2021-2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．集合A={x|y=log2(x+)}，B={y|y=x2-2x，x∈[0，2]}.则A∩B=（       ）

A．  B．

C． D．()

【答案】B

【分析】分别解出A、B集合，再求交集即可.

【详解】集合A:;

集合B:,

所以：

故选：B.

【点睛】本题考查集合的交集运算.属于基础题.正确解出A、B集合是本题的基础.

2．已知=（-2，2），与夹角为，=（，）.为与同向的向量.则在上投影向量为（       ）

A．=（-，） B．=（-，1）

C．=（1，） D．=（，）

【答案】C

【分析】根据在上投影向量为即可得出答案.

【详解】解：因为=（，），所以，

又因为与同向的向量，

所以，

所以据在上投影向量为，

即.

故选：C.

3．已知与的终边关于y轴对称，cos=-，则tan=（       ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【分析】由与的终边关于y轴对称，得，又因为cos=，求出，即可求出tan.

【详解】因为与的终边关于y轴对称，则，所以，则，所以tan= .

故选：D.

4．已知（），（），，则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据共轭复数和复数相等的概念，可求出，再根据复数的除法运算即可求出，进而求出的虚部.

【详解】因为，所以，即；

所以，所以的虚部为.

故选：A.

5．已知且，，，，又，，则（       ）

A． B． C． D．6

【答案】B

【分析】依题意不妨令，，即可求出，，的坐标，再根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得、，即可得解；

【详解】解：因为且，不妨令，，因为，，，所以，，，所以， ，解得，，所以；

故选：B

6．已知f(x)=2sin2x图象所有点横坐标伸长到原来的 （0<<1）倍，纵坐标不变.又将图象向左平移个单位得到y=g(x)的图象.y=g(x)的周期为4.则y=g(x)对称轴不可能为（       ）

A．x= B．x= C．x=- D．x=

【答案】A

【分析】根据题意写出，再利用周期为4可得出即可判断出答案.

【详解】由题意知f(x)=2sin2x图象所有点横坐标伸长到原来的（0<<1）倍，纵坐标不变得到，再向左平移个单位得到.

又;

所以；

对称轴为.

当时；

当时；

当时；

当时，.

故选：A.

【点睛】本题考查三角函数的对称轴.属于基础题.先根据三角函数的平移伸缩变换写出函数的解析式是解本题的基础.

7．在△ABC中，==，=-2，a=3，b+c=5.则b的值为（       ）

A． B． C．2或3 D．1或4

【答案】C

【分析】根据题意由余弦定理和数量积列方程组，直接解出b、c的值.

【详解】如图示：设.

由余弦定理得：，即……①.

因为==，=-2，所以，即……②.

又有b+c=5……③

①②③联立解得：或.

故选：C

8．条件p:f(x)=在R上为增函数. 条件q:g(x)=log2(2ax+1)在[1，2]单调递增.则p是q成立（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．不充分不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义，从p推q，再从q推p即可.

【详解】若p： 是增函数，则 且，

即 ， 是增函数，即由p可以推出q；

若q       : 在 时是增函数，

根据复合函数的单调性规则，则必定有 ，比如 ，

则 在R上不一定是增函数，即由q不能推出p；

故p是q的充分不必要条件；

故选：A.

二、多选题

9．在复平面内，复数 对应点满足.点与关于轴对称.则复数为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据复数的模运算公式可求出，进而求出点的坐标，根据与关于轴对称，可求出点的坐标，再根据复数的几何意义，即可求出结果.

【详解】由于复数 对应点满足

所以，所以，或

又点与关于轴对称，所以点或

所以复数为或.

故选：CD.

10．① |+|||+||，②       =（），则 =. ③       的夹角为，.则上投影向量与上投影向量相等.④ O、A、B、P为平面点且=+n(m+n=1)，则P、A、B共线.以上结论或命题正确的序号（       ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】AD

【分析】理解每个选项的定义以及含义，再推导即可.

【详解】对于A， ,

当 与 的夹角为 时等号成立，故A正确；

对于B， ，则有 ，可能有 ，

也可能有向量 与向量 的夹角为 ，故B错误；

对于C，根据投影向量的定义，

在 上的投影向量为 ，

在- 上的投影向量为 ，

故C错误；

对于D，不妨设O为原点， ，

依题意则有 ， ，

，

即 ，即 与 共线，A，B，P三点共线，故D正确；

故选：AD.

