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2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析，共44页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月）
一、选一选（本大题满分42分，每小题3分）
1. 的值是
A. B. C. 2018 D.
2. 下列运算正确的是( )
A. -2(a+b)=-2a+2b B. (a2)3=a5 C. a3÷4a=a3 D. 3a2·2a3=6a5
3. 为了保证2018年博鳌亚洲论坛年会顺利召开，海南省各部门投入了约89000名工作人员为其服务．将89000用科学记数法可表示为（ ）
A. 89×103 B. 8.9×10 4 C. 8.9×103 D. 0.89×105
4. 有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是【 】
A. B. C. D.
5. 数据21、12、18、16、20、21众数和中位数分别是（ ）
A. 21和19 B. 21和17 C. 20和19 D. 20和18
6. 如图，已知直线则（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，与关于y轴对称，再将向下平移4个单位长度得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8. （2013年四川广安3分）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为【 】
A. 25 B. 25或32 C. 32 D. 19
9. 方程＝的解为( )
A. x＝3 B. x＝4 C. x＝5 D. x＝﹣5
10. 某药品两次调价，每瓶零售价由81元升为100元，已知两次提价百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A. 100（1+x）2=81 B. 100（1-x%）2=81 C. 81（1+x）2=100 D. 81x2=100
11. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线表达式是
A. B. C. D.
12. 如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
13. 如图，D是△ABC边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（ ）
A. 15 B. 10 C. D. 5
14. 如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k＝_____．
二、填 空 题（本大题满分16分，每小题4分）
15. 苹果原价是每千克x元,按8折优惠出售,该苹果现价是每千克____元(用含x的代数式表示)．
16. 分解因式：3a2﹣6a+3=____．
17. 一书架有上下两层，其中上层有2本语文1本数学，下层有2本语文2本数学，现从上下层随机各取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为_______．
18. 如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处没有重叠），那么这个圆锥的高是___cm．
三、解 答 题（本大题满分62分）
19. （1）计算： （2）解没有等式组：
20. 食品是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，饮料加工厂生产了A、B两种饮料各多少瓶？
21. 某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用，因此学校随机抽取了部分同学就兴趣爱好进行，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次共抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，羽毛球部分所占的圆心角是 ；
（4）设该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？
22. 如图，张明同学想测量某铜像的高度，已知铜像（图中）高度比底座（图中）高度多1米，张明随后用高度为1米的测角仪（图中）测得铜像顶端点的仰角β＝51°24′，底座顶端点的仰角＝26°36′．请你帮助张明算出铜像AB的高度（把铜像和底座近似看在一条直线上它的抽象几何图形如左图）．【参考数据：sin26°36′≈0.45, cos26°36′≈0.89，tan26°36′≈0.5，sin51°24′≈0.78,cos51°24′≈0.6，tan51°24′≈1.25】
23. （1）提出问题：如图1，在正方形中，点E，H分别在BC，AB上，若于点O，求证；；
（2）类比探究：如图2，在正方形中，点B，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
（3）综合运用：在（2）问条件下，，如图3所示，已知，，求图中阴影部分的面积。
24. 如图，抛物线两点，与x轴交于另一点B．点P是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若没有存在，说明理由；
（3）当P运动到象限时，过P作直线PM平行y轴，交直线BC于点M．
①求线段PM长度的值
②D为平面内任意一点，当线段PM时，是否存在以C、P、M、D为顶点的平行四边形．若存在，直接写出所有符合条件的点D坐标.
2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月）
一、选一选（本大题满分42分，每小题3分）
1. 的值是
A. B. C. 2018 D.
【正确答案】C
【分析】根据数a的值是指数轴表示数a的点到原点的距离进行解答即可得.
【详解】数轴上表示数-2018的点到原点的距离是2018，
所以-2018的值是2018，
故选C.
本题考查了值的意义，熟练掌握值的定义是解题的关键.
2. 下列运算正确的是( )
A. -2(a+b)=-2a+2b B. (a2)3=a5 C. a3÷4a=a3 D. 3a2·2a3=6a5
【正确答案】D
【详解】A. ∵ ﹣2（a+b）=﹣2a-2b，故没有正确；
B. ∵（a2）3=a6 ，故没有正确；
C. ∵a3与4a没有是同类型，没有能合并，故没有正确；
D. ∵ 3a2•2a3=6a5 ，故正确；
故选D.
3. 为了保证2018年博鳌亚洲论坛年会的顺利召开，海南省各部门投入了约89000名工作人员为其服务．将89000用科学记数法可表示为（ ）
A. 89×103 B. 8.9×10 4 C. 8.9×103 D. 0.89×105
【正确答案】B
【分析】分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞10时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数.
【详解】详解:将89000用科学记数法表示为8.9×104．
故选B
点睛: 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4. 有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是【 】
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】找到从正面看所得到的图形即可，从正面看易得共两层，下层有3个正方形，上层最左边有一个正方形．
故选B．
考点：简单组合体的三视图．
5. 数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（ ）
A. 21和19 B. 21和17 C. 20和19 D. 20和18
【正确答案】A
【详解】众数是在一组数据中，出现次数至多的数据，这组数据中21出现2次，出现的次数至多，
故这组数据的众数为21．
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为12、16、18、20、21、21，
∴中位数是按从小到大排列后第3，4的平均数为：19．
故选A．
本题考查众数，中位数．
6. 如图，已知直线则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】如图，在△ABC中，根据外角性质，求出∠4度数，再根据平行线的性质，求出∠3度数即可．
【详解】如图，△中，
∵，
∵
．
故选：D
本题考查了三角形的外角性质和平行线的性质，比较简单．本题的解法有多种，方法没有.
7. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，与关于y轴对称，再将向下平移4个单位长度得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析: 首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案.
详解: 如图所示：点A的对应点A2的坐标是：（2，-3）．
故选B.
点睛: 此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律解题关键.
8. （2013年四川广安3分）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为【 】
A. 25 B. 25或32 C. 32 D. 19
【正确答案】C
【详解】因为已知长度为6和13两边，没有明确底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：
①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32
②当6为腰时，其它两边为6和13，
∵6+6＜13，∴没有能构成三角形，故舍去．
综上所述，它的周长为32．故选C．
考点：等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类思想的应用．
9. 方程＝的解为( )
A. x＝3 B. x＝4 C. x＝5 D. x＝﹣5
【正确答案】C
【详解】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得
x+3-2(x-1)=0，
解得：x=5，
检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，
所以x=5是原方程的解，
故选C.
10. 某药品两次调价，每瓶零售价由81元升为100元，已知两次提价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A. 100（1+x）2=81 B. 100（1-x%）2=81 C. 81（1+x）2=100 D. 81x2=100
【正确答案】C
【详解】分析: 若两次提价的百分率均是x，则次提价后价格为81（1+x）元，第二次提价后价格为81（1+x）（1+x）=81（1+x）2元，根据题意找出等量关系：第二次提价后的价格=100元，由此等量关系列出方程即可.
详解: 设两次提价的百分率均是x，由题意得：
81（1+x）2=100．
故选C.
