2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．（       ）

A．1 B．−1

C．i D．−i

【答案】D

【分析】根据复数除法法则进行计算.

【详解】

故选：D

【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则c等于（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】由余弦定理求解

【详解】由余弦定理得，即，解得

故选：A

3．正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.

【详解】因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.

【点睛】本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题.

4．已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】故在复平面内对应的点在第一象限

5．已知向量的夹角为60°，且，则向量在方向上的投影等于（       ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】由模与数量积的关系求出向量的数量积，再根据投影的定义求解．

【详解】由题意，即，解得，向量在方向上的投影为．

故选：B.

【点睛】本题考查向量的投影，考查向量的模与数量积之间的关系，掌握数量积的性质是解题关键．

6．水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中 ，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得，,绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.

【详解】根据“斜二测画法”可得，，，

绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，

它的表面积为.

故选:

【点睛】本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.

7．在中，向量与满足，且，则为（       ）

A．直角三角形 B．等腰直角三角形

C．等边三角形 D．等腰非等边三角形

【答案】B

【分析】根据已知条件可知角的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出即可得的形状.

【详解】，分别为向量与的单位向量，

因为，所以角的角平分线与垂直，

所以是等腰三角形，且，

由，，所以，

所以，可得，

所以是等腰直角三角形.

故选：B

8．点P是正三角形外接圆圆O上的动点，正三角形的边长为6，则的取值范围是（        ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将变形为，然后根据同向和反向时求解出的最值，由此确定出的取值范围.

【详解】因为，

又因为正三角形的边长为，所以，

所以，

所以，

当同向时，此时取最大值为，

当反向时，此时取最小值为，

综上可知，的取值范围是，

故选：C.

【点睛】结论点睛：已知两个非零向量的模为，求的最值时：

当同向时，此时有最大值；

当反向时，此时有最小值.

二、多选题

9．在复数范围内，有下列命题，则其中真命题的有（       ）

A．若，是两个复数，则一定是实数

B．“”是“”的充分不必要条件

C．方程的根是

D．

【答案】ABC

【分析】根据复数的运算以及和复数有关的定义分别判断即可．

【详解】解：设，，

则

，故A正确；

设，，

当时，由则，所以，若得不到，

当时，若，

则，

“”是“”的充分不必要条件，故B正确；

方程的根是，故C正确；

是复数，可能是复数，但是复数的模，一定是实数，

如，则，但是，故D错误；

故选：ABC．

10．在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，根据下列条件解三角形，其中只有一解的为（       ）

A．a＝50，b＝30，A＝60° B．a＝30，b＝65，A＝30°

C．a＝30，b＝50，A＝30° D．a＝30，b＝60，A＝30°

【答案】AD

【解析】由已知结合正弦定理求解sinB，再由正弦函数的值域及三角形中大边对大角分析得答案．

【详解】对于A，由a＝50，b＝30，A＝60°，

利用正弦定理可得：

则sinB，

∵a＞b，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；

对于B，由a＝30，b＝65，A＝30°，

利用正弦定理可得：

则sinB，此三角形无解；

对于C，由a＝30，b＝50，A＝30°，

利用正弦定理可得：

则sinB，

∵b＞a，且A为锐角，则角B有两解，故三角形有两解；

对于D，由a＝30，b＝60，A＝30°，

利用正弦定理可得：，

则sinB＝1，B＝90°，三角形为直角三角形，仅有一解．

故选：AD

【点睛】本题考查三角形解的个数的判定，考查正弦定理的应用，注意三角形中大边对大角是关键，是中档题．

11．在中，下列说法正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则为钝角三角形

D．存在满足

【答案】ABC

【解析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.

【详解】A.，，根据正弦定理，可知，故A正确；

B.，，即，由正弦定理边角互化可知，故B正确；

C.当时，，即，即，则为钝角三角形，若，，即成立，是钝角，当是，，所以综上可知：若，则为钝角三角形，故C正确；

D.，，，

即，故D不正确.

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.

12．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器烦斜，随着倾斜度的不同（       ）

A．没有水的部分始终呈棱柱形

B．水面所在四边形的面积为定值

C．当容器倾斜如图（2）所示时，为定值

D．当容器倾斜如图（3）所示时，为定值

【答案】ACD

【分析】根据棱柱的定义判断A，由即可判断B，根据棱柱的体积公式判断C、D；

【详解】解：对于A，由于固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，

故没有水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且为棱柱的一条侧棱，故A正确；

对于B，因为水面为矩形，所以，其中，随着倾斜角的变化而变化，故水面的面积是变化的，故B错误；

对于C，当容器倾斜如图（2）所示时，四棱柱的体积不变，又，其中，又是定值，是定值，所以为定值，故C正确；

对于D，当容器倾斜如图（3）所示时，三棱柱的体积不变，

其中，因为高是定值，则底面积为定值，

即为定值，则为定值，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______．

【答案】

【分析】由条件求解底面半径和圆锥的高，即可求得圆锥的体积.

