点的坐标;
(2) 是抛物线上的动点；
①当时，求面积的值；
②当时，求点的坐标.
2022-2023学年甘肃省区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)
1. 2018的相反数是（ ）
A. B. 2018 C. -2018 D.
【正确答案】C
【详解】【分析】根据只有符号没有同的两个数互为相反数进行解答即可得.
【详解】2018与-2018只有符号没有同，
由相反数定义可得2018的相反数是-2018，
故选C.
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
2. 一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ）
A. -3 B. 2 C. 0 D. 1
【正确答案】B
【详解】【分析】一组数据中出现次数至多的数据是众数，根据众数的定义进行求解即可得.
【详解】数据-3，2，2，0，2，1中，2出现了3次，出现次数至多，其余的都出现了1次，
所以这组数据的众数是2，
故选B.
本题考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键.
3. 随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，n是正数；当原数的值<1时，n是负数．
【详解】210万=2100000，
2100000=2.1×106，
故选B．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得．
【详解】解：A.，故A选项错误，没有符合题意；
B.，故B选项错误，没有符合题意；
C.，故C选项错误，没有符合题意；
D.，正确，符合题意，
故选：D．
本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键．
5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两没有相等实数根 B. 有两相等实数根
C. 无实数根 D. 没有能确定
【正确答案】A
【详解】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.
【详解】，
△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，
∵(k+1)2≥0，
∴(k+1)2+8>0，
即△>0，
∴方程有两个没有相等实数根，
故选A.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
6. 没有等式组的最小整数解是（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【正确答案】B
【分析】分别求出没有等式组中每一个没有等式的解集，然后确定出没有等式组的解集，即可求出最小的整数解．
【详解】，
解没有等式①得，x≤2，
解没有等式②得，x＞－1，
所以没有等式组的解集是：－1＜x≤2，
所以最小整数解为0，
故选：B．
本题考查了解一元没有等式组，没有等式组的整数解，熟练掌握一元没有等式组的解法是关键．
7. 下图所示立体图形的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，根据俯视图是从物体上面看得到的视图即可．
【详解】从物体上面看可看到有两列小正方形，左边的一列有1个，右边一列有两个，
得到的图形如图所示：
故选B.
本题考查了几何体的三视图，明确每个视图是从几何体的哪一面看得到的是解题的关键.
8. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且x≠3 D.
【正确答案】C
【详解】【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件进行求解即可得.
【详解】由题意得：，
解得：x≥2且x≠3，
故选C.
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】A
【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，
将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，
由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为
y=2x-7+3=2x-4，
故选A．
本题考查了函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10. 如图，往竖直放置的在处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“”形装置中注入一定量的水，水面高度为，现将右边细管绕处顺时针方向旋转到位置，则中水柱的长度约为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】【分析】根据旋转后两侧液面的高度相等，而且软管中液体的总长度与原来是一样的，已知可知此时AB 中水柱的长度为左边水柱长度的2倍，据此即可得.
【详解】如图，旋转后AB中水柱的长度为AD，左侧软管中水柱的长度为EF，
过点D作DM⊥FA．由题意则有EF+AD=2×6=12cm，
∵∠DAM=90°-60°=30°，∠AMD=90°，∴AD=2DM，
∵EF=DM，
∴AD=8cm，
故选C.
本题主要考查了30度角所对直角边是斜边的一半，旋转的性质等，解本题的关键是明确旋转前后软管中水柱的长度是没有变的.
11. 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】【分析】设直角三角形的直角边长分别为x、y（x>y），根据大正方形的面积为169，小正方形的面积为49可得关于x、y的方程组，解方程组求得x、y的值，然后利用正弦、余弦的定义进行求解即可得.
【详解】设直角三角形的直角边长分别为x、y（x>y），由题意得，
解得：或（舍去），
∴直角三角形的斜边长为13，
∴sinα-cosα=，
故选D.
本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键.
12. 已知: 表示没有超过的整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 或1
【正确答案】C
【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.
【详解】A. ==0-0=0，故A选项正确，没有符合题意；
B. ===，=，
所以，故B选项正确，没有符合题意；
C. =，= ，
当k=3时，==0，= =1，
此时，故C选项错误，符合题意；
D.设n为正整数，
当k=4n时，==n-n=0，
当k=4n+1时，==n-n=0，
当k=4n+2时，==n-n=0，
当k=4n+3时，==n+1-n=1，
所以或1，故D选项正确，没有符合题意，
故选C
本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
13. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点是反比例函数图象上的一点， 轴于点，则的面积为___________.
【正确答案】1
【详解】【分析】设P点坐标为（m，n），根据三角形的面积公式以及点P在反比例函数图象上即可得.
【详解】设P点坐标为（m，n），则有mn=2，OA=|m|，PA=|n|，
S△POA=OA•PA=|m|•|n|=1，
故答案1.
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，用到的知识为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
14. 如图， 是的内心，连接，的面积分别为，则___________.(填“<”或“=”或“>”)
【正确答案】＜
【详解】【分析】根据点P是△ABC的内心，可知点P到△ABC三边的距离相等，设这个距离为h，根据三角形的面积公式表示出S1、S2+S3，然后再根据三角形三边关系进行判断即可.
【详解】∵点P是△ABC的内心，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
设这个距离为h，
∴S1=AB•h，S2+S3=BC•h+AC•h，
∵AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3，
故答案为＜.
本题考查了三角形内心的性质，三角形三边关系，熟知三角形的内心到三角形三边距离相等是解本题的关键.
15. 从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试.学生已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为___________.
【正确答案】
【详解】【分析】列表格得出所有等可能的情况，然后再找出符合题意的情况，根据概率公式进行计算即可得.
【详解】列表格：
政治
历史
地理
化学
化学，政治
化学，历史
化学，地理
生物
生物，政治
生物，历史
生物，地理
从表格中可以看出一共有6种等可能的情况，选择地理和生物的有1种情况，
所以选择地理和生物的概率是，
故答案为.
本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16. 如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.
【正确答案】6
【详解】【分析】由等腰三角形的性质可得∠C ＝∠ABC， BD=DC=BC，再根据∠BED=∠CFB=90°，可证△BED∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得.
【详解】∵AB=AC，
∴∠C ＝∠ABC ，
又∵AD ⊥BC于 D 点，
∴ BD=DC=BC，
又 DE ⊥AB，BF ⊥AC，
∴∠BED=∠CFB=90°，
∴△BED∽△CFB，
∴DE：BF=BD：BC=1：2，
∴BF=2DE=2×3=6cm ，
故答案为6.
本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，得到△BED∽△CFB是解本题的关键.
17. 如图，已知半圆与四边形的边都相切，切点分别为，半径，则___________.
【正确答案】1
【详解】【分析】连接 OE，由切线长定理可得∠AOE=∠DOE，∠BOE=∠EOC，再根据∠DOE+∠EOC=180°，可得∠AOB=90°，继而可证△AEO∽△OEB，根据相似三角形对应边成比例即可得.