点睛: 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．
11. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【详解】∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+2-1，即y=x2+1．
故选C．
12. 如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
【正确答案】C
【详解】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x(x>0)，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选：C．
13. 如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（ ）
A. 15 B. 10 C. D. 5
【正确答案】D
【详解】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为9，进而求出△ACD的面积．
解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为15，
∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5．
故选D．
“点睛”本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
14. 如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k＝_____．
【正确答案】4
【分析】设D的坐标是，则B的坐标是，根据D在反比例函数图象上，即可求得ab的值，从而求得k的值．
【详解】设D的坐标是，则B的坐标是，
∵
∴，
∵D在上，
∴．
故答案是：4．
本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
二、填 空 题（本大题满分16分，每小题4分）
15. 苹果原价是每千克x元,按8折优惠出售,该苹果现价是每千克____元(用含x的代数式表示)．
【正确答案】0.8x
【详解】依题意得：该苹果现价是每千克80%x=0.8x．
故答案为0.8x
16. 分解因式：3a2﹣6a+3=____．
【正确答案】3（a﹣1）2．
【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．
故3（a﹣1）2．
本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
17. 一书架有上下两层，其中上层有2本语文1本数学，下层有2本语文2本数学，现从上下层随机各取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为_______．
【正确答案】．
【详解】试题分析：列表如下图：
由表格可知，现从上下层随机各取1本，共有12种等可能结果，其中抽到的2本都是数学书的有2种结果，∴抽到的2本都是数学书的概率为=，故答案为．
考点：列表法与树状图法．
18. 如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处没有重叠），那么这个圆锥的高是___cm．
【正确答案】3．
【详解】∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，
∴留下的扇形的弧长==8π．
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴根据圆的周长公式，得，解得．
∵圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形，
∴根据勾股定理，圆锥的高为=3cm．
考点：圆锥和扇形的计算，勾股定理．
三、解 答 题（本大题满分62分）
19. （1）计算： （2）解没有等式组：
【正确答案】(1)4;(2) x＞2.
【详解】分析: （1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、角的三角函数值及值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
（2）分别解得没有等式2（x+3）＞10和2x+1＞x，然后取得这两个没有等式解的公共部分即可得出答案.
详解:
(1) 20180﹣|﹣|++2sin45°=1﹣+3+2×=4
（2）∴解没有等式①得：x＞2，
解没有等式②得：x＞﹣1，
∴没有等式组的解集为：x＞2
点睛: 本题考查的是实数的运算和解一元没有等式组的知识，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、角的三角函数值及值的性质是解答此题(1)的关键, 解一元没有等式组要掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到.
20. 食品是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，饮料加工厂生产了A、B两种饮料各多少瓶？
【正确答案】饮料加工厂生产了A种饮料30瓶，B种饮料70瓶．
【详解】试题分析：本题是二元方程组的应用，设甲种饮料瓶，乙种饮料瓶，根据题意列出方程组即可.
试题解析：
设甲种饮料瓶，乙种饮料瓶，
由题意得
解之得
答：生产甲饮料40瓶，乙饮料60瓶．
21. 某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用，因此学校随机抽取了部分同学就兴趣爱好进行，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次共抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，羽毛球部分所占的圆心角是 ；
（4）设该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？
【正确答案】（1）100;（2）20人;(3)72度;（4）240.
【详解】分析: （1）根据喜欢篮球的人数有25人，占总人数的25%即可得出总人数；
（2）根据总人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图即可；
（3）360°乘以对应百分比可得；
（4）喜欢跳绳的人数占总人数的20%乘以总人数即可得出结论.
详解:
（1）100
（2）喜欢羽毛球人数=100×20%=20人;
补全条形图如下：
（3）72度;
（4）1200×20%=240（人）答；该校约有240人喜欢跳绳.
点睛: 本题考查的是条形统计图，熟知从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较是解答此题的关键.
22. 如图，张明同学想测量某铜像的高度，已知铜像（图中）高度比底座（图中）高度多1米，张明随后用高度为1米的测角仪（图中）测得铜像顶端点的仰角β＝51°24′，底座顶端点的仰角＝26°36′．请你帮助张明算出铜像AB的高度（把铜像和底座近似看在一条直线上它的抽象几何图形如左图）．【参考数据：sin26°36′≈0.45, cos26°36′≈0.89，tan26°36′≈0.5，sin51°24′≈0.78,cos51°24′≈0.6，tan51°24′≈1.25】
【正确答案】6米
【详解】分析: 首先设聂耳铜像AB的高度为xm，则可得BC=（x-2）m，然后分别在Rt△BCF中与在Rt△ACF中，利用正切函数的性质求得FC的值，即可得方程，解此方程即可求得答案.
详解: 设铜像的高度AB为x米，则BC=(x－2)米.
在Rt△BCF中，，
∴FC=.
在Rt△ACF中，
∵，
∴FC=.
∴2x－4=.
∴x=6.
答：铜像的高度AB为6米.
点睛: 本题考查仰角的定义．此题难度适中，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的应用.
23. （1）提出问题：如图1，在正方形中，点E，H分别在BC，AB上，若于点O，求证；；
（2）类比探究：如图2，在正方形中，点B，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
（3）综合运用：在（2）问条件下，，如图3所示，已知，，求图中阴影部分的面积。
【正确答案】（1）见解析；（2）EF=HG，理由见解析；（3）.
【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件可得：AB= DA，∠ABE=∠DAH=∠AOD =90°，根据同角的余角相等得出∠BAE=∠ADH，然后利用ASA即可证出△ABE≌△DAH，从而得出；
（2）过点D作DN∥GH交AB于N，过点A作AM∥FE交BC于M，根据（1）中结论，即可得出AM=DN，然后根据平行四边形的判定证出：四边形AMEF和四边形DNHG都是平行四边形，根据平行四边形的性质证出EF=AM，HG=DN，从而证出EF=HG；
（3）过点F作FP⊥BC于P，根据平行可证：△OFH∽OEG，∠FHO=∠EGO，列出比例式可得：，然后根据相似三角形判定，证出△AHF∽△CGE，列出比例式，即可求出AF，然后根据矩形的判定可得四边形ABPF为矩形，再根据矩形的性质可得：BP=AF=1，PF=AB=4，利用勾股定理即可求出FE，从而算出FO、OE、HO和OG，根据三角形的面积公式计算面积即可.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= DA，∠ABE=∠DAH=∠AOD =90°
∴∠BAE＋∠EAD=90°∠EAD＋∠ADH=90°
∴∠BAE=∠ADH
在△ABE和△DAH中
∴△ABE≌△DAH
∴；
（2）EF=HG，理由如下
过点D作DN∥GH交AB于N，过点A作AM∥FE交BC于M
∵，
∴AM⊥DN，
由（1）中结论可得：AM=DN
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC
∴四边形AMEF和四边形DNHG都是平行四边形
∴EF=AM，HG=DN
∴EF=HG；
（3）过点F作FP⊥BC于P
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=，∠A=∠B=∠C=90°，AB∥CD
∴∠AHG=∠CGH
∵
∴△OFH∽OEG，∠FHO=∠EGO
∴，∠AHG－∠FHO=∠CGH－∠EGO
∴FO=，HO=，∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴
∴AF=
∵∠A=∠B=∠FPB=90°
∴四边形ABPF为矩形
∴BP=AF=1，PF=AB=4
∴PE=BE－BP=1
根据勾股定理可得：FE=
∴GH=FE=
∴FO=，EO=FE－FO=，HO==，OG=GH－HO=
∴S阴影=.
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理及性质定理、平行四边形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质定理和用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.
24. 如图，抛物线两点，与x轴交于另一点B．点P是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若没有存在，说明理由；
（3）当P运动到象限时，过P作直线PM平行y轴，交直线BC于点M．
①求线段PM长度的值
②D为平面内任意一点，当线段PM时，是否存在以C、P、M、D为顶点的平行四边形．若存在，直接写出所有符合条件的点D坐标.
【正确答案】(1) ;(2)见解析;(3) ①4; ②D1,D2 ,D3.
【详解】分析: （1）把两点代入求出抛物线解析式；
（2）先确定B（4，0），则判断△OBC为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，设种情况，当以C为直角顶点时，过点P作PT⊥y轴，利用TC=TP，可列方程，即可求得满足条件的P点坐标；第二种情况，当以B为直角顶点时，过点P作PH⊥x轴，可得PH=HB,从而, 即可求得满足条件的P点坐标；
（3）①求出直线BC解析式, 根据PM平行y轴用二次函数表示P M的长度从而表示出PM的值;
②分3种情况:CM为对角线;MP为对角线;CP为对角线.
详解:
（1）将两点代入到中得，
∴抛物线的解析式为.