11．a、b、c为ABC的三边，下列条件能判定ABC为等腰直角三角形为（       ）

A．且

B．

C．且

D．:sinB:sinC=：：

【答案】ACD

【分析】A选项通过向量的平行四边形法则以及向量垂直即可判断；B、C、D选项借助正弦定理以及三角恒等变换进行判断.

【详解】A选项：分别为方向上的单位向量，设为的角平分线，按照平行四边形法则知与共线，又，说明，即的角平分线与垂直，故ABC为等腰三角形，又，两边平方得，即，故，即ABC为等腰直角三角形，A正确；

B选项：，由正弦定理得，即，可得或，即ABC为等腰或直角三角形，B错误；

C选项：，由正弦定理得，即，可得，，又，即，，由正弦定理得，即，故，即ABC为等腰直角三角形，

C正确；

D选项：由正弦定理得，可得，即ABC为等腰直角三角形，D正确.

故选：ACD.

12．已知，又，且的最小值为，下列关于讨论正确为（       ）

A．图象是由图象向右平移个单位而得到

B． 是奇函数

C． 在上单调递增

D． 在上恰有2个零点

【答案】BD

【分析】利用三角恒等变换化简为标准型，再结合正弦型函数的最小正周期求得参数，根据三角函数的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】因为

又，且的最小值为，故的最小正周期为，

即，解得，则.

对：图象向右平移可得，故A错误；

对B：因为，又其定义域为，则为奇函数，故B正确；

对C：当，，而在不单调，故C错误；

对D：令，故可得，又，

故当或时，或，故在区间上有两个零点，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知复数z为纯虚数且满足1-3z=|z|+3i，则=________

【答案】

【分析】设，带入方程，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.

【详解】设.

则：

即：.

所以

故答案为：

【点睛】本题考查复数的运算.属于基础题.解本题的关键在于设出复数后利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.

14．已知f(x)=为奇函数，则f(log2())=_______

【答案】38

【分析】先利用奇函数求出a=2，代入即可求解.

【详解】因为为奇函数且定义域为R，所以，即，解得：a=2.

所以.

所以.

故答案为：38.

15．已知矩形，，为的中点，，，则_______

【答案】

【分析】建立如下图所示平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，

所在直线为轴，求出点坐标，则，代入求解即可.

【详解】建立如下图所示平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，

所在直线为轴，，，，，，，

所以的直线方程为：，即，

所以的直线方程为：，即，

联立解得，即，

所以，，所以.

故答案为：.

四、双空题

16．小明从A处向东走了6km到达B处，然后由B地向南偏东300方向走了6km到达C地.再从C地向北偏东300 走了12km到达D地.则位移的大小_______，方向_______

【答案】     （km）     A处北偏东75°或东偏北15°

【分析】解：以A为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求得的坐标，再求模，然后再利用，求方位角.

【详解】解：以A为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示：

则，

所以，

所以，

因为，

且，，

所以，

故答案为：（km），A处北偏东75°或东偏北15°

五、解答题

17．已知=（1，2）， =（-2，4），

(1)//（+），求

(2)⊥，求与夹角的余弦值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出+和的坐标，根据//（+）可得方程，求出m,继而求出，即可求得答案；

（2）根据⊥，求得，根据向量的夹角公式，即可求得答案.

【详解】(1)由=（1，2），=（-2，4），可得+，

,

故由//（+），可得 ，解得 ；

故，则；

(2)由⊥可得： ，

则 ，

故， ，

，，

故 .

18．（1）已知a、bR且满足(a-i)2-3bi=(1+i)(2-2ai)，又z1=3-ai，z2=-3b+2i，求的模与共轭虚数.

（2）i的正整数指数幂满足=i，=-1=-i=1（n）.如i=i，i2=-1，i3=-i，i4=1.请分析并写出i的正整数指数幂和、差规律，以此规律计算i+ i2+ i3+….+i2022 ①或i-i2+ i3-i4 +….-i2022 ②（注：要求只计算①与②之一）

【答案】（1）当时，的共轭复数为.当时，的共轭复数为.

（2）①；②.

【分析】（1）化简后根据两复数相等，列出方程组，即可解出的值，即可计算出答案.

（2）根据；计算即可.

【详解】（1）∵

化简得：

或

①当时，.

的共轭复数为.

②当时，.

的共轭复数为.

（2）由题意知；；

所以①

；

②

.

【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.

19．已知平行四边形ABCD，，AD⊥BD，E、F分别为AC上2个三等分点.

