2021-2022学年江苏省镇江市扬中高级中学高一下学期3月调研数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江苏省镇江市扬中高级中学高一下学期3月调研数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省镇江市扬中高级中学高一下学期3月调研数学试题一、单选题1．等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两角和的余弦公式结合诱导公式即可得出答案.【详解】==故选：C.2．已知点则与同方向的单位向量为A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.【解析】向量运算及相关概念.3．已知均为单位向量，它们的夹角为，那么A． B． C． D．【答案】A【详解】.所以4．已知平面向量，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量平行列方程，化简求得的值，从而求得.【详解】依题意，所以，即，所以.故选：B5．如图，已知点P是函数图象上的一个最高点，M，N是函数的图象与x轴的两个交点，若，则A的值为（       ）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】由题意可知,而的周期为，从而可求出A的值【详解】解：因为，所以，因为P是函数图象上的一个最高点，M，N是函数的图象与x轴的两个交点，所以为等腰直角三角形，所以，因为的周期为，所以，故选：B6．在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（       ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】注意到，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到，进而得到结论.【详解】 ∴BA⊥AC,∴△ABC为直角三角形，       故选：7．已知，且α为锐角，则cosα＝（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由α为锐角，得到α﹣的范围，求得cos（），再由α＝（）+，运用两角和的余弦公式求解.【详解】因为，且α为锐角，则﹣＜＜，即cos（）＝＝，则cosα＝cos[（）+]＝cos（）cos﹣sin（）sin＝（﹣）＝.故选：C.8．的外接圆的圆心为，若，且，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知条件化简得，由此判断出三角形的形状，从而求得.【详解】，，所以，所以是的中点，由于是的外接圆的圆心，所以是圆的直径，则.所以.故选：A二、多选题9．下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（       ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据正弦函数和余弦函数的图象及性质逐项判断.【详解】∵ ，∴函数为偶函数，又时，，且函数在时为减函数，∴ 函数在上单调递增，A对，∵ ，∴函数为偶函数，当时，，函数在上单调递增，∴ 函数在上单调递增，B对，∵ ，∴ 函数在上单调递减，C错，∵ ，∴ 函数为奇函数，∴ D错，故选：AB.10．对于任意的平面向量下列说法错误的是（       ）A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】ACD【分析】对于A，注意；对于B，根据平面向量数乘的分配律即可判断；对于C，若和，都垂直即可判断；对于D，根据数量积定义即可判断．【详解】对于A，，命题不成立；对于B，这是平面向量数乘的分配律，显然成立；对于C，若和，都垂直，显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立；对于D，与分别是一个和，共线的向量，显然命题不一定成立．故选：ACD．11．已知向量，将绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到的位置，则（       ）.A． B．C． D．点坐标为【答案】ABC【分析】根据向量的夹角判断A，再由全等三角形可判断B，根据向量的数量积的定义判断C，根据向量的模相等判断D.【详解】因为绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到，所以与的夹角为，故，A选项正确；由题意知，,所以，即，故B正确；因为,,所以由数量积的定义知，故C正确；若点坐标为，则，故D不正确.故选：ABC12．已知函数，则下列说法正确的是（     ）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．若，则函数的最大值为1D．若【答案】ABC【分析】化简的解析式，根据三角函数的最小正周期、对称中心、最值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，A，的最小正周期为，A选项正确.B，，所以函数的图象关于点对称，B选项正确.C，，，所以C选项正确.D，，所以在区间上不是单调函数，D选项错误.故选：ABC三、填空题13．△ABC中，点M是边BC的中点，，，则_____.【答案】【分析】由点M是边BC的中点，得到（），又，再用数量积公式求解.【详解】因为点M是边BC的中点，所以（），又因为，所以（）（）（），故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量的表示及数量积运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．