【详解】如图，连接 OE，
∵AD、AB与半圆 O 相切，
∴ OE⊥AB，OA平分∠DOE，
∴∠AOE=∠DOE，
同理∠BOE=∠EOC，
∵∠DOE+∠EOC=180°，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
即∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠AOE=90°，
∴∠ABO=∠AOE，
∵∠OEA=∠BEO=90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴AE：OE=OE：BE，
∴AE•BE=OE²=1，
故答案为1.
本题考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质等，证得△AEO∽△OEB是解题的关键.
18. 设是一列正整数，其中表示个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________.
【正确答案】4035
【详解】【分析】整理得，从而可得an+1-an=2或an=-an+1，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，
∴an+1-an=2或an=-an+1，
又∵是一列正整数，
∴an=-an+1没有符合题意，舍去，
∴an+1-an=2，
又∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，
∴a2018=2×2018-1=4035，
故答案为4035.
本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2.
三、解 答 题
19. 计算: .
【正确答案】10
【详解】【分析】先分别进行0次幂的计算、负指数幂的计算、二次根式以及值的化简、角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】原式=1+9-+4
=10-+
=10.
本题考查了实数的混合运算，涉及到0指数幂、负指数幂、角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
20. 先化简，再求值: ，其中.
【正确答案】原式==3+2
【详解】【分析】括号内先通分进行加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，把数值代入化简后的式子进行计算即可.
【详解】原式=
=
=，
当x=时，原式==3+2.
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
21. 为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为四个没有同的等级，绘制成没有完整统计图如下图，请根据图中的信息，解答下列问题；
(1)求样本容量；
(2)补全条形图，并填空∶ ；
(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为级的人数为多少？
【正确答案】(1)60；(2)10；(3)2000
【分析】（1）根据B等级的人数为18，占比为30%即可求得样本容量；
（2）用样本容量减去A等级、B等级、D等级的人数求得C等级的人数，补全条形图，用D等级的人数除以样本容量再乘以即可求得n；
（3）用5000乘以A等级所占的比即可求得．
【详解】（1）样本容量为：18÷30%=60；
（2）C等级的人数为：60-24-18-6=12，
补全条形图如图所示：
6÷60×=10% ，
所以n=10，
故答案为10；
（3）估计本次测试成绩为级的人数为：5000×=2000（人）．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体，能从统计图中得到必要信息是解题的关键．
22. 如图，长沙九龙仓国际金融主楼高达，是目前湖南省高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼高，为了测量高楼上发射塔的高度，在楼底端点测得的仰角为α，，在顶端E测得A的仰角为，求发射塔的高度.
【正确答案】AB的高度为28米
【详解】【分析】设AB的高度为x米，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，继而可得BF＝112米，从而可得AF＝（112+x）米，在Rt△AEF中，根据等腰直角三角形的性质可得EF＝AF＝CD＝（112+x）米，Rt△ACD中，由sinａ= ，可得tanａ= ，再由tanａ＝得到关于x的方程，解方程即可求得AB的长.
【详解】设AB的高度为x米，
如图，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，
∴BF＝452－340＝112米，
∴AF＝（112+x）米，
在Rt△AEF中，∠FAE＝∠AEF＝45°，
∴EF＝AF＝CD＝（112+x）米，
Rt△ACD中，sinａ= =，
设AC=24k，AD=25k(k>0)，由勾股定理则有CD==7k，
∴tanａ== ，
Rt△ACD中，AC=（452+x）米，tanａ＝=，
解得x=28，
答：发射塔AB的高度是28米..
此题主要考查了解直角三角形应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．
23. “绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买两种型号的处理设备共10台，已知每台型设备日处理能力为12吨；每台型设备日处理能力为15吨，购回的设备日处理能力没有低于140吨.
(1)请你为该景区设计购买两种设备的；
(2)已知每台型设备价格为3万元，每台型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款没有低于40万元时，则按9折优惠；问:采用(1)设计的哪种，使购买费用至少，为什么?
【正确答案】（1）共有4种，具体见解析；（2）购买A型设备2台、B型设备8台时费用至少.
【分析】（1）设该景区购买A种设备为x台、则B种设备购买（10-x）台，其中 0 ≤x ≤10，根据购买的设备日处理能力没有低于140吨，列没有等式，求出解集后再根据x的范围以及x为整数即可确定出具体；
（2）针对（1）中的逐一进行计算即可做出判断.
【详解】解：（1）设该景区购买设计 A型设备为x台、则 B型设备购买（10-x）台，其中 0 ≤x ≤10，
由题意得：12x+15（10－x）≥140，
解得x≤ ，
∵0 ≤x ≤10，且x是整数，
∴x＝3，2，1，0，
∴B型相应的台数分别为7，8，9，10，
∴共有4种：
一：A型设备 3 台、B型设备 7 台；
二：A型设备 2 台、B型设备 8 台；
三：A型设备 1 台、B型设备 9 台；
四：A型设备 0 台、B型设备 10 台.
（2）二费用至少，理由如下：
一购买费用: 3 ×3+4.4 ×7=39.8 （万元）＜40 （万元），∴费用为 39.8（万元）；
二购买费用: 2 ×3+4.4 ×8=41.2 （万元）＞40 （万元），
∴ 费用为 41.2 ×90%=37.08（万元）；
三购买费用：3 ×1+4.4 ×9=42.6 （万元）＞40 （万元），
∴ 费用为 42.6 ×90%=38.34（万元）；
四购买费用：4.4 ×10=44 （万元）＞40 （万元）， ∴ 费用为 44 ×90%=39.6（万元）．
∴二费用至少，即A型设备2台、B型设备8台时费用至少.
本题考查了一元没有等式的应用、最优购买，弄清题意，找到没有等关系列出没有等式是解题的关键.
24. 如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.
(1)求证: ；
(2)判断四边形的形状，并说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形BED是菱形，理由见解析.
【详解】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由已知可得四边形ABCD是平行四边形，继而可根据ASA证明ΔAOE≌ΔCOF；
（2）由ΔAOE≌ΔCOF可得OE=OF，再根据OB=OD可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得四边形BEDF是菱形.
【详解】（1）∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形.
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，熟记平行四边形的判定与性质定理、菱形的判定定理是解本题的关键.
25. 如图， 是以为直径的上的点，，弦交于点.
(1)当是的切线时，求证: ；
(2)求证: ；
(3)已知，是半径的中点，求线段的长.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE＝
【详解】【分析】（1）由AB是直径，可得∠DAB+∠ABD＝90°，再根据 PB是⊙O的切线，可得∠ABD+∠PBD＝90°，根据同角的余角相等即可证得∠PBD＝∠DAB；
（2）证明△BCE∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例可得BC2＝CE•CD，再根据CD=CE+DE推导即可得BC2- CE2= CE•DE；
(3) 连接OC，由，AB是直径，可得∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理则有CE²=OE²+CO²， BC²=OB²+CO² ，再根据OA=4 ，E 是半径 OA 的中点，继而可得BC=4，CE=2，再根据（2）中 BC²-CE²=CE·DE，即可求得DE的长.