（2） 存在．
种情况，当以C为直角顶点时，过点P作PT⊥y轴，垂足为T．
由抛物线的解析式可得B点坐标为（4,0）
∴OB=OC，∠BOC =90°
∴∠OCB=∠OBC=45°．
∵∠BCP=90°，
∴∠TCP =45°=∠C PT．
∴TC=TP
设
即：，
解得：（舍去），．
∴
则P1的坐标是．
第二种情况，当以B为直角顶点时，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H.∵∠CBA=45°，∠CBP=90°，
∴∠OBP=45°．∴∠HPB=45°，
∴PH=HB．
即：，
解得：（舍去），．
∴
则P2的坐标是．
综上所述，P的坐标是或
(3)① ∵B（4,0）， ∴直线BC解析式为
又∵PM平行y轴，设
∴M．
则P M ==
∴线段PM长度的值为4.
②D1,D2 ,D3
点睛: 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和直角三角形的外接圆；会利用待定系数法求函数解析式，会通过解方程组确定两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题.
2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项提升仿真模拟试题（4月）
一、选一选（共12小题，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请把正确的选项填在题后的括号内）
1. －5的倒数的相反数是（ ）
A. －5 B. 5 C. － D.
2. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，AB//CD，∠CDE=1400，则∠A的度数为
A. 1400 B. 600 C. 500 D. 400
4. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）
A. 3.386×108 B. 0.3386×109 C. 33.86×107 D. 3.386×109
5. 很多运动员为了参加北京—张家口冬季奥运会，进行了积极的训练．下表记录了国家队4名队员在500米短道速滑训练成绩的平均数与方差：
队员甲
队员乙
队员丙
队员丁
平均数（秒）
45
46
45
46
方差（秒2）
15
1.5
3.5
45
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A. 队员甲 B. 队员乙 C. 队员丙 D. 队员丁
6. 下列说法，你认为正确的是（ ）
A. 0的倒数是0 B. 3-1=-3 C. π是有理数 D. 是有理数
7. 在等边三角形、平行四边形、等腰梯形、矩形、正五边形、圆这6个图形中，既是对称又是轴对称图形的有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、、，若S=2，则+=（ ）.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 没有能确定
9. 小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影没有可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 没有等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（共6小题；共18分）
13. 若代数式在实数范围内有意义，则x取值范围是_______．
14. 为了了解一批圆珠笔芯的使用寿命，宜采用________方式进行；为了了解某班同学的身高，宜采用________方式进行．(填“抽样”或“普查”)
15. 分解因式：2x2﹣8=_______
16. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD对称O称作菱形的．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫操作，则1次这样的操作菱形O所的路径长为_____；3n（n为正整数）次这样的操作菱形O所的路径总长为_______．（结果都保留π）
17. 二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的值为___
18. 如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝__________cm.
三、解 答 题（共8小题；共72分）
19. 计算：．
20. 计算题
（1）先化简，再求值：÷（1+），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
21. 一只没有透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、以两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（没有放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
（2）这样游戏规则是否公平？请说明理由．
22. 如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长．（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）
23. 一个没有透明的袋中装有20个只有颜色没有同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
24. 如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AC=8，EF=6，求BF的长.
25. 如图，为⊙O的直径，点，位于两侧的半圆上，射线切⊙O于点．已知点是半圆上的动点，点是射线上的动点，连接，．与交于点，再连接，，且．
（1）求证：；
（2）填空：①当________时，四边形是菱形；
②当________时，四边形是正方形．
26. 已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有面积？若有，求出△CDP的面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月）
一、选一选（共12小题，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请把正确的选项填在题后的括号内）
1. －5的倒数的相反数是（ ）
A. －5 B. 5 C. － D.
【正确答案】D
【分析】根据倒数的意义和相反数的意义求解即可.
【详解】因为-5的倒数为-
所以-的相反数为.
故选D.
此题主要考查了倒数和相反数，明确倒数的意义和相反数的意义是解题关键.
乘积为1的两个数互为倒数；
只有符号没有同的两数互为相反数.
2. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：根据分式的概念，分母中含有字母的式子，形如（B≠0，B中含有字母），逐一判断即可.
详解：A是分式，B、C、D没有是分式.
故选A.
点睛：此题主要考查了分式的识别，关键是看分母中是否含有字母.
3. 如图，AB//CD，∠CDE=1400，则∠A的度数为
A. 1400 B. 600 C. 500 D. 400
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵∠CDE=1400，∴∠CDA＝180°－140°＝40°．
∵AB//CD，∴根据两直线平行，内错角相等，得：∠A＝∠CDA＝40°．故选D．
4. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）
A. 3.386×108 B. 0.3386×109 C. 33.86×107 D. 3.386×109
【正确答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
【详解】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108
故选:A
本题考查科学记数法—表示较大的数．
5. 很多运动员为了参加北京—张家口冬季奥运会，进行了积极的训练．下表记录了国家队4名队员在500米短道速滑训练成绩的平均数与方差：
队员甲
队员乙
队员丙
队员丁
平均数（秒）
45
46
45
46
方差（秒2）
1.5
1.5
3.5
4.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A. 队员甲 B. 队员乙 C. 队员丙 D. 队员丁
【正确答案】A
【详解】∵甲队员的速度快，方差小，∴应选队员甲参赛.
故选A.
6. 下列说法，你认为正确的是（ ）
A. 0的倒数是0 B. 3-1=-3 C. π是有理数 D. 是有理数
【正确答案】D
【详解】分析：根据倒数的意义，负整指数幂的性质，有理数和无理数的概念，逐一判断即可.
详解：根据倒数的意义，0没有倒数，故A没有正确；
根据负整指数幂的性质，可知3-1=，故B没有正确；
根据无理数的概念，可知π是无理数，故没有正确；
根据算术平方根的性质，可知=3，是有理数，故正确.
故选D.
点睛：此题主要考查了实数的运算和分类，关键是熟记倒数的意义，负整指数幂的性质，有理数和无理数的概念，对相应的式子进行化简.
7. 在等边三角形、平行四边形、等腰梯形、矩形、正五边形、圆这6个图形中，既是对称又是轴对称图形的有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】解：等边三角形是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
平行四边形没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意；
等腰梯形轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意．
矩形既是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
正五边形是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意．
圆既是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
综上可得有2个符合题意．
故选B．
8. 如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、、，若S=2，则+=（ ）.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 没有能确定
【正确答案】C
【详解】试题分析：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，所以△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF∥BC，EF=BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以=+=8.
故选C．
考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．
9. 小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影没有可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，沿与平面没有平行的方向看可得到D，没有论如何看都得没有到一点．
故选B．
10. 没有等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：根据一元没有等式的解法，分别解两个没有等式，然后表示的在数轴上即可.
详解：
解没有等式①，可得x＞-3,
解没有等式②，可得x≤1
所以没有等式组的解集为：-3＜x≤1.
表示在数轴上为.
故选A.
点睛：此题主要考查了没有等式组的解集的求法和数轴的表示，关键是明确带等号的用实心点，没有带等号的用虚心点.
11. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据反比例函数或函数的图形的图像与性质，有其中的一个判断出k的取值范围，然后判断另一个的情况即可.
详解：A、由反比例函数的图像可知k＞0，这时函数的图像是与y轴交于正半轴，y随x增大而增大，故没有正确；
B、由反比例函数的图像可知k＜0，这时函数的图像是与y轴交于负半轴，y随x增大而减小，故没有正确；
C、由反比例函数的图像可知k＞0，这时函数的图像是与y轴交于正半轴，y随x增大而增大，故正确；
D、由反比例函数的图像可知k＜0，这时函数的图像是与y轴交于负半轴，y随x增大而减小，故没有正确.
故选C.
点睛：此题主要考查了函数和反比例函数的综合，关键是有其中的一个函数的图像判断出k的值.
12. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】解：∵弧AC=弧CD=弧DB，
∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，
故①正确；
∵AB为直径，且点E是点D关于AB的对称点
∴∠E=∠ODE，AB⊥DE
∴∠CED =30°=∠DOB，
故②正确；
∵M和A重合时，∠MDE=60°，
∴∠MDE+∠E=90°
∴DM⊥CE
故③没有正确；
根据轴对称的性质，可知D与E对称，连接CE，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM最短，
∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°
∴CE为直径，即CE=10，
故④正确.
