2021-2022学年福建省福州市福建师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年福建省福州市福建师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.

【详解】解：由全称命题的否定为特称命题可得：

命题“”的否定是

故选：B.

2．已知集合，，则=（    ）

A．[-2，0） B．（~∞，-2] C．（-∞，0] D．（-∞，0）

【答案】D

【分析】分别求解两个集合，再求补集即可.

【详解】由，得，

所以，

因为

所以，

所以.

故选：D.

3．已知，则下列函数中与函数不相同的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在所给定义域范围内对函数逐一化简即可.

【详解】解：对A，，，与函数相同；

对B，，，与函数不相同；

对C，，，与函数相同；

对D，，，与函数相同.

故选：B.

4．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性和幂函数的单调性即可比较大小.

【详解】解：，，

因为是上的增函数

所以

设，在单调递增

所以

故选：A.

5．设和为方程（）的两个根，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用韦达定理结合基本不等式即可求解.

【详解】解：因为和为方程（）的两个根

所以，

所以，（）

当且仅当，即时取等号

所以的最小值为：

故选：D.

6．下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递减的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据奇偶性、单调性的定义及二次函数、指数函数的单调性，对各选项逐一分析即可得答案.

【详解】解：对A：因为，且定义域为R，所以函数为偶函数，

取，且，则，

因为，所以，，

所以，即，所以在上单调递增，故选项A错误；

对B：因为，所以函数为偶函数，又时，在上单调递减，在上单调递增，故选项B错误；

对C：因为，所以函数不是偶函数，故选项C错误；

对D：因为，且定义域为，所以函数为偶函数，取，且，则，

因为，所以，，

所以，即，所以在上单调递减，故选项D正确.

故选：D.

7．已知，若f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分段函数在上是增函数，需满足每段都是增函数，并且在分界点处还需满足.

【详解】要使函数是上的增函数，

需，解得.

故选：B

8．函数f(x)是定义在上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有成立，则不等式f(x)<0的解集为（    ）

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，0)∪(0，1)

C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞)

【答案】C

【分析】由想到构造函数F(x)＝xf(x)，可证为偶函数且在上为减函数，结合偶函数的对称性解不等式即可求解.

【详解】令F(x)＝xf(x)，因为函数f(x)是定义在上的奇函数，

所以F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，

所以F(x)是偶函数，因为f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，则F(1)＝0，

因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1>x2时，

，

所以在(－∞，0)上单调递减，

所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，

等价于或，

解得或，

所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1).

故选：C

【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性解不等式，构造函数是解题的关键，属于中档题

二、多选题

9．若a，b，，，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用不等式及其性质逐项判断即可.

【详解】解：对A，因为，所以，所以不等式两边同时除以得：，故A正确；

对B，由，令，，则，故B错误；

对C，因为，不等式两边同时乘以得：，故C错误；

对D，因为，所以不等式两边同时乘以得：，故D正确.

故选：AD.

10．已知不等式ax2+bx+c>0的解集是，以下结论正确的有（    ）

A．b<0 B．c>0 C．4a+2b+c<0 D．

【答案】BD

【分析】由一元二次不等式解集为，令则为的零点且，结合二次函数的性质及其对应方程即可判断A、B、C的正误，由，即可知D的正误.

【详解】由不等式的解集是，知：是的两个零点且即函数图象开口向下，

∴，即且，

∵，所以D正确..

故选：BD.

11．若，则关于的方程的实数解的个数可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】用分段函数的形式表示函数，并作出图象，讨论实数解的个数.

【详解】由已知，作出函数图象如图所示，

又，所以或，

因为，有个实数解，

当，即时，无解，共有个实数解；

当，即，，共有个实数解；

当，即时，有个实数解，共有个实数解；

当，即时，有个实数解，共有个实数解；

当，即时，有个实数解，共有个实数解；

故选：ACD.

12．《九章算术）中“勾股容方”问题∶“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？"魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法∶如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱､青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边d，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是（    ）

A．由图1和图2面积相等可得，； B．由可得，

C．由可得； D．由可得，

【答案】ACD

【分析】根据图形，利用等面积及直角三角形的特点，逐项判断，即可得出结果．

【详解】对于A，由面积相等得，，正确；

对于B，在图3中，由三角形面积得，又，

由得，所以，不正确；

对于C，由由得，所以，正确．

四个推理都正确．

对于D，，由得，所以，正确；

故选：ACD．

三、填空题

13．函数，（a>0，且a≠1）的图像经过的定点的坐标是___________.