(1)设=，= ，| |=1.，判断DE、BF的位置关系并用向量方法加以证明，求的值

(2)已知A（1，1），B（5，1），求D点坐标及的值

【答案】(1)平行；证明见解析，

(2)或，

【分析】（1）将向量和用和表示，可得，再结合图形可知；

（2）在直角三角形中，计算可得，设，利用和可求出的坐标；将和分别用、表示，利用、的长度和夹角可求出的值.

【详解】(1)，证明如下：

因为E、F分别为AC上2个三等分点，

所以，

，

所以，

，

所以，结合图形可知，

因为，，，所以，

所以，

(2)设，因为，，所以，

又因为，，所以，即，

即，

又，，且，

所以，

联立，得或，

所以或.

因为，

，

所以

.

20．在ABC中，f(x)=2sinAcos2+cosAsinx，2=a2-b2-c2

(1)B=120°，g(x)=2f(2x)，求y=g（x）的最值与单调区间

(2)f()=，求B的大小.

【答案】(1)当时，；当时，；单调递增区间为；单调递减区间为；

(2)

【分析】由的解析式化简可得，化简可得.

（1）结合可求出，即可得出，则可得到，根据的最值与单调区间，即可求出最值与单调区间.

（2）由结合即可求出答案.

【详解】(1)由题意知： .

又即

又B=120°，；

∴，

∴.

所以;

当即时，；

当即时，；

∵在区间上单调递增

∴；

的单调递增区间为；

∵在区间上单调递减

∴；

的单调递减区间为；

(2)由（1）知；；

所以

，又即

所以

【点睛】本题主要考查三角函数的最值、单调区间.属于基础题.解本类题型的关键在于讲中的看成整体带入的相关性质中求解.

21．某厂一产品有A、B两种型号.应市场情况变化每隔10天按上下浮动10%左右（误差1%）调整出厂价.表中为2022年2月4号与3月13号出厂价.其中期间上浮了4次.

(1)A产品每次提价达标吗?计算3月13号B型产品出厂价？（注：≈1.106）

(2)宏发商场在2022年2月24号~3月13号采购了A、B型共计90件产品，出厂价以表中2月4号价按标准上浮取整数计算（四舍五入）.已知A型产品售量t1与其售价x满足t1 =1.5x-5（元，x>0）;B型产品售量t2与其售价x满足t2=x-5（元，x>0）.又B型产品售价是A型产品售价的1.5倍.

（i）写出总利润y关于A型产品售价t的函数关系式

（ii）当A型产品售价t为何值时，总利润y与t的比最低.（3.87，结果保留到0.1）

【答案】(1)达标，型产品月号的出厂价为元

(2)（i）；（ii）当型产品售价为元时总利润与的比最低.

【分析】（1）设每次提价率为，依题意可得，即可求出，即可判断提价是否达标，从而求出型产品的出厂价；

（2）（i）首先求出2月24号、型产品的出厂价，即可得到、产品销售利润，从而得到总利润与的函数；

（ii）利用基本不等式求出总利润与的比最低；

【详解】(1)解：设每次提价率为，依题意可得，则，所以，解得，即每次提价，，故提价达标；

则型产品月号的出厂价为元；

(2)（i）2月24号型产品的出厂价为元，

型产品的出厂价为元，产品销售利润，产品销售利润，

所以

因为，且，，所以；

所以关于的函数解析式为；

（ii）因为，因为，所以，当且仅当，即时；所以当型产品售价为元时总利润与的比最低.

22．已知a、b、c、s为ABC的三边与面积，记B=x(0，)，f(x)=cos（3- x）sin（ - x）-+

(1)求f(x)的最大值g(a)

(2)在（1）条件下，是否a，f(x)> g(a) -对于(0，)恒成立.若不存在，求出B的取值范围，否则说明理由

【答案】(1)

(2)存在

【分析】（1）化简，因为，所以，讨论、，即可求出f(x)的最大值g(a).

（2）化简f(x)> g(a) -为，设，不等式化简为：，假设，对于(0，)恒成立，即转化为，令，求出即可得出结论.

【详解】(1)

，因为，

因为，所以.

①当，则，当时，；

②，则，当时，.

又因为取不到1，所以

(2)由，则，

，设，不等式化简为：，假设，对于(0，)恒成立，

，令，对称轴为：，，

（i）当，即时

，所以，所以.

（ii）当，即时，

，所以，所以.

综上：的取值范围为： ，此时.

所以，f(x)> g(a) -对于(0，)恒成立.