故选C.
本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度没有大．
二、填 空 题（共6小题；共18分）
13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【正确答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的没有等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故x≥1．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
14. 为了了解一批圆珠笔芯的使用寿命，宜采用________方式进行；为了了解某班同学的身高，宜采用________方式进行．(填“抽样”或“普查”)
【正确答案】 ①. 抽样 ②. 普查
【详解】分析：要选择方式，需将普查的局限性和抽样的必要性具体分析．
详解：了解一批圆珠笔心的使用寿命，过程带有破坏性，只能采取抽样，而没有能将整批圆珠笔心全部用于实验．
但是了解你们班同学的身高，范围小，实施全面简便易行，且又能得到较准确的数据．
故答案为抽样，普查.
点睛：本题考查的是普查和抽样的选择．方式的选择需要将普查的局限性和抽样的必要性，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求、难度相对没有大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被对象带来损伤破坏，以及考查和时间都非常有限时，普查就受到，这时就应选择抽样．
15. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
16. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称O称作菱形的．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫操作，则1次这样的操作菱形O所的路径长为_____；3n（n为正整数）次这样的操作菱形O所的路径总长为_______．（结果都保留π）
【正确答案】 ①. ； ②. nπ．
【分析】
【详解】试题分析：从图中可以看出，次旋转是以点A为圆心，那么菱形旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60°．第二次还是以点A为圆心，那么菱形旋转的半径就是OA，圆心角是60°．第三次就是以点B为旋转，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转3n次，就是这样的n个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出3n（n为正整数）次这样的操作菱形O所的路径总长．
考点：(1)、弧长的计算；(2)、菱形的性质；(3)、旋转的性质．
17. 二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的值为___
【正确答案】3
【详解】试题解析：：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，
∴a＞0．
-=-3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，
∴m的值为3，
18. 如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝__________cm.
【正确答案】2+＃＃＋
【详解】过点E作EM⊥BD于点M,如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM=EC=1cm，
∴DE=EM=cm.
由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，
∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1++1=(2+)cm．
故答案为2+.
三、解 答 题（共8小题；共72分）
19. 计算：．
【正确答案】1
【详解】分析：根据负整指数幂的性质，角的三角函数值，零次幂的性质，二次根式的性质，逐一化简计算即可.
详解：原式=2﹣4×﹣1+2=1.
点睛：此题主要考查了实数的混合运算，熟记并灵活运用负整指数幂的性质，角的三角函数值，零次幂的性质，二次根式的性质，是解题关键.
20. 计算题
（1）先化简，再求值：÷（1+），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【正确答案】（1）2018；（2）m=4
【详解】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）÷（1+）
=
=
=x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
21. 一只没有透明袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、以两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（没有放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
（1）用画树状图或列表方法列出所有可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．
【正确答案】（1）详见解析；（2）游戏没有公平，理由见解析．
【分析】（1）根据题意列表，即可得答案；
（2）求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等，继而判定游戏是否公平．
【详解】列举所有可能：
0
1
2
0
1
2
1
1
3
2
2
3
（2）游戏没有公平，理由如下：
由表可知甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，乙获胜的可能性大，
所以游戏没有公平．
列表法与树状图法求概率．
22. 如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长．（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）
【正确答案】9.2米．
【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE﹣EH即为AC长度．
【详解】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
i＝＝，
∵BE＝8，AE＝6，DG＝1.5，BG＝1，
∴DH＝DG+GH＝1.5+8＝9.5，
AH＝AE+EH＝6+1＝7．
在Rt△CDH中，
∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝9.5，tan30°＝，
∴CH＝9.5．
又∵CH＝CA+7，
即95＝CA+7，
∴CA≈9.15≈9.2（米）．
答：CA的长约是9.2米．
本题考查了解直角三角形的应用，构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
23. 一个没有透明的袋中装有20个只有颜色没有同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
【正确答案】（1）从袋中摸出一个球是黄球的概率为；（2）从袋中取出黑球的个数为2个.
【分析】（1）由一个没有透明的袋中装有20个只有颜色没有同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先设从袋中取出x个黑球，根据题意得：，继而求得答案．
【详解】解：（1）∵一个没有透明的袋中装有20个只有颜色没有同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为.
（2）设从袋中取出x个黑球，
根据题意得：，解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴从袋中取出黑球的个数为2个．
考点：1.概率公式；2.分式方程的应用．
24. 如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AC=8，EF=6，求BF的长.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由条件可先证四边形为平行四边形，再线段垂直平分线的性质可证得结论；
（2）由菱形的性质可求得设在和中，分别利用勾股定理可得到关于的方程，可求得的长．
【详解】解：∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴四边形AFCE平行四边形．
又∵EA=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
(2)∵四边形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，
∴OE=3，OA=4，
∴AE=CF=5，
设BF=x，
在中, ，
在中,
解得
25. 如图，为⊙O的直径，点，位于两侧的半圆上，射线切⊙O于点．已知点是半圆上的动点，点是射线上的动点，连接，．与交于点，再连接，，且．
（1）求证：；
（2）填空：①当________时，四边形是菱形；
②当________时，四边形是正方形．
【正确答案】（1）见解析；（2）①67.5°；②90°
【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF=∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；
②根据正方形的性质，可以求得∠DAE的度数．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
即∠ODF=90°，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
∴∠ODF=∠AOD，
∴CD∥AB；
（2）①连接AF与DP交于点G，
∵四边形ADFP菱形，∠AED=45°，OA=OD，
∴AF⊥DP，∠AOD=90°，∠DAG=∠PAG，
∴∠AGE=90°，∠DAO=45°，
∴∠EAG=45°，∠DAG=∠PFG=22.5°，
∴∠EAD=∠DAG+∠EAG=22.5°+45°=67.5°，
故67.5°；
②∵四边形BFDP是正方形，
∴BF=FD=DP=PB，
∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°，
∴此时点P与点O重合，
∴此时DE是直径，
∴∠EAD=90°，
故90°．
本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．
26. 已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有面积？若有，求出△CDP的面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
【正确答案】（1）（2）①（3，），，②当m=时，△CDP的面积．此时P点的坐标为，S△CDP的值是
【详解】试题分析：（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可证△AOC∽△COB，由相似比得OC2=OA•OB，设OA的长为x，则OB=5-x，代入可求OA，OB的长，确定A，B，C三点坐标，求抛物线解析式；
（2）根据△BDE为等腰三角形，分为DE=EB，EB=BD，DE=BD三种情况，分别求E点坐标；
（3）作辅助线，将求△CDP的面积问题转化．方法一：如图1，连接OP，根据S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD，表示△CDP的面积；方法二：过点P作PE⊥x轴于点F，则S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP，表示△CDP的面积；再利用二次函数的性质求出△CDP的面积和此时点P的坐标．