【详解】（1）∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠ABD＝90°，
又 ∵ PB是⊙O的切线，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°，
∴∠PBD＝∠DAB；
（2）∵，
∴∠BDC＝∠EBC，
又∵∠BCE＝BCD，
∴△BCE∽△DCB，
∴BC：CE=CD：BC，
∴BC2＝CE•CD，
∴BC2＝CE(CE+DE)，
∴BC2＝CE2+CE•DE，
∴BC2- CE2= CE•DE；
(3)如图，连接OC，
∵，AB是直径，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴CE²=OE²+CO²， BC²=OB²+CO² ，
∵OA=4 ，E 是半径 OA 的中点，
∴BC=4，CE=2，
由（2）中 BC²-CE²=CE·DE，所以 DE=(BC²-CE²)÷CE=12÷2= ，
故 DE=.
本题是综合题，考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等，解题的关键是正确添加辅助线、熟练应用切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
26. 如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线的顶点， 是线段的中点.
(1)求抛物线的解析式，并写出点的坐标;
(2) 是抛物线上的动点；
①当时，求的面积的值；
②当时，求点的坐标.
【正确答案】（1）y=-x2+2x+3，D(1,4)； (2) ①当x=2时，S值=1；②F（－，－2－２）或（2－，－2+2）
【详解】【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式，然后再配方成顶点式即可得点D的坐标；
（2）①由x＞1，y＞0，可以确定点F是直线BD上方抛物线上的动点，F（x, -x2+2x+3），过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，由B、D的坐标易得yBD=-2x+6，继而得M（x，-2x+6），从而得到FM=-(x-2)2+1，再根据S△BDF=S△DFM+S△BFM，从而可得S△BDF=-(x-2)2+1，根据二次函数的性质即可得；
②分点F在x轴上方抛物线上，点F在x轴下方、y轴左侧抛物线上两种情况进行讨论即可得.
【详解】（1）抛物线与两坐标轴相交于点
由题意得：，解得：，
所以抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
配方得 y=-(x-1)2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）；
（2） ①∵x＞1，y＞0，
∴点F是直线BD上方抛物线上的动点，
则F（x, -x2+2x+3），
如图，过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，
∵B（3，0）， D（1，4），
∴yBD=-2x+6，
则M（x，-2x+6），
∴FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1，
∵S△BDF=S△DFM+S△BFM，
∴S△BDF=FM•（x-1）+FM•（3-x）=FM•(x-1+3-x)=FM =-(x-2)2+1，
∴当x=2时，S值＝1；
②如图，当 FE∥BD，且点F在x轴上方抛物线上时，
设FE的解析式为y=-2x+b，
∵直线FE过点E（1，0），
∴b=2，
yFE=-2x+2，
联立y=-2x+2与y=-x2+2x+3，
解得F（2－，－2+2）；
如图，当F在x轴下方、y轴左侧抛物线上时，设直线EF与直线BD交于点N，
∵∠AEF=∠NEB，
又∵∠AEF＝∠DBE，
∴∠NEB＝∠DBE，
∴NE=，
∴点N的横坐标为2，
又∵点N在直线yBD=-2x+6上，
∴N（2，2），
∴yＥN＝2x-2，
联立y=2x-2与y=-x2+2x+3，
解得F（－，－2－2），
综上所述F（－，－2－2）或（2－，－2+2）.
本题是二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、解方程组、分类讨论等，解题的关键是正确添加辅助线.
2022-2023学年甘肃省区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
2. 下列四个几何体的俯视图中与众没有同的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
4. 没有等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列为没有可能的是( )．
A. 某射击运动员射击，命中靶心
B. 掷骰子，向上的一面是5点
C. 找到一个三角形，其内角和为360°
D. 城市某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
6. 如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（ ）
A. 20° B. 35° C. 45° D. 70°
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A 4 B. 6 C. 3 D. 3
8. 在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论：
①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE ③BN－AM ＝2 ④
上述结论中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
9. 2016年9月26日，我国自主设计建造的世界球面射电望远镜落成启用．该望远 镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为____光年．
10. 分解因式：2x2﹣8=_______
11. 在函数中，自变量的取值范围是__________．
12. 用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14元/块，单色地砖12元/块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2倍少15块，买两种地砖共用了1340元，设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组为_______________.
13. 如图，对平行四边形ABCD对角线交点O的直线分别交AB的延长线于点E，交CD的延长线于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长等于__．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________________________ .
15. 如图，菱形OABC一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.
16. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______.
三、解 答 题（每小题8分，共16分）
17. 计算：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
（1）将△ABC向左平移3个单位，再向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所的路径长.
19. 如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有3,4,5的三个球放入甲箱中，标有4,5,6的三个球放入乙箱中．
(1)小宇从甲箱中随机模出一个球，求“摸出标有数字是3的球”的概率；
(2)小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”．请你用列表法(或画树状图)求小宇“略胜一筹”的概率．
20. 某文具店老板次用1000元购进一批文具，很快完毕，第二次购进时发现每件文具的进价比次上涨了2.5元，老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是次购进数量的2倍，同样很快完毕，已知两批文具的售价均为每件15元.
（1）第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
21. 某中学开展“阳光体育一小时”，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行，并将结果绘制成如下两个统计图.请图中的信息解答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整.
（3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？
22. 如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形菱形．
23. 一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处， 发现它的东向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离．（结果保留根号）
24. 某商场新进一批商品，每个成本价25元，一段时间发现量y（个）与单价x（元/个）之间成函数关系，如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商品的单价在45元～80元之间浮动，
①单价定为多少元时，利润？此时量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4550元的利润，单价应定为多少元？
25. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，没有必说明理由．
2022-2023学年甘肃省区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
【正确答案】C
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号没有同的两个数互为相反数是关键．
2. 下列四个几何体的俯视图中与众没有同的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得
A的俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B的俯视图是列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D的俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选B．
本题考查简单组合体的三视图．
3. 下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：
根据整式的相关运算法则进行计算判断即可.
详解：
A选项中，因为，所以A中计算错误；
B选项中，因为，所以B中计算错误；
C选项中，因为，所以C中计算错误；
D选项中，因，所以D中计算正确.
故选D.
点睛：熟练掌握各选项中所涉及的整式运算的运算法则，是正确解答本题的关键.
