2023届重庆市部分学校高三上学期期末效果验收数学试题（word版）

重庆市部分学校2023届高三上学期期末效果验收

数  学

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C．  D．

2．设复数，则对应的点在第几象限（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．下列函数中，在上单调递增的是（    ）

A．  B．

C．  D．

4．已知的展开式中的有理项的系数和为，则（    ）

A． B． C． D．

5．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，使变为等差数列，则称为“变比差函数”．则选项中定义在上函数是“变比差函数”的是（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的左、右焦点分别是，过点的且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使二面角的平面角的大小为，且三棱锥的体积为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在长方体中，，，

为线段上动点，则下列说法不正确的是（    ）

A．三棱锥体积为定值

B．若为上一动点，三棱锥表面积不为定值

C．若为四边形内一动点，且与所成角的大小为，则线段所扫过的面积为

D．与所成角的最大值为

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如果平面向量，，那么下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．向量在上的投影向量为

10．下列四个命题中为真命题的是（    ）

A．“”是“”的必要不充分条件

B．设是两个集合，则“”是“”的充要条件

C．“”的否定是“”

D．名同学的数学竞赛成绩分别为：，则该数学成绩的分位数为

11．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线垂直

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在上单调递减

12．若圆：与圆：的公共弦所在的直线方程为，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．

C．两圆公切线的四个切点所围成的四边形面积为

D．对任意，在直线上总存在一点，则使过点所作的圆的两条切线互相垂直

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分，我国古人认为，世界物质可分五类：木、火、土、金、水，五物又与五色相对应，青、赤、黄、白、黑，反映到人的身心上又分别与忧愁、惊恐、喜庆、哭泣、疾病相对应，若从木、火、土、金、水五类物质和忧愁、惊恐、喜庆、哭泣、疾病五种身心中各任选类元素，求取出2类物质与2种身心相对应的概率为        ．

14．设点为抛物线上到直线距离最短的点，且在点处的切线与轴和轴的交点分别是和，则过两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为         ．

15．已知，且，则①，②，③，④，正确的有        (请把正确的序号全部填在横线上)．

16．若函数恰有个零点，则的取值范围为        ．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列各项都不为，前项和为，且      ，数列满足，．

在①，②，，③，且是和的等差中项这三个条件中任选一个，补充到横线处解答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前项和为．

18．（12分）在中，角的对边分别为，且，的外接圆的直径为．

（1）求角的大小；

（2）若，且在平面内存在点，满足，求面积的最大值．

19．（12分）为帮助特殊儿童较好的进行康复治疗，需要购买某种康复治疗仪台，具体购买方式为：购进仪器同时购买部分耗材，每个元，在使用期间耗材不足时再购买，每个元．已知台这种治疗仪在使用期内更换耗材情况如下表：

（1）记表示台机器使用期内共需更换的耗材数，求的分布列（以频率代替概率）；

（2）要使使用期内耗材平均费用最低，试说明购买机器的同时购买的耗材数为和，哪种更合适？

20．（12分）如图，在直三棱柱中，已知分别为的中点，为线段上的一动点，且，．

（1）若，求四棱锥的体积；

（2）若直线与平面所成的角的大小为，求平面与平面所成角的正弦的最小值，并确定此时点的位置．

21．（12分）已知椭圆的中心在原点，且焦距为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点为椭圆外一点，右焦点为，过点的椭圆的两条切线方程的斜率分别为，且，且，设的最小值为，求的最大值．

22．（12分）已知函数满足．

（1）求在处的切线方程；

（2）令，若恒成立，求的取值范围．

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1【答案】C

2【答案】C

3【答案】A

4【答案】C

5【答案】B

6【答案】B

7【答案】A

8【答案】D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9【答案】CD

10【答案】ABD

11【答案】ABD

12【答案】AD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．

【答案】

14．

【答案】

15．

【答案】①③

16．

【答案】

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）选①，由，可得，

两式相减得，整理得，

因为数列各项都不为，所以数列是以为公比的等比数列．

令，则，解得，

故．

选②，由，可得，

两式相减得，整理得，

因为数列各项都不为，所以从第项起，数列是以为公比的等比数列，

且．

令，则，解得，满足上式．

所以．

选③，因为是和的等差中项，

所以，计算得，

因为数列各项都不为，所以数列是以为首项为公比的等比数列，

所以．

由，得，

则当时，，

当时，也满足上式，所以．

（2）由（1）得，

所以，

，

两式相减得，

所以．

18．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，

所以，即，

因为的外接圆的直径为，所以，

所以，

因为，所以，

因为，所以．

（2）因为，所以，

设点为中点，则，

所以．

由余弦定理，可得，当且仅当时，等号成立，

所以，

所以面积的最大值为．

19．

【答案】（1）分布列见解析；（2）．

【解析】（1）每台机器更换的耗材数为，，，，

的可能的取值为，，，，，，，

，，

，

，

，

，，

所以的分布列为：

（2）购买耗材所需费用含两部分，一部分为购买仪器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，

当购买机器的同时购买的耗材数为时，费用的平均值为

；

当购买机器的同时购买的耗材数为时，费用的平均值为

，

购买机器的同时购买的耗材数为时更合适．

20．

【答案】（1）；（2）见解析．

【解析】（1）证明：在直三棱柱中，有，

又因为，所以，

所以，

因为三棱柱是直三棱柱，所以，

又，所以⊥平面，

所以．

（2）取的中点，连接，

因为，所以，

因为三棱柱是直三棱柱，所以，

又，所以平面．

所以为直线与平面所成的角，即，

在等腰直角三角形中，，

从而，所以，

以为原点，以为轴建立如图空间直角坐标系，

所以，，，，

，，，

设平面的法向量为，∴，即，

令，得，∴，

设平面的法向量为，∴，即，

令，得，∴，

∴，

∴，

令，则，且，

（当，即时，等号成立）

∴当点与重合时，平面与平面所成角的正弦的最小，最小值为．

21．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意可知，，，所以，

∴，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题意可知，两条切线直线的斜率存在且不为零，

设过点的切线方程，

联立，

消去可得，

由于直线与椭圆相切，则，

化简并整理得．

因为两条切线方程的斜率分别为，

所以，，所以，

故，

易知当时，有，

因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为．

22．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），令，得，

再由，令，得．

所以的解析式为，

所以，

所以切线方程为，即．

（2）结合（1），可得，

因为恒成立，所以恒成立，

令，所以即可．

因为，且，

①当时，，不合题意．

②当时，，所以在上单调递减．

因为，，

所以存在，使得，即．

当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以

，

因为，所以，因此，解得，

又，且当时，有，所以，

从而，

因为，令，，

则，所以在上单调递增，

所以，即，所以，

因此，实数的取值范围为．