试题解析：
（1）设OA的长为x，则OB=5﹣x；
∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，∴OC2=OA•OB
∴22=x（5﹣x）
解得：x1=1，x2=4，
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；
∴点A、B、C的坐标分别是：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；
方法一：设点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax2+bx+2，
将A、B、C三点的坐标代入得
…
解得：a=，
所以这个二次函数的表达式为：y=
方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x﹣4）…
将C点的坐标代入得：a=-
所以这个二次函数的表达式为：y=
（2）①当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：(3,),(，(4-) ．
②如图1，连接OP，
S△CDP=S四边形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD
=
∴当m=时，△CDP的面积．此时P点的坐标为（， ），
S△CDP的值是．
另解：如图2、图3，过点P作PF⊥x轴于点F，则
S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP
=
∴当m=时，△CDP的面积．此时P点的坐标为（， ），
S△CDP的值是．
2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月）
一、选一选（本大题满分42分，每小题3分）
1. 的值是
A. B. C. 2018 D.
2. 下列运算正确的是( )
A. -2(a+b)=-2a+2b B. (a2)3=a5 C. a3÷4a=a3 D. 3a2·2a3=6a5
3. 为了保证2018年博鳌亚洲论坛年会顺利召开，海南省各部门投入了约89000名工作人员为其服务．将89000用科学记数法可表示为（ ）
A. 89×103 B. 8.9×10 4 C. 8.9×103 D. 0.89×105
4. 有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是【 】
A. B. C. D.
5. 数据21、12、18、16、20、21众数和中位数分别是（ ）
A. 21和19 B. 21和17 C. 20和19 D. 20和18
6. 如图，已知直线则（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，与关于y轴对称，再将向下平移4个单位长度得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8. （2013年四川广安3分）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为【 】
A. 25 B. 25或32 C. 32 D. 19
9. 方程＝的解为( )
A. x＝3 B. x＝4 C. x＝5 D. x＝﹣5
10. 某药品两次调价，每瓶零售价由81元升为100元，已知两次提价百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A. 100（1+x）2=81 B. 100（1-x%）2=81 C. 81（1+x）2=100 D. 81x2=100
11. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线表达式是
A. B. C. D.
12. 如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
13. 如图，D是△ABC边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（ ）
A. 15 B. 10 C. D. 5
14. 如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k＝_____．
二、填 空 题（本大题满分16分，每小题4分）
15. 苹果原价是每千克x元,按8折优惠出售,该苹果现价是每千克____元(用含x的代数式表示)．
16. 分解因式：3a2﹣6a+3=____．
17. 一书架有上下两层，其中上层有2本语文1本数学，下层有2本语文2本数学，现从上下层随机各取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为_______．
18. 如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处没有重叠），那么这个圆锥的高是___cm．
三、解 答 题（本大题满分62分）
19. （1）计算： （2）解没有等式组：
20. 食品是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，饮料加工厂生产了A、B两种饮料各多少瓶？
21. 某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用，因此学校随机抽取了部分同学就兴趣爱好进行，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次共抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，羽毛球部分所占的圆心角是 ；
（4）设该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？
22. 如图，张明同学想测量某铜像的高度，已知铜像（图中）高度比底座（图中）高度多1米，张明随后用高度为1米的测角仪（图中）测得铜像顶端点的仰角β＝51°24′，底座顶端点的仰角＝26°36′．请你帮助张明算出铜像AB的高度（把铜像和底座近似看在一条直线上它的抽象几何图形如左图）．【参考数据：sin26°36′≈0.45, cos26°36′≈0.89，tan26°36′≈0.5，sin51°24′≈0.78,cos51°24′≈0.6，tan51°24′≈1.25】
23. （1）提出问题：如图1，在正方形中，点E，H分别在BC，AB上，若于点O，求证；；
（2）类比探究：如图2，在正方形中，点B，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
（3）综合运用：在（2）问条件下，，如图3所示，已知，，求图中阴影部分的面积。
24. 如图，抛物线两点，与x轴交于另一点B．点P是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若没有存在，说明理由；
（3）当P运动到象限时，过P作直线PM平行y轴，交直线BC于点M．
①求线段PM长度的值
②D为平面内任意一点，当线段PM时，是否存在以C、P、M、D为顶点的平行四边形．若存在，直接写出所有符合条件的点D坐标.
2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月）
一、选一选（本大题满分42分，每小题3分）
1. 的值是
A. B. C. 2018 D.
【正确答案】C
【分析】根据数a的值是指数轴表示数a的点到原点的距离进行解答即可得.
【详解】数轴上表示数-2018的点到原点的距离是2018，
所以-2018的值是2018，
故选C.
本题考查了值的意义，熟练掌握值的定义是解题的关键.
2. 下列运算正确的是( )
A. -2(a+b)=-2a+2b B. (a2)3=a5 C. a3÷4a=a3 D. 3a2·2a3=6a5
【正确答案】D
【详解】A. ∵ ﹣2（a+b）=﹣2a-2b，故没有正确；
B. ∵（a2）3=a6 ，故没有正确；
C. ∵a3与4a没有是同类型，没有能合并，故没有正确；
D. ∵ 3a2•2a3=6a5 ，故正确；
故选D.
3. 为了保证2018年博鳌亚洲论坛年会的顺利召开，海南省各部门投入了约89000名工作人员为其服务．将89000用科学记数法可表示为（ ）
A. 89×103 B. 8.9×10 4 C. 8.9×103 D. 0.89×105
【正确答案】B
【分析】分析: 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞10时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数.
【详解】详解:将89000用科学记数法表示为8.9×104．
故选B
点睛: 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4. 有五个相同的小正方体堆成的物体如图所示，它的主视图是【 】
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】找到从正面看所得到的图形即可，从正面看易得共两层，下层有3个正方形，上层最左边有一个正方形．
故选B．
考点：简单组合体的三视图．
5. 数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（ ）
A. 21和19 B. 21和17 C. 20和19 D. 20和18
【正确答案】A
【详解】众数是在一组数据中，出现次数至多的数据，这组数据中21出现2次，出现的次数至多，
故这组数据的众数为21．
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为12、16、18、20、21、21，
∴中位数是按从小到大排列后第3，4的平均数为：19．
故选A．
本题考查众数，中位数．
6. 如图，已知直线则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】如图，在△ABC中，根据外角性质，求出∠4度数，再根据平行线的性质，求出∠3度数即可．
【详解】如图，△中，
∵，
∵
．
故选：D
本题考查了三角形的外角性质和平行线的性质，比较简单．本题的解法有多种，方法没有.
7. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，与关于y轴对称，再将向下平移4个单位长度得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析: 首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案.
详解: 如图所示：点A的对应点A2的坐标是：（2，-3）．
故选B.
点睛: 此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律解题关键.
8. （2013年四川广安3分）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为【 】
A. 25 B. 25或32 C. 32 D. 19
【正确答案】C
【详解】因为已知长度为6和13两边，没有明确底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：
①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32
②当6为腰时，其它两边为6和13，
∵6+6＜13，∴没有能构成三角形，故舍去．
综上所述，它的周长为32．故选C．
考点：等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类思想的应用．
9. 方程＝的解为( )
A. x＝3 B. x＝4 C. x＝5 D. x＝﹣5
【正确答案】C
【详解】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得
x+3-2(x-1)=0，
解得：x=5，
检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，
所以x=5是原方程的解，
故选C.
10. 某药品两次调价，每瓶零售价由81元升为100元，已知两次提价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A. 100（1+x）2=81 B. 100（1-x%）2=81 C. 81（1+x）2=100 D. 81x2=100
【正确答案】C
【详解】分析: 若两次提价的百分率均是x，则次提价后价格为81（1+x）元，第二次提价后价格为81（1+x）（1+x）=81（1+x）2元，根据题意找出等量关系：第二次提价后的价格=100元，由此等量关系列出方程即可.
详解: 设两次提价的百分率均是x，由题意得：
81（1+x）2=100．
故选C.
点睛: 本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．
11. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【详解】∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+2-1，即y=x2+1．
故选C．
12. 如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
【正确答案】C
【详解】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x(x>0)，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选：C．
13. 如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（ ）
A. 15 B. 10 C. D. 5
【正确答案】D
【详解】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为9，进而求出△ACD的面积．
解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为15，
∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5．
故选D．
“点睛”本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
14. 如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k＝_____．
【正确答案】4
【分析】设D的坐标是，则B的坐标是，根据D在反比例函数图象上，即可求得ab的值，从而求得k的值．
【详解】设D的坐标是，则B的坐标是，
∵
∴，
∵D在上，
∴．
故答案是：4．
本题主要考查的是反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．
二、填 空 题（本大题满分16分，每小题4分）
15. 苹果原价是每千克x元,按8折优惠出售,该苹果现价是每千克____元(用含x的代数式表示)．
【正确答案】0.8x
【详解】依题意得：该苹果现价是每千克80%x=0.8x．
故答案为0.8x
16. 分解因式：3a2﹣6a+3=____．
【正确答案】3（a﹣1）2．
【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．
故3（a﹣1）2．
本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
17. 一书架有上下两层，其中上层有2本语文1本数学，下层有2本语文2本数学，现从上下层随机各取1本，则抽到的2本都是数学书的概率为_______．
【正确答案】．
【详解】试题分析：列表如下图：
由表格可知，现从上下层随机各取1本，共有12种等可能结果，其中抽到的2本都是数学书的有2种结果，∴抽到的2本都是数学书的概率为=，故答案为．
考点：列表法与树状图法．
18. 如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处没有重叠），那么这个圆锥的高是___cm．
【正确答案】3．
【详解】∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，
∴留下的扇形的弧长==8π．
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴根据圆的周长公式，得，解得．
∵圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形，
∴根据勾股定理，圆锥的高为=3cm．
考点：圆锥和扇形的计算，勾股定理．
三、解 答 题（本大题满分62分）
19. （1）计算： （2）解没有等式组：
【正确答案】(1)4;(2) x＞2.