【答案】##(0.5,4)

【分析】根据，可令，解得，求出即可得定点的坐标.

【详解】解：令，可得

故函数，（a>0，且a≠1）的图像经过的定点的坐标是

故答案为：

14．函数f（x）=x（2-|x|）的单调增区间为___________.

【答案】##

【分析】去掉绝对值得分段函数，然后分段讨论每段函数的单调性即可求解.

【详解】解：，

因为时，在上单调递增，在上单调递减；

时，在上单调递增，在上单调递减；

所以的单调递增区间为，

故答案为：.

15．记圆周率小数点后第n位上的数字为y，则y是n的函数，记为y=f（n）.已知.则___________.

【答案】

【分析】先求出内层函数的值，再求出外层函数值即可.

【详解】解：因为

所以

所以

即

故答案为：.

16．已知为R上的偶函数，为R上的奇函数，且，则f（2）=___________.

【答案】##4.25

【分析】根据奇偶性构造方程组，解方程组即可求出结果.

【详解】由题意知，因为函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，所以，所以，因此，

两式相加得，即.

所以

故答案为：

17．已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，如果它的值域恰好也是[-1，1]，那么f（x）的解析式可以是___________（写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据条件结合高中学过的基本初等函数即可得解.

【详解】根据条件可知满足题意.

故答案为：（答案不唯一）.

18．设函数则满足的x的取值范围是____________.

【答案】

【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.

【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.

四、解答题

19．计算下列各式的值.

(1)；

(2)已知2a=3，4b=6，求2b-a的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用指数的运算法则进行计算.

（2）根据对数函数的运算可得答案.

【详解】（1）解：

原式

（2），

20．已知集合，.

(1)当a=3时，求.

(2)若“”是 “x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式求出集合、，然后根据交集的运算法则求交集；

（2）解不等式求出集合、，求出，然后根据充分不必要性列出不等式组求解.

【详解】（1）解：由题意得：当时，

可解得集合的解集为

由可解得或

故.

（2）的解集为

又

又“”是“x∈A”的充分不必要条件

解得：，故实数a的取值范围

21．年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌､病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播､保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过分钟菌落的覆盖面积为，经过分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系有两个函数模型与可供选择.

（参考数据：，，，，，，）

(1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；

(2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（结果保留到整数）

【答案】(1)应选模型为，理由见解析；

(2)

【分析】（1）根据增长速度可知应选，根据已知数据可构造方程组求得，进而得到函数模型；

（2）根据函数模型可直接构造不等式，结合参考数据计算可得，由此可得结论.

【详解】（1）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，

应选模型为；

则，解得：，，又，

函数模型为；

（2）由题意得：，即，，

，，

至少经过培养基中菌落面积能超过.

22．已知y=f（x）是R上的奇函数，x>0时，.

(1)求函数f（x）的解析式；

(2)是否存在区间[1，+∞）内的实数a､b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为，若存在，求出a､b的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）直接利用函数的奇偶性性质得到答案.

（2）根据二次函数单调性，讨论，，三种情况，计算最值得到答案.

【详解】（1）因为y=f（x）是R上的奇函数，所以，

当时，，

所以

（2）当时，．

当时，函数单调递减，，，

解得，.

23．已知函数（a是常数）.

(1)当a=1时，求证以下两个结论∶

（i）f（x）为增函数（用单调性的定义证明）.

（ii）f（x）的图像始终在的图像的下方.

(2)设函数，若对任意，总有成立，求a的取值范围.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）（i）任取，化简计算并判断正负即可得出单调性；

（ii）两个函数作差和0比较大小即可；

（2）由题意可得，结合，利用换元法转化为，，再结合二次函数的性质即可.

【详解】（1）（i）由题意，（是常数），当时，，

证明:

函数在上单调递增，又，则，

于是得，即，

在上单调递增.

（ii），

即的图像始终在的图像的下方.

（2）由题意，得，，

令，则，其对称轴为，

①当，即时，此时单调递减，

∴，即，

解得或，

∴；

②当，即时，此时先减后增左端点高，

∴即，无解；

③当，即时，此时先减后增右端点高，

∴即，无解；

④当，即时，此时单调递增，

∴即，

解得或，

∴；

综上，.