4. 没有等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出两个没有等式的解集，再求其公共解．
【详解】解：由x≤1得：x≤2．由2-x＜3得：x＞-1．所以没有等式组的解集为-1＜x≤2．
故选C．
此题主要考查没有等式组的解法及在数轴上表示没有等式组的解集．没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5. 下列为没有可能的是( )．
A. 某射击运动员射击，命中靶心
B. 掷骰子，向上的一面是5点
C. 找到一个三角形，其内角和为360°
D. 城市某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
【正确答案】C
【详解】解：A、B、D都是有可能发生的，但是C是没有可能的，因为三角形内角和都是180°．
故选∶C．
本题主要考查学生对可能和没有可能的理解，同时考查学生对代数几何知识点的熟记程度．
6. 如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（ ）
A. 20° B. 35° C. 45° D. 70°
【正确答案】B
【详解】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=35°，∵CD∥OB，∴∠BOC=∠C=35°，
故选B．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A 4 B. 6 C. 3 D. 3
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠CAB=30°，故AB=4，
∵△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
∴AB=A′B′=4，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC=30°，
∴AB′=B′C=2，
∴AA′=2+4=6．
故选B．
考点：1、旋转的性质；2、直角三角形的性质
8. 在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论：
①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE ③BN－AM ＝2 ④ .
上述结论中正确的个数是
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】试题解析：①如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∵∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．
∵AM没有一定等于CN，∴AM没有一定等于CN，∴①错误，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正确，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正确，④如图，
由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN
∵tanα=，∴AM=AEtanα
∵cosα==，∴ ，∴=1+=1+=1+，∴=2（1+）
∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
=（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM
=（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN
=（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）
=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）
=AE+AM﹣AE×AM+
=AE+AEtanα﹣tanα+
=2+2tanα﹣2tanα+2
=2（1+）
=，∴④正确．
故选C．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
9. 2016年9月26日，我国自主设计建造的世界球面射电望远镜落成启用．该望远 镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为____光年．
【正确答案】1.37×1010.
【详解】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于1时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
13 700 000 000=1.37×1010，
故答案为1.37×1010．
考点：科学记数法—表示较大的数.
10. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
11. 在函数中，自变量的取值范围是__________．
【正确答案】且
【详解】试题解析：根据题意可得：，
解得：且．
故答案为且．
点睛：分式有意义的条件：分母没有为零.
二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零.
12. 用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14元/块，单色地砖12元/块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2倍少15块，买两种地砖共用了1340元，设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组为_______________.
【正确答案】
【详解】分析：
根据题中所给的两个等量关系：（1）单色地砖的数量=2×彩色地砖的数量-15；（2）购买单色地砖的总费用+购买彩色地砖的总费用=1340，再题目中的已知数据列出方程组即可.
详解：
设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组：
.
故答案为.
点睛：读懂题意，找到两个等量关系：“（1）单色地砖的数量=2×彩色地砖的数量-15；（2）购买单色地砖的总费用+购买彩色地砖的总费用=1340”是解答本题的关键.
13. 如图，对平行四边形ABCD对角线交点O的直线分别交AB的延长线于点E，交CD的延长线于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长等于__．
【正确答案】2
【详解】试题解析：连接AC,如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4,AB∥CD，AO=CO，
∴∠F=∠E，
在△COF和△AOE中,
∴△COF≌△AOE(AAS)，
∴DF=CF−CD=6−4=2；
故答案为2.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________________________ .
【正确答案】
【分析】阴影部分的面积等于整体图形的面积减去空白部分的面积，旋转的性质和扇形的面积求解.
【详解】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝5.
根据旋转的性质可知，∠BAD＝30°，AD＝AB＝5，△ABC≌△ADE.
因为S阴影＝S△ABC＋S扇形OBD－S△ADE，
所以S阴影＝S扇形OBD＝.
本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分没有是规则图形，也没有是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求.
15. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.
【正确答案】﹣24
【分析】如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，由tan∠AOC=可得OF=3x，由此可得OC=5x，从而可得OA=5x，由已知条件易证S菱形ABCO=2S△COD=40=OA·CF=20x2，从而可得x=，由此可得点C的坐标为，这样由点C在反比例函数的图象上即可得到k=-24.
【详解】如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AB//CO，AO//BC，
∵DE//AO，
∴四边形AOED和四边形DECB都是平行四边形，
∴S△AOD=S△DOE，S△BCD=S△CDE，
∴S菱形ABCD=2S△DOE+2S△CDE=2S△COD=40，
∵tan∠AOC=，CF=4x，
∴OF=3x，
∴在Rt△COF中，由勾股定理可得OC=5x，
∴OA==OC=5x，
∴S菱形ABCO=AO·CF=5x·4x=20x2=40，解得：x=，
∴OF=，CF=，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k=.
故-24.
本题的解题要点有两点：（1）作出如图所示的辅助线，设CF=4x，已知条件把OF和OA用含x的式子表达出来；（2）由四边形AOCB是菱形，点D在AB上，S△COD=20得到S菱形ABCO=2S△COD=40.
16. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______.
【正确答案】
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′.
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=
∴BD=CD′=，
故答案为.
三、解 答 题（每小题8分，共16分）
17. 计算：．
【正确答案】．
【详解】分析：
代入30°角的正切函数值，“零指数幂的意义”、“负整数指数幂的意义”和“二次根式的性质”进行计算即可.
详解：
原式=
=.
点睛：熟记“角的三角函数值”和“零指数幂的意义：”及“负整数指数幂的意义：（为正整数）”是正确解答本题的关键.
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
（1）将△ABC向左平移3个单位，再向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所的路径长.
【正确答案】(1)见解析；（2）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C，△ABC绕点C顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再先求得AC的长，再根据弧长公式列式计算即可．
【详解】(1)如图所示：A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1) 向左平移3个单位，再向上平移5个单位的坐标分别为A1(-2,1)、B1（0，2）、C1（－2，4）.
(2)如图所示：AC＝4－1＝3，.
考查作图-旋转变换，轨迹，作图-平移变换，解题的关键是：平移，旋转后对应点的坐标表示出来，及弧长公式的正确运用．
19. 如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有3,4,5的三个球放入甲箱中，标有4,5,6的三个球放入乙箱中．
(1)小宇从甲箱中随机模出一个球，求“摸出标有数字是3的球”的概率；
(2)小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”．请你用列表法(或画树状图)求小宇“略胜一筹”的概率．
【正确答案】（1）；（2）P(小宇“略胜一筹”)＝.
【详解】分析：
（1）由题意可知，小宇从甲箱中任意摸出一个球，共有3种等可能结果出现，其中结果为3的只有1种，由此可得小宇从甲箱中任取一个球，刚好摸到“标有数字3”的概率为；
（2）根据题意通过列表的方式列举出小宇和小静摸球的所有等可能结果，然后根据表中结果进行解答即可.
详解：
(1)P(摸出标有数字是3的球)＝.
(2)小宇和小静摸球的所有结果如下表所示：
小静
小宇
4
5
6
3
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,4)
(5,5)
(5,6)
从上表可知，一共有九种可能，其中小宇所摸球的数字比小静的大1的有一种，因此
P(小宇“略胜一筹”)＝.