【详解】分析: （1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、角的三角函数值及值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
（2）分别解得没有等式2（x+3）＞10和2x+1＞x，然后取得这两个没有等式解的公共部分即可得出答案.
详解:
(1) 20180﹣|﹣|++2sin45°=1﹣+3+2×=4
（2）∴解没有等式①得：x＞2，
解没有等式②得：x＞﹣1，
∴没有等式组的解集为：x＞2
点睛: 本题考查的是实数的运算和解一元没有等式组的知识，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则、角的三角函数值及值的性质是解答此题(1)的关键, 解一元没有等式组要掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到.
20. 食品是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，饮料加工厂生产了A、B两种饮料各多少瓶？
【正确答案】饮料加工厂生产了A种饮料30瓶，B种饮料70瓶．
【详解】试题分析：本题是二元方程组的应用，设甲种饮料瓶，乙种饮料瓶，根据题意列出方程组即可.
试题解析：
设甲种饮料瓶，乙种饮料瓶，
由题意得
解之得
答：生产甲饮料40瓶，乙饮料60瓶．
21. 某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用，因此学校随机抽取了部分同学就兴趣爱好进行，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次共抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，羽毛球部分所占的圆心角是 ；
（4）设该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？
【正确答案】（1）100;（2）20人;(3)72度;（4）240.
【详解】分析: （1）根据喜欢篮球的人数有25人，占总人数的25%即可得出总人数；
（2）根据总人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图即可；
（3）360°乘以对应百分比可得；
（4）喜欢跳绳的人数占总人数的20%乘以总人数即可得出结论.
详解:
（1）100
（2）喜欢羽毛球人数=100×20%=20人;
补全条形图如下：
（3）72度;
（4）1200×20%=240（人）答；该校约有240人喜欢跳绳.
点睛: 本题考查的是条形统计图，熟知从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较是解答此题的关键.
22. 如图，张明同学想测量某铜像的高度，已知铜像（图中）高度比底座（图中）高度多1米，张明随后用高度为1米的测角仪（图中）测得铜像顶端点的仰角β＝51°24′，底座顶端点的仰角＝26°36′．请你帮助张明算出铜像AB的高度（把铜像和底座近似看在一条直线上它的抽象几何图形如左图）．【参考数据：sin26°36′≈0.45, cos26°36′≈0.89，tan26°36′≈0.5，sin51°24′≈0.78,cos51°24′≈0.6，tan51°24′≈1.25】
【正确答案】6米
【详解】分析: 首先设聂耳铜像AB的高度为xm，则可得BC=（x-2）m，然后分别在Rt△BCF中与在Rt△ACF中，利用正切函数的性质求得FC的值，即可得方程，解此方程即可求得答案.
详解: 设铜像的高度AB为x米，则BC=(x－2)米.
在Rt△BCF中，，
∴FC=.
在Rt△ACF中，
∵，
∴FC=.
∴2x－4=.
∴x=6.
答：铜像的高度AB为6米.
点睛: 本题考查仰角的定义．此题难度适中，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的应用.
23. （1）提出问题：如图1，在正方形中，点E，H分别在BC，AB上，若于点O，求证；；
（2）类比探究：如图2，在正方形中，点B，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
（3）综合运用：在（2）问条件下，，如图3所示，已知，，求图中阴影部分的面积。
【正确答案】（1）见解析；（2）EF=HG，理由见解析；（3）.
【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件可得：AB= DA，∠ABE=∠DAH=∠AOD =90°，根据同角的余角相等得出∠BAE=∠ADH，然后利用ASA即可证出△ABE≌△DAH，从而得出；
（2）过点D作DN∥GH交AB于N，过点A作AM∥FE交BC于M，根据（1）中结论，即可得出AM=DN，然后根据平行四边形的判定证出：四边形AMEF和四边形DNHG都是平行四边形，根据平行四边形的性质证出EF=AM，HG=DN，从而证出EF=HG；
（3）过点F作FP⊥BC于P，根据平行可证：△OFH∽OEG，∠FHO=∠EGO，列出比例式可得：，然后根据相似三角形判定，证出△AHF∽△CGE，列出比例式，即可求出AF，然后根据矩形的判定可得四边形ABPF为矩形，再根据矩形的性质可得：BP=AF=1，PF=AB=4，利用勾股定理即可求出FE，从而算出FO、OE、HO和OG，根据三角形的面积公式计算面积即可.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB= DA，∠ABE=∠DAH=∠AOD =90°
∴∠BAE＋∠EAD=90°∠EAD＋∠ADH=90°
∴∠BAE=∠ADH
在△ABE和△DAH中
∴△ABE≌△DAH
∴；
（2）EF=HG，理由如下
过点D作DN∥GH交AB于N，过点A作AM∥FE交BC于M
∵，
∴AM⊥DN，
由（1）中结论可得：AM=DN
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥DC
∴四边形AMEF和四边形DNHG都是平行四边形
∴EF=AM，HG=DN
∴EF=HG；
（3）过点F作FP⊥BC于P
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=，∠A=∠B=∠C=90°，AB∥CD
∴∠AHG=∠CGH
∵
∴△OFH∽OEG，∠FHO=∠EGO
∴，∠AHG－∠FHO=∠CGH－∠EGO
∴FO=，HO=，∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴
∴AF=
∵∠A=∠B=∠FPB=90°
∴四边形ABPF为矩形
∴BP=AF=1，PF=AB=4
∴PE=BE－BP=1
根据勾股定理可得：FE=
∴GH=FE=
∴FO=，EO=FE－FO=，HO==，OG=GH－HO=
∴S阴影=.
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质定理、全等三角形的判定定理及性质定理、平行四边形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质定理和用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.
24. 如图，抛物线两点，与x轴交于另一点B．点P是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若没有存在，说明理由；
（3）当P运动到象限时，过P作直线PM平行y轴，交直线BC于点M．
①求线段PM长度的值
②D为平面内任意一点，当线段PM时，是否存在以C、P、M、D为顶点的平行四边形．若存在，直接写出所有符合条件的点D坐标.
【正确答案】(1) ;(2)见解析;(3) ①4; ②D1,D2 ,D3.
【详解】分析: （1）把两点代入求出抛物线解析式；
（2）先确定B（4，0），则判断△OBC为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，设种情况，当以C为直角顶点时，过点P作PT⊥y轴，利用TC=TP，可列方程，即可求得满足条件的P点坐标；第二种情况，当以B为直角顶点时，过点P作PH⊥x轴，可得PH=HB,从而, 即可求得满足条件的P点坐标；
（3）①求出直线BC解析式, 根据PM平行y轴用二次函数表示P M的长度从而表示出PM的值;
②分3种情况:CM为对角线;MP为对角线;CP为对角线.
详解:
（1）将两点代入到中得，
∴抛物线的解析式为.
