2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．已知，条件：，条件：，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分性、必要性的定义，结合对数的运算性质和对数函数的性质进行判断即可.【详解】若，则有，因此有，故；反之，若，当其中有负数时，不成立，故是的必要不充分条件.故选：B2．“对任意的，都有”的否定形式为（    ）A．对任意的，都有 B．存在，使得C．存在，使得 D．不存在，都有【答案】C【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，将任意改为存在，并否定结论即可得到答案.【详解】“对任意的，都有”的否定形式为“存在，使得”.故选：C.3．已知集合M、P都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题的是（    ）A． B．M中至多有一个元素不属于PC．P中有不属于M的元素 D．M中有不属于P的元素【答案】D【分析】命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题,则命题的否定是真命题，即可得出结论.【详解】因为命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则命题的否定“存在M中的元素，不是P中的元素”是真命题,即M中有不属于P的元素.故选D【点睛】本题主要考查了命题与命题的否定，命题真假的判断，属于中档题.4．定义在R上的偶函数满足，且当时，则等于（    ）A．10 B．－10 C． D．【答案】C【分析】由可以得出的一个周期，然后利用周期性和奇偶性，以及题目条件将化成在的一个函数值，代入解析式，即可求出结果.【详解】因为，所以，即的一个周期为6.所以，又因为为偶函数，所以，所以.故选：C. 二、填空题5．已知全集，集合，则___________．【答案】【详解】因为，所以 6．不等式的解集是____________．【答案】【详解】解：或7．函数定义域是__________.【答案】【分析】根据函数的解析式，结合对数函数性质，解不等式可得答案.【详解】由题意函数可知：，即 ，故函数定义域是，故答案为：.8．已知集合，试用列举法表示__________.【答案】【分析】根据集合表示点集，直接求集合的交集即可.【详解】解：，则，解得或或，所以.故答案为：.9．己知幂函数为奇函数，则实数a的值为__________.【答案】1【分析】由幂函数的定义解得a的值，再代入检验是否符合奇函数可得结果.【详解】∵为幂函数，∴，解得：或，当时，，设则∴在R上为偶函数，所以不符合题意；当时，，设则∴在R上为奇函数，所以符合题意.综述：.故答案为：1.10．设函数在上是减函数，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】根据单调性可得满足的不等式，从而可求实数的取值范围.【详解】因为在上是减函数，故，所以故答案为：.11．函数的值域为___________.【答案】【解析】变形利用指数函数与反比例函数的单调性即可得出．【详解】，，，，，函数的值域为，故答案为：．【点睛】本题考查指数函数与反比例函数的单调性、函数的值域、不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数则使得该函数值大于0的的取值范围是__________.【答案】【分析】根据题意得，，进而根据二次函数的单调性，可求解.【详解】设，即且，解得，当且，解得，故时，故答案为：13．定义：满足不等式的实数x的集合称作的邻域，若的邻域是一个关于原点对称的区间，则的最小值为__________.【答案】##4.5【分析】先根据邻域的定义列出不等式，将绝对值不等式解出，再根据邻域是一个关于原点对称的区间求出的值，然后根据基本不等式即可得到答案.【详解】根据题意可得，解得，又因为的邻域是一个关于原点对称的区间，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：.14．已知函数，关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为___________【答案】【分析】利用函数的单调性可以判断出函数的单调性,运用奇偶函数的定义可以判断出函数的奇偶性,利用函数的奇偶性可以化简不等式,最后利用函数的单调性,得到关于的不等式,对不等式进行常变量分离,构造函数,应用二次函数的性质求出函数的最大值,最后确定实数的取值范围.【详解】由函数的单调性的性质可知：函数是整个实数集上的增函数.又因为,所以函数是奇函数,于是有,而函数是整个实数集上的增函数,所以有,由题意可知：不等式在区间上有解.,令,所以有,所以当时,函数有最大值,最大值为,要想不等式在区间上有解,只需.故答案为【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性的应用,考查了不等式在闭区间上有解问题,常变量分离,构造函数是常用的解题方法.15．已知函数，，，对任意都有，且是增函数，则用列举法表示函数的值域是______．【答案】【分析】根据题意，令，由条件求得而，即而由知，，于是得到的值，将其值域用列举法表示即可得答案．【详解】解：根据题意，令，对任意都有，故有，否则，可得，这与矛盾；从而，而由，即得．又由是增函数，则，即，于是得到．又，从而，即．而由知，．于是，则函数的值域；故答案为．根据题意，令，由条件求得而，即而由知，，于是得到的值，将其值域用列举法表示即可得答案．