点睛：能正确通过列表的方式列举出小宇在甲箱中任摸一个球和小静在乙箱中任摸一个球的所有等可能结果，是正确解答本题第2小题的关键.
20. 某文具店老板次用1000元购进一批文具，很快完毕，第二次购进时发现每件文具的进价比次上涨了2.5元，老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是次购进数量的2倍，同样很快完毕，已知两批文具的售价均为每件15元.
（1）第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
【正确答案】（1）第二次购进了200件文具.
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利1000元
【详解】本题中两个等量关系：（1）次的进价+2.5=第二次的进价，（2）第二次的数量=2×次的数量.利用（2）设出未知数，并且用未知数表示出另一个的数量，然后利用（1）列方程.两批文件的总售价－1000－2500=总利润.
21. 某中学开展“阳光体育一小时”，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行，并将结果绘制成如下两个统计图.请图中的信息解答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整.
（3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目学生约有多少名？
【正确答案】（1）本次共200名学生；（2）补全图形见解析；（3）该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有180人.
【分析】（1）条形统计图和扇形统计图，利用A组频数80除以A组频率40%，即可得到该校本次了多少名学生；
（2）利用（1）中所求人数，减去A、B、D组的频数即可的C组的频数；B组频数除以总人数即可得到B组频率；
（3）用1200乘以抽查的人中喜欢篮球运动项目的人数所占的百分比即可．
【详解】解：（1）80÷40%=200（人）
∴本次共200名学生
（2）200−80−30−50=40(人)，
30÷200×=15%，
补全如下图：
（3）1200×15%=180（人）
∴该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有180人．
22. 如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形．
【正确答案】（1）30° （2）证明见详解
【分析】（1）由直径AB的长，求出半径OA及OC的长，再由AC的长，得到三边相等，可得此三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可得出∠AEC的度数；
（2）由直线l与⊙O相切，根据切线的性质得到OC与直线l垂直，又BD与直线l垂直，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到，根据两直线平行同位角相等，可得出，再由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠AED为直角，用求出，可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行，可得出，根据两组对边平行的四边形为平行四边形可证明四边形OBEC为平行四边形，再由，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出OBEC为菱形．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴△OAC为等边三角形，
∴，
∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都对弧，
∴；
【小问2详解】
证明：∵直线l切⊙O于C，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵AB为⊙O直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵，
∴四边形OBEC为菱形．
本题主要考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、平行四边形及菱形的判定等知识，是一道综合性较强的试题，做题时应图形，弄清题中的条件，找出已知与未知间的联系来解决问题．
23. 一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处， 发现它的东向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离．（结果保留根号）
【正确答案】此时船与灯塔的距离为72海里．
【详解】分析：
如下图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意易得AC=72，再Rt△ACD中已知条件可解得CD=，再在Rt△CDB中由已知条件求得∠B=30°，即可解得BC=.
详解：
过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，AC=36×2=72 ，∠A=45°，
∴sinA=，
∴CD=AC·sinA=72×，
在Rt△BCD中，∠B=∠PCB- ∠A=75°-45°=30°，
∴BC=2·CD=2×3672（海里） ，
∴此时船与灯塔的距离为72海里.
点睛：读懂题意，得到∠A=45°，AC=72，∠PCB=75°，并由此得到∠B=30°，再作出如图所示的辅助线，把问题转化成在Rt△ACD和△CBD中求CD和BC的长，是解答本题的关键.
24. 某商场新进一批商品，每个成本价25元，一段时间发现量y（个）与单价x（元/个）之间成函数关系，如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商品的单价在45元～80元之间浮动，
①单价定为多少元时，利润？此时量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4550元的利润，单价应定为多少元？
【正确答案】（1）y=-2x+250；（2）①75，100；②单价应定在60元．
【分析】（1）设出函数解析式，把两组值分别代入计算可得的值；
①利润=量单价，得到二次函数解析式，求得相应的最值即可；②把代入①得到的解析式，求得合适的解即可．
【详解】（1）设由题意得：，解得，
（2）①设该商品的利润为元，，∴当时，，此时销量为（个）；
②，解得
考点：1、函数的应用；2、一元二次方程的应用．
25. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．
【正确答案】（1）BD＝MF，BD⊥MF；（2）β的度数为60°或15°；（3）平移的距离是（3﹣）cm．
【分析】（1）由旋转的性质得到BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．
（2）分两种情形讨论①当AK=FK时，②当AF=FK时，根据旋转的性质得出结论．
（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例，即可得到A2A的大小．
【详解】（1）结论：BD=MF，BD⊥MF．理由：
如图1，延长FM交BD于点N．
由题意得：△BAD≌△MAF，∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．
（2）如图2．
①当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK（180°﹣∠F）=75°，∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，即β=15°；
综上所述：β的度数为60°或15°；
（3）如图3．
由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x．在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=4，∠F=∠ADB=30°，∴A2M2=2，A2F2=2，∴AF2=2x．
∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，∴AP=AF2•tan30°=2x，∴PD=AD﹣AP=22x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB，∴，∴，解得：x=，即A2A=，∴平移的距离是（）cm．
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，没有必说明理由．
【正确答案】（1）抛物线解析式为；（2）；（3）①5；② P1（2.5，0），P2（9-，0），P3（，0）．
【详解】分析：
（1）由抛物线过原点和点A（10，0）设其解析式为，代入点B的坐标（2，2）解得a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）由已知条件求出直线AB的解析式，由点P的坐标为（m，0）已知条件可得OQ=10-2m，由此即可用含m的式子表达出DQ的长度，这样由四边形ACDE是正方形即可由S=DQ2求出S与m之间的函数关系式了；
（3）①将x=2代入抛物线解析式得y=2，可知点N的坐标为（2，2），点G的坐标为（2，4），当GF和EQ落在同一条直线上时，△FGQ为等腰直角三角形，则PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，将x=6代入直线AB解析式可求得得点M的坐标为（6，1），即QM=1，由旋转法可知，每一个阴影部分面积等所在正方形面积的一半，由此可求两个阴影部分面积和；②分为PF、DE在同一直线上；PF、CQ在同一直线上；GF、CD在同一直线上三种情况分析计算求出相应的P点的坐标即可.