（2） 存在．
种情况，当以C为直角顶点时，过点P作PT⊥y轴，垂足为T．
由抛物线的解析式可得B点坐标为（4,0）
∴OB=OC，∠BOC =90°
∴∠OCB=∠OBC=45°．
∵∠BCP=90°，
∴∠TCP =45°=∠C PT．
∴TC=TP
设
即：，
解得：（舍去），．
∴
则P1的坐标是．
第二种情况，当以B为直角顶点时，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H.∵∠CBA=45°，∠CBP=90°，
∴∠OBP=45°．∴∠HPB=45°，
∴PH=HB．
即：，
解得：（舍去），．
∴
则P2的坐标是．
综上所述，P的坐标是或
(3)① ∵B（4,0）， ∴直线BC解析式为
又∵PM平行y轴，设
∴M．
则P M ==
∴线段PM长度的值为4.
②D1,D2 ,D3
点睛: 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和直角三角形的外接圆；会利用待定系数法求函数解析式，会通过解方程组确定两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题.
2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项提升仿真模拟试题（4月）
一、选一选（共12小题，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请把正确的选项填在题后的括号内）
1. －5的倒数的相反数是（ ）
A. －5 B. 5 C. － D.
2. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，AB//CD，∠CDE=1400，则∠A的度数为
A. 1400 B. 600 C. 500 D. 400
4. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）
A. 3.386×108 B. 0.3386×109 C. 33.86×107 D. 3.386×109
5. 很多运动员为了参加北京—张家口冬季奥运会，进行了积极的训练．下表记录了国家队4名队员在500米短道速滑训练成绩的平均数与方差：
队员甲
队员乙
队员丙
队员丁
平均数（秒）
45
46
45
46
方差（秒2）
15
1.5
3.5
45
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A. 队员甲 B. 队员乙 C. 队员丙 D. 队员丁
6. 下列说法，你认为正确的是（ ）
A. 0的倒数是0 B. 3-1=-3 C. π是有理数 D. 是有理数
7. 在等边三角形、平行四边形、等腰梯形、矩形、正五边形、圆这6个图形中，既是对称又是轴对称图形的有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、、，若S=2，则+=（ ）.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 没有能确定
9. 小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影没有可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 没有等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（共6小题；共18分）
13. 若代数式在实数范围内有意义，则x取值范围是_______．
14. 为了了解一批圆珠笔芯的使用寿命，宜采用________方式进行；为了了解某班同学的身高，宜采用________方式进行．(填“抽样”或“普查”)
15. 分解因式：2x2﹣8=_______
16. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD对称O称作菱形的．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫操作，则1次这样的操作菱形O所的路径长为_____；3n（n为正整数）次这样的操作菱形O所的路径总长为_______．（结果都保留π）
17. 二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的值为___
18. 如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝__________cm.
三、解 答 题（共8小题；共72分）
19. 计算：．
20. 计算题
（1）先化简，再求值：÷（1+），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
21. 一只没有透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、以两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（没有放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
（2）这样游戏规则是否公平？请说明理由．
22. 如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长．（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）
23. 一个没有透明的袋中装有20个只有颜色没有同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
24. 如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AC=8，EF=6，求BF的长.
25. 如图，为⊙O的直径，点，位于两侧的半圆上，射线切⊙O于点．已知点是半圆上的动点，点是射线上的动点，连接，．与交于点，再连接，，且．
（1）求证：；
（2）填空：①当________时，四边形是菱形；
②当________时，四边形是正方形．
26. 已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有面积？若有，求出△CDP的面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
2022-2023学年甘肃省平凉市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月）
一、选一选（共12小题，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请把正确的选项填在题后的括号内）
1. －5的倒数的相反数是（ ）
A. －5 B. 5 C. － D.
【正确答案】D
【分析】根据倒数的意义和相反数的意义求解即可.
【详解】因为-5的倒数为-
所以-的相反数为.
故选D.
此题主要考查了倒数和相反数，明确倒数的意义和相反数的意义是解题关键.
乘积为1的两个数互为倒数；
只有符号没有同的两数互为相反数.
2. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：根据分式的概念，分母中含有字母的式子，形如（B≠0，B中含有字母），逐一判断即可.
详解：A是分式，B、C、D没有是分式.
故选A.
点睛：此题主要考查了分式的识别，关键是看分母中是否含有字母.
3. 如图，AB//CD，∠CDE=1400，则∠A的度数为
A. 1400 B. 600 C. 500 D. 400
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵∠CDE=1400，∴∠CDA＝180°－140°＝40°．
∵AB//CD，∴根据两直线平行，内错角相等，得：∠A＝∠CDA＝40°．故选D．
4. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）
A. 3.386×108 B. 0.3386×109 C. 33.86×107 D. 3.386×109
【正确答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
【详解】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108
故选:A
本题考查科学记数法—表示较大的数．
5. 很多运动员为了参加北京—张家口冬季奥运会，进行了积极的训练．下表记录了国家队4名队员在500米短道速滑训练成绩的平均数与方差：
队员甲
队员乙
队员丙
队员丁
平均数（秒）
45
46
45
46
方差（秒2）
1.5
1.5
3.5
4.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A. 队员甲 B. 队员乙 C. 队员丙 D. 队员丁
【正确答案】A
【详解】∵甲队员的速度快，方差小，∴应选队员甲参赛.
故选A.
6. 下列说法，你认为正确的是（ ）
A. 0的倒数是0 B. 3-1=-3 C. π是有理数 D. 是有理数
【正确答案】D
【详解】分析：根据倒数的意义，负整指数幂的性质，有理数和无理数的概念，逐一判断即可.
详解：根据倒数的意义，0没有倒数，故A没有正确；
根据负整指数幂的性质，可知3-1=，故B没有正确；
根据无理数的概念，可知π是无理数，故没有正确；
根据算术平方根的性质，可知=3，是有理数，故正确.
故选D.
点睛：此题主要考查了实数的运算和分类，关键是熟记倒数的意义，负整指数幂的性质，有理数和无理数的概念，对相应的式子进行化简.
7. 在等边三角形、平行四边形、等腰梯形、矩形、正五边形、圆这6个图形中，既是对称又是轴对称图形的有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【详解】解：等边三角形是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
平行四边形没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意；
等腰梯形轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意．
矩形既是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
正五边形是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意．
圆既是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
综上可得有2个符合题意．
故选B．
8. 如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、、，若S=2，则+=（ ）.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 没有能确定
【正确答案】C
【详解】试题分析：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，所以△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF∥BC，EF=BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以=+=8.
故选C．
考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．
9. 小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影没有可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，沿与平面没有平行的方向看可得到D，没有论如何看都得没有到一点．
故选B．
10. 没有等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】分析：根据一元没有等式的解法，分别解两个没有等式，然后表示的在数轴上即可.
详解：
解没有等式①，可得x＞-3,
解没有等式②，可得x≤1
所以没有等式组的解集为：-3＜x≤1.
表示在数轴上为.
故选A.
点睛：此题主要考查了没有等式组的解集的求法和数轴的表示，关键是明确带等号的用实心点，没有带等号的用虚心点.
11. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据反比例函数或函数的图形的图像与性质，有其中的一个判断出k的取值范围，然后判断另一个的情况即可.
详解：A、由反比例函数的图像可知k＞0，这时函数的图像是与y轴交于正半轴，y随x增大而增大，故没有正确；
B、由反比例函数的图像可知k＜0，这时函数的图像是与y轴交于负半轴，y随x增大而减小，故没有正确；
C、由反比例函数的图像可知k＞0，这时函数的图像是与y轴交于正半轴，y随x增大而增大，故正确；
D、由反比例函数的图像可知k＜0，这时函数的图像是与y轴交于负半轴，y随x增大而减小，故没有正确.
故选C.
点睛：此题主要考查了函数和反比例函数的综合，关键是有其中的一个函数的图像判断出k的值.
12. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】解：∵弧AC=弧CD=弧DB，
∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，
故①正确；
∵AB为直径，且点E是点D关于AB的对称点
∴∠E=∠ODE，AB⊥DE
∴∠CED =30°=∠DOB，
故②正确；
∵M和A重合时，∠MDE=60°，
∴∠MDE+∠E=90°
∴DM⊥CE
故③没有正确；
根据轴对称的性质，可知D与E对称，连接CE，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM最短，
∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°
∴CE为直径，即CE=10，
故④正确.