【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的单调性的应用，求出，是解题的关键，属于中档题．16．已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数、都有，则不等式的解集为_________.【答案】【解析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集.【详解】不妨令，则等价于，可得，构造函数，则是上的增函数.因为，所以等价于，即，所以，，即，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），求解即可. 三、解答题17．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．【答案】证明见解析.【分析】假设与都大于或等于2，即，两式相加得出与已知矛盾，可证得原命题成立．【详解】证明：假设与都大于或等于2，即，因为，，故可化为，两式相加，得，与已知矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．【点睛】本题考查反证法的证明，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．18．已知函数的定义域是关于的不等式的解集(1)求以上不等式的解集；(2)求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.【答案】(1)；(2)当或时取到最大值0；当时取到最小值. 【分析】（1）化间不等式为，可得，结合指数函数性质，即可求得答案；（2）化简，利用换元法可得，结合二次函数性质，即可求得答案.【详解】（1）由可得，即，则，即，所以 ，即的解集为.（2）因为，令 ，则 ，当即时，，即取得最小值；当或即或时，，即取得最大值；19．某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率与日产量（万枚）间的关系为： ，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利元，每出现1件次品则亏损15元.(1)将日盈利额y（万元）表示为日常量x（万枚）的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？【答案】(1)(2)日产量应为3万枚 【分析】（1）利用题中的条件可以直接列出函数关系式，利用合格产品数量乘以30，减去次品数量乘以15，即可得到函数关系式；（2）由（1）分析求出每一段函数的最大值，再进行比较，即可得出结果．【详解】（1）当时，，当时，，所以，∴.（2）由（1）知，当时，日盈利为0元，当时，，当且仅当，即x＝3时取等号，所以为使日盈利最大，日产量应为3万枚．20．已知，且，且，又已知函数，其中.(1)设，，判断函数在上的单调性并加以证明；(2)如果实数满足，，判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)设，，且，判断函数是否关于直线对称？如果是，求出的值，如果不是，请说明理由.【答案】(1)增函数；证明见解析(2)当时，为偶函数；当，时为奇函数；当时，为既不是奇函数又不是偶函数.(3)是，. 【分析】（1）先根据指数函数的单调性判断，再利用函数的单调性定义证明即可.（2）利用函数的奇偶性定义即可求解.（3）由函数关于直线对称，则是偶函数，即对任意实数，满足，代入即可求解.【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：任意，且，，是增函数，是减函数，，，即所以函数在上的单调递增.（2）由已知，，于是，则，当时，，为偶函数；当，，为奇函数；当，为既不是奇函数又不是偶函数.（3）函数关于直线对称，且，，且，若函数关于直线对称，则是偶函数，即对任意实数，满足，即，化简得因为对任意成立，则，解得所以函数关于直线对称，且.21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”， 是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）设函数是区间上的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对.【答案】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由见解析；（2）；（3）.【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果；（3）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果.【详解】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由如下：由题题意，，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”；（2）因为函数是区间上的“平均值函数”，所以存在，使，即，即，令，所以在上是增函数，因此，；（3）因为函数是区间的“平均值函数”， 是函数的一个均值点，所以，即，所以，又因为，所以或，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得，所以满足条件的数对只有.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可.