【详解】设底面半径为，由题意可知，解得：，

圆锥的高，

所以圆锥的体积.

故答案为：

14．设复数，满足，，则=__________.

【答案】

【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.

【详解】方法一：设，，

，

，又，所以，，

.

故答案为：.

方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,

由已知,

∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解

15．已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则的范围是___________；

【答案】

【分析】由题意可得，且与不共线，由此求得的取值集合．

【详解】解：向量，，若向量与向量夹角为钝角，

，且与不共线，

即 且，即且，故，

故答案为：．

16．三角形中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，且三角形外接圆面积为，则___________.

【答案】

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简可得，利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，设外接圆半径为，由圆的面积公式可求，根据正弦定理即可求得的值．

【详解】解：，

可得：，

可得：，

由正弦定理可得：，

，

由为三角形内角，可得，

三角形外接圆面积为，设外接圆半径为，则，可得，

由正弦定理：，可得：，解得．

故答案为：．

四、解答题

17．已知向量.

（1）若，求k的值；

（2）若，求k的值.

【答案】（1）或；（2）或.

【分析】(1)已知向量、的坐标，根据向量平行(共线)，利用其坐标表示有，即可求k的值；(2)首先用坐标表示向量、，再根据垂直关系结合数量积的坐标公式有，即可求k的值

【详解】（1）由，知：，解得或

（2）由题意知：

又∵

∴

解得或

【点睛】本题考查了利用向量共线、垂直的坐标表示求参数值，属于基础题

18．已知复数在复平面内所对应的点为A

(1)若复数为纯虚数，求实数的值；

(2)若点A在第二象限，求实数的取值范围

【答案】(1)-6

(2)

【分析】（1）先求得，根据其为纯虚数，可得，即可求得m值.

（2）先求得点A在复平面内坐标，根据其在第二象限，可得，即可求得m的范围.

【详解】(1)由题意得，

因为为纯虚数，

所以，解得.

(2)复数z在平面内所对应的点为，

因为点A在第二象限，

所以，解得或，

所以实数的取值范围为

19．如图，在菱形中，，.

（1）若，求的值；

（2）若，，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）结合平面图形以及平面向量的线性运算即可求出，的值，进而求出结果；

（2）根据平面向量的加法运算得到，在结合（1）中，利用平面向量数量积的运算律以及定义即可求解.

【详解】（1）因为，，

所以，

所以，，故.

（2）∵，

∴，

∵为菱形，∴，

∴，即.

20．已知圆柱的底面半径为2，高为4．

（1）求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；

（2）若平行于轴的截面ABCD将底面圆周截去四分之一，求截面面积；

（3）在（2）的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，求体积之比．

【答案】(1) ；(2)；(3)

【分析】(1)将侧面沿母线展开得到矩形,再求矩形对角线即可.

(2)易得截面为矩形,求得长与宽再求面积即可.

(3)求出三棱柱的体积,再计算四分之一个圆柱即可.

【详解】(1) 将侧面沿母线展开得到矩形,临边分别为为和4,故最短路径为此矩形的对角线长

(2)因为截面是矩形,且,且.

故截面面积 .

(3)由题易得圆柱体积,又三棱柱的体积

.故..

故.

【点睛】本题主要考查了圆柱的性质与面积体积的计算等,属于基础题型.

21．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路(长度均超过3千米)，在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米.

（1）求线段的长度；

（2）若，求两条观光线路与之和的最大值.

【答案】（1）3千米；（2）最大值为6千米．

【分析】（1），．用余弦定理，即可求出；

（2）设，，用正弦定理求出，，展开，结合辅助角公式可化为，由的取值范围，即可求解．

【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，

，，

所以线段的长度为3千米；

（2）设，因为，所以，

在中，由正弦定理得，

.

所以，，

因此

，

因为，所以.

所以当，即时，取到最大值6.

所以两条观光线路与之和的最大值为6千米．

【点睛】解三角形应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

22．在中，角的对边分别为，且.

(1)求A的值；

(2)若，，当的周长最小时，求的值；

(3)若，，且的面积为，求的长度.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由正弦定理化简得到，利用辅助角公式得到，结合角A的范围，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周长最小值及此时的值；（3）由面积公式得到，结合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案.

【详解】(1)由及正弦定理，

得，

因为，且，

所以，即，

因为，所以；

(2)由余弦定理，得，

将代入，整理，得，

因为，所以的周长为，

当且仅当，即时取等号，

所以当的周长最小时，；

(3)由的面积为，得，

所以①，

又，所以，，

由正弦定理，得，②

由①②可得，

因为，所以，

在中，由余弦定理，得，

所以.