______.【答案】【分析】结合两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】.故答案为：15．在△ABC中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，，则的最小值为___________.【答案】3【分析】先利用条件找到，然后对减元，化为，利用基本不等式求最小值.【详解】，，，三点共线，.则当且仅当，即时等号成立.故答案为：3.【点睛】（1）在向量运算中:①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算；（2）基本不等式求最值要注意应用条件：“一正二定三相等”.四、双空题16．已知方向相同的单位向量，且向量在向量方向上的投影向量为.（1）的夹角______；（2）若向量与向量所成角为钝角，则的取值范围是_______【答案】          【分析】由投影向量的概念计算；由数量积的定义与运算求解【详解】向量方向上的投影向量为，得，故向量与向量所成角为钝角则且与不共线得，又故的取值范围是故答案为：，五、解答题17．已知平面向量，，.（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）的值为或；（2）或.【分析】（1）根据向量垂直，数量积为0，得到一个关于的方程，解此方程，即可得解；（2）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标公式，可求出的值，进而得到，利用向量模的坐标运算即可得解.【详解】（1），则，即，解得或.所以，的值为或.（2）若，则，即，解得或，当时，，，，，当时，，，，.故或.【点睛】本题考查的是向量的坐标运算和向量的模，意在考查学生的计算能力，属于基础题.求向量的模的方法：（1）利用坐标进行求解，，则；（2）利用性质进行求解，，结合向量数量积进行求解.18．已知均为锐角.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得，然后求得.（2）先求得，然后利用两角差的余弦公式求得.【详解】(1)，且为锐角，，即.(2)，且均为锐角，，即，则.19．在①将函数图象向右平移个单位使得图象关于轴对称；②函数是奇函数；③当时，函数取得最大值.三个中任取一个，补充在题中的横线处，然后解得问题.题干：已知函数，其中，其图象相邻的对称中心之间的距离为，              .(1)求函数的解析式及单调递增区间；(2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)条件选择见解析，，单调递增区间为(2)【分析】（1）先求得，然后选择条件①或②或③，都可求得，从而求得的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间.（2）求得在区间上的值域，然后化简不等式，根据不等式恒成立求得的取值范围.【详解】(1)依题意，函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，所以.所以.若选①：函数图象向右平移个单位，得到，其图象关于轴对称，所以,由于，所以令得，.若选②：，为奇函数，所以，由于，所以令得，.若选③:,，由于，所以令得，.，，所以的单调递增区间为.(2)，，，，依题意不等式在区间上恒成立，恒成立，所以，所以的取值范围是.20．在平面直角坐标系中，设向量(1)若，求的值；(2)设的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算，求得数量积，再根据平方之后，结合两角差的三角函数化简即可得答案．（2）根据向量加法的坐标表示，求得的坐标，利用向量平行得坐标表示，转化求解角的大小即可．【详解】(1)因为，，，所以，且， 因为，所以，即，所以，即．(2)因为，所以．故，，因为，所以，化简得，，所以，因为，所以,所以.21．在直角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且满足(1)求的值；(2)若为线段上的任意一点，若，①用向量表示向量；②求证：为定值；(3)若为线段上任意一点，求的最小值.【答案】(1)(2)①；②证明见解析(3)【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求得. （2）①利用向量的坐标运算，用向量表示出向量.②利用向量的坐标运算求得为定值.（3）设，计算出的表达式，结合二次函数的性质求得的最小值.【详解】(1)依题意可知，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系.则，则，由于，所以，所以，设，则，由于，所以，所以，所以.(2)①，，设，则，所以.②，为定值.(3)由于，故可设 ，，，当时，的最小值为.22．已知函数部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位，再把得到的函数图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数的图象.①求证：方程上有且只有一个解；②若，求证：.【答案】(1)(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）通过观察图像的周期与最值即可得到答案（2）先写出的图像，再根据题目给出的限定条件给予证明【详解】(1)由图可知，周期所以又当时，，即(2)①由题意知，在上，，，故两图像无交点在时，令因为，所以，故所以在上为减函数，又因为所以在有且仅有一个零点即方程在上有且只有一个解在上，，故两图像无交点综上方程上有且只有一个解②所以在上单调递增由①知所以