2021-2022学年贵州省六盘水市高一下学期期末质量监测数学试题（解析版）

2021-2022学年贵州省六盘水市高一下学期期末质量监测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得集合，再根据集合的交运算求解即可.

【详解】因为，，故可得.

故选：B.

2．已知复数z满足（i是虚数单位），则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】利用复数的乘法运算求得，然后求得.

【详解】由，得，

则.

故选：B

3．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】利用特称命题的否定为全称命题即得.

【详解】“，”的否定是“，”.

故选：D.

4．在，，，四个数中，最大的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数的性质求值比较大小即可.

【详解】因为，，

，，

所以四个数中最大的是，

故选：A.

5．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.

【详解】，

由于，所以，

所以.

故选：D

6．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据在上递增列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】的开口向上，对称轴为，

由于在上递增，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故选：A

7．在中，D为BC上一点.若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.

【详解】由于三点共线，所以，

所以

，

当且仅当.

故选：C

8．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（    ）

图1                            图2

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合勾股定理求得球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】底面边长为，底面的对角线长为.

设正四棱柱和正四棱锥的高为，外接球的半径为，

则，

解得，

所以外接球的表面积为.

故选：C

二、多选题

9．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性、不等式的性质判断正确选项.

【详解】A选项，在上递增，所以由可得，A选项正确.

B选项，，B选项错误.

C选项，，根据不等式的性质可知，C选项正确.

D选项，当，时，，D选项错误.

故选：AC

10．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】CD

【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，若，，则可能异面，A选项错误.

B选项，若，，则可能相交，B选项错误.

C选项，若，，则（线面垂直的性质定理），C选项正确.

D选项，若，，则（垂直于同一条直线的两个平面平行），D选项正确.

故选：CD

11．在某次数学测试中，甲、乙两个班的成绩统计如下表：

记这两个班数学成绩的总平均分为，方差为，则（    ）A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据平均数、方差的计算公式求得正确答案.

【详解】依题意，

.

故选：AC

12．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．是奇函数

C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减

【答案】BCD

【分析】根据的范围，三角函数的奇偶性、对称性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，由于，所以的值可以为负数，A选项错误.

B选项，

，

所以为奇函数，B选项正确.

C选项，

，

所以的图象关于直线对称，C选项正确.

D选项，，所以在区间上递增，

令，，

令，，

其中，

所以，

所以在上递减，

根据复合函数单调性同增异减可知在上单调递减，D选项正确.

故选：BCD

三、填空题

13．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实.为了解某地区对“双减”政策的落实情况，现采用分层随机抽样的方法从该地区24所小学，18所初中，12所校外培训机构中抽取9所进行调查，则应抽取初中__________所.

【答案】

【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.

【详解】抽取初中所.

故答案为：

14．已知向量，，则与的夹角为__________.

【答案】##

【分析】先求向量与的数量积及和的模，再利用向量夹角公式求与的夹角．

【详解】向量，，

所以，，，

设与的夹角为，则，又，

所以．

故答案为：．

15．已知是R上的偶函数，且，当时，，则__________.

【答案】

【分析】根据，求得函数的周期，再根据函数的周期将所求的转化到已知区间，即可得解.

【详解】解：当时，，

则，，

因为，

所以，

所以函数是以8为周期的周期函数，

则，

由，得，

所以.

故答案为：.

16．已知，，则__________.

【答案】

【分析】化简已知条件，通过构造函数，结合函数的单调性求得的关系式，从而求得.

【详解】，，

设，在上递增，

而，

所以，则.

故答案为：

四、解答题

17．从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW•h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示.

(1)求a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100户居民用户月用电量的上四分位数（结果保留整数）.

【答案】(1)；

(2)234

【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率之和为1计算；

（2）求出用电量在的频率为0.24，因此确定上四分位数在上，按比例求得频率0.25对应的数值即可得．

【详解】（1）由频率分布直方图知,

解得；

（2）用电量在的频率为，

上的频率为，

因此上四分位数在上，设上四分位为，，．

所以用电量的上四分位数约为234.

18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.

(1)求角A；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由向量垂直得数量积为0，由数量积坐标表示及正弦定理可得角；

（2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算．

【详解】（1）∵，∴，

由正弦定理得，是三角形内角，，

∴，，是三角形内角，∴；

（2）由余弦定理得，解得（舍去），

∴．

19．如图，在三棱锥中，平面ABC，D是PB上一点，且平面PBC.

(1)求证：；

(2)若，M是PC的中点，求直线BM与平面ABC所成角的大小.

【答案】(1)证明详见解析

(2)

【分析】（1）通过证明平面来证得.

（2）作出直线与平面所成角，并求得角的大小.

【详解】（1）由于平面ABC，平面，所以.

由于平面PBC，平面，所以，

由于平面，所以平面，

由于平面，所以.

（2）设是的中点，连接，

由于是的中点，所以，所以平面，

所以是直线与平面所成角，

由于，直角三角形中，，

所以，所以.

20．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象.当时，求函数的最值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据图象依次求得的值.

（2）根据图象变换的知识求得，化简的解析式，根据三角函数最值的求法求得正确答案.

【详解】（1）由图可知，，

，，

，所以，

所以.

（2）函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，

再向右平移个单位长度，得到，

，

，，

所以，

所以在区间上的最大值为，最小值为.

21．2005年8月，时任浙江省省委书记的习近平同志就提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断.为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策和措施某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，利用秸秆、人畜肥等做沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题.若沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池底的造价为每平方米180元，池壁的造价为每平方米150元，池盖的总造价为2000元.设沼气池底面长方形的一边长为x米，但由于受场地的限制，x不能超过2米.

(1)求沼气池总造价y关于x的函数解析式，并指出函数的定义域；

(2)怎样设计沼气池的尺寸，可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价.

【答案】(1)

(2)当长米，宽米时总造价最低，最低造价为元

【分析】（1）池底、池壁、池盖的造价求得关于的解析式，并写出定义域.

（2）利用函数的单调性求得设计方案并求得最低造价.

【详解】（1）沼气池的宽为，

依题意

（2）由（1）得，

对于函数，

任取，

其中，

所以，

所以在上递减，

所以当长米，宽米时，最小，也即总造价最小，

最小值为元.

22．已知函数（是自然对数的底数）.

(1)讨论的单调性；

(2)是否存在实数a使得的图象关于点（0，1）对称？若存在，请求出实数a，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)答案详见解析

(2)存在，且.

【分析】（1）利用分离常数法，结合复合函数单调性以及对进行分类讨论，从而求得的单调区间.

（2）由列方程，化简求得的值.

【详解】（1），所以的定义域为，

，

根据复合函数单调性同增异减可知：

当时，，没有单调性.

当时，的单调递减区间是.

当时，的单调递增区间是.

（2）的定义域为，

假设存在实数，使的图象关于点对称，

此时，

，

，

.