详解：
（1）∵抛物线过O（0，0），A（10，0），
∴设抛物线解析式为，
将B（2，2）代入，得，解得，
∴抛物线解析式为，
即 ：；
（2）设直线AB的解析式为：，将A（10，0），B（2，2）代入，得，解得，
∴，
∵P（m，0），
∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，
∴当x=10-2m时，QM=，
∴QD=m，
∵四边形QCDE是正方形，
∴；
（3）① ∵点P的坐标为（2，0），
∴将x=2代入抛物线解析式：可得点N的坐标为（2，2），
由正方形的性质可得点G的坐标为：（2，4），
∴PG=4，
又∵当GF和EQ落在同一条直线上时，△PGQ为等腰直角三角形，
∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB解析式 可得点M的坐标为：（6，1），即QM=1，QD=2，
∴阴影部分面积和=×（PG2+QD2）=5；
②若点P继续向点A运动，则当两个正方形分别有边落在同一条直线上时，点P的坐标如下：
P1（2.5，0），P2（，0），P3（9-，0）．
点睛：本题考查的是二次函数、函数和正方形的性质的综合应用，能熟练“用待定系数法求函数解析式、熟悉正方形、二次函数和函数的相关性质”是正确解答本题的关键.
2022-2023学年甘肃省区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)
1. 2018的相反数是（ ）
A. B. 2018 C. -2018 D.
2. 一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ）
A. -3 B. 2 C. 0 D. 1
3. 随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 关于一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两没有相等实数根 B. 有两相等实数根
C. 无实数根 D. 没有能确定
6. 没有等式组的最小整数解是（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
7. 下图所示立体图形的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
8. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且x≠3 D.
9. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，往竖直放置在处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“”形装置中注入一定量的水，水面高度为，现将右边细管绕处顺时针方向旋转到位置，则中水柱的长度约为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，由四个全等直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知: 表示没有超过的整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 或1
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
13. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点是反比例函数图象上的一点， 轴于点，则的面积为___________.
14. 如图， 是的内心，连接，的面积分别为，则___________.(填“<”或“=”或“>”)
15. 从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试.学生已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为___________.
16. 如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.
17. 如图，已知半圆与四边形的边都相切，切点分别为，半径，则___________.
18. 设是一列正整数，其中表示个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________.
三、解 答 题
19. 计算: .
20. 先化简，再求值: ，其中.
21. 为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为四个没有同的等级，绘制成没有完整统计图如下图，请根据图中的信息，解答下列问题；
(1)求样本容量；
(2)补全条形图，并填空∶ ；
(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为级的人数为多少？
22. 如图，长沙九龙仓国际金融主楼高达，是目前湖南省高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼高，为了测量高楼上发射塔的高度，在楼底端点测得的仰角为α，，在顶端E测得A的仰角为，求发射塔的高度.
23. “绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买两种型号的处理设备共10台，已知每台型设备日处理能力为12吨；每台型设备日处理能力为15吨，购回的设备日处理能力没有低于140吨.
(1)请你为该景区设计购买两种设备的；
(2)已知每台型设备价格为3万元，每台型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款没有低于40万元时，则按9折优惠；问:采用(1)设计的哪种，使购买费用至少，为什么?
24. 如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.
(1)求证: ；
(2)判断四边形的形状，并说明理由.
25. 如图， 是以为直径的上的点，，弦交于点.
(1)当是切线时，求证: ；
(2)求证: ；
(3)已知，是半径的中点，求线段的长.
26. 如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线的顶点， 是线段的中点.
(1)求抛物线的解析式，并写出点的坐标;
(2) 是抛物线上的动点；
①当时，求面积的值；
②当时，求点的坐标.
2022-2023学年甘肃省区域中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)
1. 2018的相反数是（ ）
A. B. 2018 C. -2018 D.
【正确答案】C
【详解】【分析】根据只有符号没有同的两个数互为相反数进行解答即可得.
【详解】2018与-2018只有符号没有同，
由相反数定义可得2018的相反数是-2018，
故选C.
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.
2. 一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ）
A. -3 B. 2 C. 0 D. 1
【正确答案】B
【详解】【分析】一组数据中出现次数至多的数据是众数，根据众数的定义进行求解即可得.
【详解】数据-3，2，2，0，2，1中，2出现了3次，出现次数至多，其余的都出现了1次，
所以这组数据的众数是2，
故选B.
本题考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键.
3. 随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，n是正数；当原数的值<1时，n是负数．
【详解】210万=2100000，
2100000=2.1×106，
故选B．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得．
【详解】解：A.，故A选项错误，没有符合题意；
B.，故B选项错误，没有符合题意；
C.，故C选项错误，没有符合题意；
D.，正确，符合题意，
故选：D．
本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键．
5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两没有相等实数根 B. 有两相等实数根
C. 无实数根 D. 没有能确定
【正确答案】A
【详解】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.
【详解】，
△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，
∵(k+1)2≥0，
∴(k+1)2+8>0，
即△>0，
∴方程有两个没有相等实数根，
故选A.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
6. 没有等式组的最小整数解是（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【正确答案】B
【分析】分别求出没有等式组中每一个没有等式的解集，然后确定出没有等式组的解集，即可求出最小的整数解．
【详解】，
解没有等式①得，x≤2，
解没有等式②得，x＞－1，
所以没有等式组的解集是：－1＜x≤2，
所以最小整数解为0，
故选：B．
本题考查了解一元没有等式组，没有等式组的整数解，熟练掌握一元没有等式组的解法是关键．
7. 下图所示立体图形的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，根据俯视图是从物体上面看得到的视图即可．
【详解】从物体上面看可看到有两列小正方形，左边的一列有1个，右边一列有两个，
得到的图形如图所示：
故选B.
本题考查了几何体的三视图，明确每个视图是从几何体的哪一面看得到的是解题的关键.
8. 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且x≠3 D.
【正确答案】C
【详解】【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件进行求解即可得.
【详解】由题意得：，
解得：x≥2且x≠3，
故选C.
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】A
【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，
将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，
由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为
y=2x-7+3=2x-4，
故选A．
本题考查了函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10. 如图，往竖直放置的在处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“”形装置中注入一定量的水，水面高度为，现将右边细管绕处顺时针方向旋转到位置，则中水柱的长度约为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】【分析】根据旋转后两侧液面的高度相等，而且软管中液体的总长度与原来是一样的，已知可知此时AB 中水柱的长度为左边水柱长度的2倍，据此即可得.
【详解】如图，旋转后AB中水柱的长度为AD，左侧软管中水柱的长度为EF，
过点D作DM⊥FA．由题意则有EF+AD=2×6=12cm，
∵∠DAM=90°-60°=30°，∠AMD=90°，∴AD=2DM，
∵EF=DM，
∴AD=8cm，
故选C.
本题主要考查了30度角所对直角边是斜边的一半，旋转的性质等，解本题的关键是明确旋转前后软管中水柱的长度是没有变的.
11. 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】【分析】设直角三角形的直角边长分别为x、y（x>y），根据大正方形的面积为169，小正方形的面积为49可得关于x、y的方程组，解方程组求得x、y的值，然后利用正弦、余弦的定义进行求解即可得.
【详解】设直角三角形的直角边长分别为x、y（x>y），由题意得，
解得：或（舍去），
∴直角三角形的斜边长为13，
∴sinα-cosα=，
故选D.
本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键.
12. 已知: 表示没有超过的整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 或1
【正确答案】C
【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.
