2021-2022学年辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求的补集，然后求两个集合的交集，即可得答案.

【详解】依题意，，

所以.

故选：B.

2．设集合，，若，则是的（    ）

A．充分必要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】根据集合的关系及充分条件，必要条件的概念即得.

【详解】因为，，，

所以是的充分非必要条件.

故选：B.

3．设命题p：，．则为（    ）

A．，． B．，．

C．，． D．，．

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得为

，．    

故选：A.

4．小明同学在课外阅读中看到一个趣味数学问题“在64个方格上放米粒：第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，第64个方格放粒米．那么64个方格上一共有多少粒米？”小明想：第1个方格有1粒米，前2个方格共有3粒米，前3个方格共有7粒米，前4个方格共有15粒米，前5个方格共有31粒米，……．小明又发现，，，，，，……．小明又查到一个数据：粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是平方米，，．依据以上信息，请你帮小明估算，64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为（    ）

A．0.0012米 B．0.012米 C．0.12米 D．1.2米

【答案】C

【分析】由题意知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列求和公式可得

64个方格上一共有粒米，设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为，可得，两边取对数计算可得答案.

【详解】第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，可知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，

那么64个方格上一共有粒米，

设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为，

因为粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是平方米，

所以，

可得，

用近似替代，

所以

，即，可得，又，

故64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为（米）.

故选：C.

5．下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】D

【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质逐项分析即得.

【详解】因为函数的值域为，函数的值域为R，故A不合题意；

因为函数的值域为，函数的值域为，故B不合题意；

因为函数的值域为，函数的值域为R，故C不合题意；

因为函数的值域为，函数的值域为，故D正确.

故选：D.

6．已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，则当时，（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性求解的解析式.

【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，

当时，，

所以，

故选：C

7．函数的图像简图可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题可得可排除AB，然后根据时函数值的范围可排除C.

【详解】因为，

所以，故排除AB；

当时，，故排除C.

故选：D.

8．已知函数有4个零点，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将函数零点问题转化为曲线与直线的交点问题，如图分析临界直线，可得的取值范围.

【详解】,即，函数表示恒过点的直线，如图画出函数，以及的图象，

如图，有两个临界值，一个是直线过点，此时直线的斜率，另一个临界值是直线与相切时，联立方程得，，解得：，或，

当时，切点是如图，满足条件，当时，切点是不成立，所以，

如图，曲线与直线有4个交点时，的取值范围是.

故选：B

二、多选题

9．函数，，，在区间上（    ）

A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢

C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度

【答案】ABC

【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.

【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间上，

递减速度越来越慢，故A正确；

递减速度越来越慢，故B正确；

递减速度越来越慢，故C正确；

的递减速度慢于递减速度，故D错误.

故选：ABC.

10．已知且，则（    ）

A．的取值范围是 B．的取值范围是

C．ab的取值范围是 D．的取值范围是

【答案】ABC

【分析】根据不等式的性质逐项分析即得.

【详解】因为且，，

所以，，故AB正确；

当时，，又，所以，故；

当时，又，所以；当时，；

综上，且，可得，故C正确；

当时，，又，所以，故；

当时，又，所以；当时，；

综上，且，可得，故D错误.

故选：ABC.

11．函数，则（    ）

A．的定义域为R B．的值域为R

C．是偶函数 D．在区间上是增函数

【答案】ACD

【分析】由题可得函数的定义域判断A，根据基本不等式及对数函数的性质可得函数的值域判断B，根据奇偶性的定义可判断C，根据指数函数，对勾函数及对数函数的性质可判断D.

【详解】因为函数，

所以函数的定义域为R，故A正确；

因为，

又，当且仅当，即取等号，所以，故B错误；

因为，所以是偶函数，故C正确；

因为函数在上单调递增，且，根据对勾函数的性质可知在上单调递增，

又函数为增函数，故函数在区间上是增函数，故D正确.

故选：ACD.

12．若定义在R上的函数满足：

（ⅰ）存在，使得；

（ⅱ）存在，使得；

（ⅲ）任意恒有．

则下列关于函数的叙述中正确的是（    ）

A．任意恒有 B．函数是偶函数

C．函数在区间上是减函数 D．函数最大值是1，最小值是-1

【答案】ABD

【分析】A选项，赋值法得到，从而得到；

B选项，令得到，再令得到，B正确；

C选项，可举出反例；

D选项，令得到，令，则，由，得到，故可得，求出函数最大值是1，最小值是-1.