故选C.
本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度没有大．
二、填 空 题（共6小题；共18分）
13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【正确答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的没有等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故x≥1．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
14. 为了了解一批圆珠笔芯的使用寿命，宜采用________方式进行；为了了解某班同学的身高，宜采用________方式进行．(填“抽样”或“普查”)
【正确答案】 ①. 抽样 ②. 普查
【详解】分析：要选择方式，需将普查的局限性和抽样的必要性具体分析．
详解：了解一批圆珠笔心的使用寿命，过程带有破坏性，只能采取抽样，而没有能将整批圆珠笔心全部用于实验．
但是了解你们班同学的身高，范围小，实施全面简便易行，且又能得到较准确的数据．
故答案为抽样，普查.
点睛：本题考查的是普查和抽样的选择．方式的选择需要将普查的局限性和抽样的必要性，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求、难度相对没有大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被对象带来损伤破坏，以及考查和时间都非常有限时，普查就受到，这时就应选择抽样．
15. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
16. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称O称作菱形的．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫操作，则1次这样的操作菱形O所的路径长为_____；3n（n为正整数）次这样的操作菱形O所的路径总长为_______．（结果都保留π）
【正确答案】 ①. ； ②. nπ．
【分析】
【详解】试题分析：从图中可以看出，次旋转是以点A为圆心，那么菱形旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60°．第二次还是以点A为圆心，那么菱形旋转的半径就是OA，圆心角是60°．第三次就是以点B为旋转，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转3n次，就是这样的n个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出3n（n为正整数）次这样的操作菱形O所的路径总长．
考点：(1)、弧长的计算；(2)、菱形的性质；(3)、旋转的性质．
17. 二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的值为___
【正确答案】3
【详解】试题解析：：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，
∴a＞0．
-=-3，即b2=12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，
∴m的值为3，
18. 如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝__________cm.
【正确答案】2+＃＃＋
【详解】过点E作EM⊥BD于点M,如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC=45°，∠BCD=90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM=EC=1cm，
∴DE=EM=cm.
由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，
∴BF=BC+CF=CE+DE+CF=1++1=(2+)cm．
故答案为2+.
三、解 答 题（共8小题；共72分）
19. 计算：．
【正确答案】1
【详解】分析：根据负整指数幂的性质，角的三角函数值，零次幂的性质，二次根式的性质，逐一化简计算即可.
详解：原式=2﹣4×﹣1+2=1.
点睛：此题主要考查了实数的混合运算，熟记并灵活运用负整指数幂的性质，角的三角函数值，零次幂的性质，二次根式的性质，是解题关键.
20. 计算题
（1）先化简，再求值：÷（1+），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【正确答案】（1）2018；（2）m=4
【详解】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）÷（1+）
=
=
=x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
21. 一只没有透明袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、以两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（没有放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
（1）用画树状图或列表方法列出所有可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．
【正确答案】（1）详见解析；（2）游戏没有公平，理由见解析．
【分析】（1）根据题意列表，即可得答案；
（2）求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等，继而判定游戏是否公平．
【详解】列举所有可能：
0
1
2
0
1
2
1
1
3
2
2
3
（2）游戏没有公平，理由如下：
由表可知甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，乙获胜的可能性大，
所以游戏没有公平．
列表法与树状图法求概率．
22. 如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长．（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）
【正确答案】9.2米．
【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE﹣EH即为AC长度．
【详解】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
i＝＝，
∵BE＝8，AE＝6，DG＝1.5，BG＝1，
∴DH＝DG+GH＝1.5+8＝9.5，
AH＝AE+EH＝6+1＝7．
在Rt△CDH中，
∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝9.5，tan30°＝，
∴CH＝9.5．
又∵CH＝CA+7，
即95＝CA+7，
∴CA≈9.15≈9.2（米）．
答：CA的长约是9.2米．
本题考查了解直角三角形的应用，构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
23. 一个没有透明的袋中装有20个只有颜色没有同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
【正确答案】（1）从袋中摸出一个球是黄球的概率为；（2）从袋中取出黑球的个数为2个.
【分析】（1）由一个没有透明的袋中装有20个只有颜色没有同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先设从袋中取出x个黑球，根据题意得：，继而求得答案．
【详解】解：（1）∵一个没有透明的袋中装有20个只有颜色没有同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为.
（2）设从袋中取出x个黑球，
根据题意得：，解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴从袋中取出黑球的个数为2个．
考点：1.概率公式；2.分式方程的应用．
24. 如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AC=8，EF=6，求BF的长.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由条件可先证四边形为平行四边形，再线段垂直平分线的性质可证得结论；
（2）由菱形的性质可求得设在和中，分别利用勾股定理可得到关于的方程，可求得的长．
【详解】解：∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴四边形AFCE平行四边形．
又∵EA=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
(2)∵四边形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，
∴OE=3，OA=4，
∴AE=CF=5，
设BF=x，
在中, ，
在中,
解得
25. 如图，为⊙O的直径，点，位于两侧的半圆上，射线切⊙O于点．已知点是半圆上的动点，点是射线上的动点，连接，．与交于点，再连接，，且．
（1）求证：；
（2）填空：①当________时，四边形是菱形；
②当________时，四边形是正方形．
【正确答案】（1）见解析；（2）①67.5°；②90°
【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF=∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；
②根据正方形的性质，可以求得∠DAE的度数．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
即∠ODF=90°，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
∴∠ODF=∠AOD，
∴CD∥AB；
（2）①连接AF与DP交于点G，
∵四边形ADFP菱形，∠AED=45°，OA=OD，
∴AF⊥DP，∠AOD=90°，∠DAG=∠PAG，
∴∠AGE=90°，∠DAO=45°，
∴∠EAG=45°，∠DAG=∠PFG=22.5°，
∴∠EAD=∠DAG+∠EAG=22.5°+45°=67.5°，
故67.5°；
②∵四边形BFDP是正方形，
∴BF=FD=DP=PB，
∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°，
∴此时点P与点O重合，
∴此时DE是直径，
∴∠EAD=90°，
故90°．
本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．
26. 已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有面积？若有，求出△CDP的面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
【正确答案】（1）（2）①（3，），，②当m=时，△CDP的面积．此时P点的坐标为，S△CDP的值是
【详解】试题分析：（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可证△AOC∽△COB，由相似比得OC2=OA•OB，设OA的长为x，则OB=5-x，代入可求OA，OB的长，确定A，B，C三点坐标，求抛物线解析式；
（2）根据△BDE为等腰三角形，分为DE=EB，EB=BD，DE=BD三种情况，分别求E点坐标；
（3）作辅助线，将求△CDP的面积问题转化．方法一：如图1，连接OP，根据S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD，表示△CDP的面积；方法二：过点P作PE⊥x轴于点F，则S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP，表示△CDP的面积；再利用二次函数的性质求出△CDP的面积和此时点P的坐标．
试题解析：
（1）设OA的长为x，则OB=5﹣x；
∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，∴OC2=OA•OB
∴22=x（5﹣x）
解得：x1=1，x2=4，
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；
∴点A、B、C的坐标分别是：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；
方法一：设点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax2+bx+2，
将A、B、C三点的坐标代入得
…
解得：a=，
所以这个二次函数的表达式为：y=
方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x﹣4）…
将C点的坐标代入得：a=-
所以这个二次函数的表达式为：y=
（2）①当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：(3,),(，(4-) ．
②如图1，连接OP，
S△CDP=S四边形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD
=
∴当m=时，△CDP的面积．此时P点的坐标为（， ），
S△CDP的值是．
另解：如图2、图3，过点P作PF⊥x轴于点F，则
S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP
=
∴当m=时，△CDP的面积．此时P点的坐标为（， ），
S△CDP的值是．
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