【详解】A. ==0-0=0，故A选项正确，没有符合题意；
B. ===，=，
所以，故B选项正确，没有符合题意；
C. =，= ，
当k=3时，==0，= =1，
此时，故C选项错误，符合题意；
D.设n为正整数，
当k=4n时，==n-n=0，
当k=4n+1时，==n-n=0，
当k=4n+2时，==n-n=0，
当k=4n+3时，==n+1-n=1，
所以或1，故D选项正确，没有符合题意，
故选C
本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.
二、填 空 题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
13. 如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点是反比例函数图象上的一点， 轴于点，则的面积为___________.
【正确答案】1
【详解】【分析】设P点坐标为（m，n），根据三角形的面积公式以及点P在反比例函数图象上即可得.
【详解】设P点坐标为（m，n），则有mn=2，OA=|m|，PA=|n|，
S△POA=OA•PA=|m|•|n|=1，
故答案1.
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，用到的知识为：在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
14. 如图， 是的内心，连接，的面积分别为，则___________.(填“<”或“=”或“>”)
【正确答案】＜
【详解】【分析】根据点P是△ABC的内心，可知点P到△ABC三边的距离相等，设这个距离为h，根据三角形的面积公式表示出S1、S2+S3，然后再根据三角形三边关系进行判断即可.
【详解】∵点P是△ABC的内心，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
设这个距离为h，
∴S1=AB•h，S2+S3=BC•h+AC•h，
∵AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3，
故答案为＜.
本题考查了三角形内心的性质，三角形三边关系，熟知三角形的内心到三角形三边距离相等是解本题的关键.
15. 从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试.学生已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为___________.
【正确答案】
【详解】【分析】列表格得出所有等可能的情况，然后再找出符合题意的情况，根据概率公式进行计算即可得.
【详解】列表格：
政治
历史
地理
化学
化学，政治
化学，历史
化学，地理
生物
生物，政治
生物，历史
生物，地理
从表格中可以看出一共有6种等可能的情况，选择地理和生物的有1种情况，
所以选择地理和生物的概率是，
故答案为.
本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16. 如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.
【正确答案】6
【详解】【分析】由等腰三角形的性质可得∠C ＝∠ABC， BD=DC=BC，再根据∠BED=∠CFB=90°，可证△BED∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得.
【详解】∵AB=AC，
∴∠C ＝∠ABC ，
又∵AD ⊥BC于 D 点，
∴ BD=DC=BC，
又 DE ⊥AB，BF ⊥AC，
∴∠BED=∠CFB=90°，
∴△BED∽△CFB，
∴DE：BF=BD：BC=1：2，
∴BF=2DE=2×3=6cm ，
故答案为6.
本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，得到△BED∽△CFB是解本题的关键.
17. 如图，已知半圆与四边形的边都相切，切点分别为，半径，则___________.
【正确答案】1
【详解】【分析】连接 OE，由切线长定理可得∠AOE=∠DOE，∠BOE=∠EOC，再根据∠DOE+∠EOC=180°，可得∠AOB=90°，继而可证△AEO∽△OEB，根据相似三角形对应边成比例即可得.
【详解】如图，连接 OE，
∵AD、AB与半圆 O 相切，
∴ OE⊥AB，OA平分∠DOE，
∴∠AOE=∠DOE，
同理∠BOE=∠EOC，
∵∠DOE+∠EOC=180°，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
即∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠AOE=90°，
∴∠ABO=∠AOE，
∵∠OEA=∠BEO=90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴AE：OE=OE：BE，
∴AE•BE=OE²=1，
故答案为1.
本题考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质等，证得△AEO∽△OEB是解题的关键.
18. 设是一列正整数，其中表示个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________.
【正确答案】4035
【详解】【分析】整理得，从而可得an+1-an=2或an=-an+1，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴an+1=an+1-1或an+1=-an+1+1，
∴an+1-an=2或an=-an+1，
又∵是一列正整数，
∴an=-an+1没有符合题意，舍去，
∴an+1-an=2，
又∵a1=1，
∴a2=3，a3=5，……，an=2n-1，
∴a2018=2×2018-1=4035，
故答案为4035.
本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2.
三、解 答 题
19. 计算: .
【正确答案】10
【详解】【分析】先分别进行0次幂的计算、负指数幂的计算、二次根式以及值的化简、角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】原式=1+9-+4
=10-+
=10.
本题考查了实数的混合运算，涉及到0指数幂、负指数幂、角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
20. 先化简，再求值: ，其中.
【正确答案】原式==3+2
【详解】【分析】括号内先通分进行加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，把数值代入化简后的式子进行计算即可.
【详解】原式=
=
=，
当x=时，原式==3+2.
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
21. 为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为四个没有同的等级，绘制成没有完整统计图如下图，请根据图中的信息，解答下列问题；
(1)求样本容量；
(2)补全条形图，并填空∶ ；
(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为级的人数为多少？
【正确答案】(1)60；(2)10；(3)2000
【分析】（1）根据B等级的人数为18，占比为30%即可求得样本容量；
（2）用样本容量减去A等级、B等级、D等级的人数求得C等级的人数，补全条形图，用D等级的人数除以样本容量再乘以即可求得n；
（3）用5000乘以A等级所占的比即可求得．
【详解】（1）样本容量为：18÷30%=60；
（2）C等级的人数为：60-24-18-6=12，
补全条形图如图所示：
6÷60×=10% ，
所以n=10，
故答案为10；
（3）估计本次测试成绩为级的人数为：5000×=2000（人）．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体，能从统计图中得到必要信息是解题的关键．
22. 如图，长沙九龙仓国际金融主楼高达，是目前湖南省高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼高，为了测量高楼上发射塔的高度，在楼底端点测得的仰角为α，，在顶端E测得A的仰角为，求发射塔的高度.
【正确答案】AB的高度为28米
【详解】【分析】设AB的高度为x米，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，继而可得BF＝112米，从而可得AF＝（112+x）米，在Rt△AEF中，根据等腰直角三角形的性质可得EF＝AF＝CD＝（112+x）米，Rt△ACD中，由sinａ= ，可得tanａ= ，再由tanａ＝得到关于x的方程，解方程即可求得AB的长.
【详解】设AB的高度为x米，
如图，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，
∴BF＝452－340＝112米，
∴AF＝（112+x）米，
在Rt△AEF中，∠FAE＝∠AEF＝45°，
∴EF＝AF＝CD＝（112+x）米，
Rt△ACD中，sinａ= =，
设AC=24k，AD=25k(k>0)，由勾股定理则有CD==7k，
∴tanａ== ，
Rt△ACD中，AC=（452+x）米，tanａ＝=，
解得x=28，
答：发射塔AB的高度是28米..
此题主要考查了解直角三角形应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．
23. “绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买两种型号的处理设备共10台，已知每台型设备日处理能力为12吨；每台型设备日处理能力为15吨，购回的设备日处理能力没有低于140吨.