【详解】令得，故，

上式中，用代替得：，即，

从而，故，A正确；

，令得：

，即，

∵，不恒为0，

∴，

令，得，即，

又的定义域为R，定义域关于原点对称，

所以为偶函数，B正确；

不妨令，满足

，

故，

此时存在，使得，且存在，使得；

但函数在区间上不单调，C错误；

令得：，即，所以，

令，则，

因为，所以，

因为，所以，

故函数最大值是1，最小值是-1.

故选：ABD

三、填空题

13．______．

【答案】

【分析】根据对数运算求解即可.

【详解】解：

故答案为：

14．设，，则______．

【答案】

【分析】利用换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可.

【详解】∵，，

∴，，

∴．

故答案为：.

15．设方程的解为，，方程的解为，，则______．

【答案】10

【分析】在同一坐标系下做出函数、，的图象，设，根据函数与的图象关于对称得点与点、点与点都关于对称，求出的交点坐标再根据中点坐标公式计算可得答案.

【详解】由方程得，由方程得，

在同一坐标系下做出函数、，的图象，

不妨设，如下图，

因为函数与的图象关于对称，即点与点、点与点都关于对称，

由解得，即两直线的交点为，则，

则.

故答案为：.

16．如果函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据的正负，考虑和两种情况，根据双勾函数的单调性得到，解不等式得到答案.

【详解】，设，

当时，，单调递增，单调递增，故函数单调递增，不成立；

当时，，单调递增，

故在上单调递减，故，

解得，故.

综上所述：.

故答案为：

四、解答题

17．设,，集合，求．

【答案】

【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．

【详解】解：根据题意，集合，

又，

，即，

，

；

故，，

则，

故答案为：

【点睛】本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．

18．（1）设（且），证明：；

（2）设，证明：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）结合均值不等式及幂运算即可证明；

（2）结合（1）中得，结合均值不等式可得，即可证.

【详解】（1）证明：；

（2）证明：由（1）得：，

因为，

所以，

故．

19．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．

(1)试确定的值，并解释其实际意义；

(2)设，其中c是正的常数．现有A（A>0）个单位量的水，计划把水分成2份后清洗两次，设第一次清洗用水m（）个单位量，第二次清洗用水个单位量，试问m为何值时清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由．

【答案】(1)，答案见解析；

(2)当时清洗后蔬菜上残留的农药量最少，理由见解析.

【分析】（1）根据实际意义结合条件即得；

（2）由题可得两次清洗后蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比，然后利用基本不等式即得.

【详解】（1）由题意可规定，

表示的是未用清水冲洗蔬菜时，蔬菜上残留的农药量没有变化：

（2）两次清洗后蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比为：

，其中,

因为，

当且仅当时，即时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立．

所以，当时清洗后蔬菜上残留的农药量最少．

20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数．

(1)如果过滤5h消除了废气中20%的污染物，求：过滤15h后，废气中还剩百分之几的污染物；

(2)如果过滤5h消除了废气中的污染物，那么需要过滤多少时间，废气中的污染物减少50%？（用M表示）

【答案】(1)还剩51.2%的污染物；

(2)．（或）

【分析】（1）由题可得，然后可得时污染物含量，即得；

（2）根据条件表示出，然后利用函数关系式进而即得.

【详解】（1）因为过滤5h消除了废气中20%的污染物，

所以，即，

所以当时，，

即过滤15h后，废气中还剩51.2%的污染物：

（2）由题意得，即，

所以，，

从而，，

即，．（或）

21．已知函数是函数（且）的反函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)设．

（i）写出函数的单调区间，并指明单调性；（无需证明）

（ⅱ）求在区间（其中且）上的的最小值和最大值．

【答案】(1)

(2)（i）函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；（ⅱ），，

【分析】（1）首先设函数，代入，即可求解；

（2）（ⅰ）首先去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数的解析式，直接判断函数的单调区间；

（ⅱ）根据函数的单调性，讨论的取值，分别求函数的最值.

【详解】（1）由题意得，且，所以，从而．

（2）

（i）函数在区间上是减函数，在区间上是增函数．

（ⅱ）当时，即时，，

．

当时，，．

当时，即时，，

当时，；

当时，；

综上，，.

22．已知函数同时满足下列三个条件：

（i）函数的定义域是R：

（ⅱ）函数是奇函数；

（ⅲ）函数的最大值是1．

求的解析式．

【答案】或．

【分析】由题可知，然后根据奇函数可得，结合条件可得恒成立，且等号成立，进而即得.

【详解】由题意可知函数是定义在R上的奇函数，

所以，即，

又，

所以，

所以，

即恒成立；

所以，可得或，

当时，，不合题意，

所以，，

由题知当时，，即恒成立，且等号成立，

即当时，恒成立，且等号成立；

所以，，

解得：或，

从而，或，经检验，符合题意；

故或．