(1)请你为该景区设计购买两种设备的；
(2)已知每台型设备价格为3万元，每台型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款没有低于40万元时，则按9折优惠；问:采用(1)设计的哪种，使购买费用至少，为什么?
【正确答案】（1）共有4种，具体见解析；（2）购买A型设备2台、B型设备8台时费用至少.
【分析】（1）设该景区购买A种设备为x台、则B种设备购买（10-x）台，其中 0 ≤x ≤10，根据购买的设备日处理能力没有低于140吨，列没有等式，求出解集后再根据x的范围以及x为整数即可确定出具体；
（2）针对（1）中的逐一进行计算即可做出判断.
【详解】解：（1）设该景区购买设计 A型设备为x台、则 B型设备购买（10-x）台，其中 0 ≤x ≤10，
由题意得：12x+15（10－x）≥140，
解得x≤ ，
∵0 ≤x ≤10，且x是整数，
∴x＝3，2，1，0，
∴B型相应的台数分别为7，8，9，10，
∴共有4种：
一：A型设备 3 台、B型设备 7 台；
二：A型设备 2 台、B型设备 8 台；
三：A型设备 1 台、B型设备 9 台；
四：A型设备 0 台、B型设备 10 台.
（2）二费用至少，理由如下：
一购买费用: 3 ×3+4.4 ×7=39.8 （万元）＜40 （万元），∴费用为 39.8（万元）；
二购买费用: 2 ×3+4.4 ×8=41.2 （万元）＞40 （万元），
∴ 费用为 41.2 ×90%=37.08（万元）；
三购买费用：3 ×1+4.4 ×9=42.6 （万元）＞40 （万元），
∴ 费用为 42.6 ×90%=38.34（万元）；
四购买费用：4.4 ×10=44 （万元）＞40 （万元）， ∴ 费用为 44 ×90%=39.6（万元）．
∴二费用至少，即A型设备2台、B型设备8台时费用至少.
本题考查了一元没有等式的应用、最优购买，弄清题意，找到没有等关系列出没有等式是解题的关键.
24. 如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.
(1)求证: ；
(2)判断四边形的形状，并说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形BED是菱形，理由见解析.
【详解】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由已知可得四边形ABCD是平行四边形，继而可根据ASA证明ΔAOE≌ΔCOF；
（2）由ΔAOE≌ΔCOF可得OE=OF，再根据OB=OD可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得四边形BEDF是菱形.
【详解】（1）∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形.
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，熟记平行四边形的判定与性质定理、菱形的判定定理是解本题的关键.
25. 如图， 是以为直径的上的点，，弦交于点.
(1)当是的切线时，求证: ；
(2)求证: ；
(3)已知，是半径的中点，求线段的长.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE＝
【详解】【分析】（1）由AB是直径，可得∠DAB+∠ABD＝90°，再根据 PB是⊙O的切线，可得∠ABD+∠PBD＝90°，根据同角的余角相等即可证得∠PBD＝∠DAB；
（2）证明△BCE∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例可得BC2＝CE•CD，再根据CD=CE+DE推导即可得BC2- CE2= CE•DE；
(3) 连接OC，由，AB是直径，可得∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理则有CE²=OE²+CO²， BC²=OB²+CO² ，再根据OA=4 ，E 是半径 OA 的中点，继而可得BC=4，CE=2，再根据（2）中 BC²-CE²=CE·DE，即可求得DE的长.
【详解】（1）∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠ABD＝90°，
又 ∵ PB是⊙O的切线，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°，
∴∠PBD＝∠DAB；
（2）∵，
∴∠BDC＝∠EBC，
又∵∠BCE＝BCD，
∴△BCE∽△DCB，
∴BC：CE=CD：BC，
∴BC2＝CE•CD，
∴BC2＝CE(CE+DE)，
∴BC2＝CE2+CE•DE，
∴BC2- CE2= CE•DE；
(3)如图，连接OC，
∵，AB是直径，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴CE²=OE²+CO²， BC²=OB²+CO² ，
∵OA=4 ，E 是半径 OA 的中点，
∴BC=4，CE=2，
由（2）中 BC²-CE²=CE·DE，所以 DE=(BC²-CE²)÷CE=12÷2= ，
故 DE=.
本题是综合题，考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等，解题的关键是正确添加辅助线、熟练应用切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
26. 如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线的顶点， 是线段的中点.
(1)求抛物线的解析式，并写出点的坐标;
(2) 是抛物线上的动点；
①当时，求的面积的值；
②当时，求点的坐标.
【正确答案】（1）y=-x2+2x+3，D(1,4)； (2) ①当x=2时，S值=1；②F（－，－2－２）或（2－，－2+2）
【详解】【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式，然后再配方成顶点式即可得点D的坐标；
（2）①由x＞1，y＞0，可以确定点F是直线BD上方抛物线上的动点，F（x, -x2+2x+3），过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，由B、D的坐标易得yBD=-2x+6，继而得M（x，-2x+6），从而得到FM=-(x-2)2+1，再根据S△BDF=S△DFM+S△BFM，从而可得S△BDF=-(x-2)2+1，根据二次函数的性质即可得；
②分点F在x轴上方抛物线上，点F在x轴下方、y轴左侧抛物线上两种情况进行讨论即可得.
【详解】（1）抛物线与两坐标轴相交于点
由题意得：，解得：，
所以抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
配方得 y=-(x-1)2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）；
（2） ①∵x＞1，y＞0，
∴点F是直线BD上方抛物线上的动点，
则F（x, -x2+2x+3），
如图，过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，
∵B（3，0）， D（1，4），
∴yBD=-2x+6，
则M（x，-2x+6），
∴FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1，
∵S△BDF=S△DFM+S△BFM，
∴S△BDF=FM•（x-1）+FM•（3-x）=FM•(x-1+3-x)=FM =-(x-2)2+1，
∴当x=2时，S值＝1；
②如图，当 FE∥BD，且点F在x轴上方抛物线上时，
设FE的解析式为y=-2x+b，
∵直线FE过点E（1，0），
∴b=2，
yFE=-2x+2，
联立y=-2x+2与y=-x2+2x+3，
解得F（2－，－2+2）；
如图，当F在x轴下方、y轴左侧抛物线上时，设直线EF与直线BD交于点N，
∵∠AEF=∠NEB，
又∵∠AEF＝∠DBE，
∴∠NEB＝∠DBE，
∴NE=，
∴点N的横坐标为2，
又∵点N在直线yBD=-2x+6上，
∴N（2，2），
∴yＥN＝2x-2，
联立y=2x-2与y=-x2+2x+3，
解得F（－，－2－2），
综上所述F（－，－2－2）或（2－，－2+2）.
本题是二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、解方程组、分类讨论等，解题的关键是正确添加辅助线.
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