2021-2022学年上海市控江中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市控江中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．若（为虚数单位），则的值可能是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】把代入验证即得．

2．已知向量，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】根据向量垂直以及平面向量的运算律可推出充分条件；举特例可判断必要条件是否成立.

【详解】因为，所以有，即，所以；

若，显然有，此时，显然不成立.

所以，“”是“”的充分非必要条件.

故选：A.

3．已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦型三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】，

由于且在区间上是严格增函数，

所以，

即的取值范围是.

故选：B

4．如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，现在给出下列四个判断：

①到、、、四点的距离之和为定值；

②曲线关于直线对称；

③曲线所围成区域面积必小于36；

④曲线的长度必小于.

上述判断中，错误命题的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】①根据椭圆的定义判断即可；

②利用两个椭圆的对称性判断即可；

③根据图形可得曲线所围区域在边长为6的正方体内部，即可得到面积必小于36；

④联立两个椭圆的方程得到，即可得到曲线在半径为4的圆的内部，长度小于.

【详解】①当点不是交点时，若点在椭圆上，到，的距离之和为定值10，到，两点的距离之和不为定值，故①错；

②两个椭圆关于对称，所以曲线关于对称，故②正确；

③由图可知，曲线所围区域在边长为6的正方体内部，所以面积必小于36，故③正确；

④将两个椭圆的方程相加可得，所以曲线在半径为4的圆的内部，长度小于，故④正确.

故选：A.

二、填空题

5．若，则角______.

【答案】

【分析】解方程，给k赋值与取交集即可得结果.

【详解】∵

∴ ，

又∵

∴

故答案为：.

6．以点为圆心，且过点的圆的方程是______.

【答案】

【分析】求得圆的半径，进而求得圆的方程.

【详解】依题意，圆的半径为，

所以圆的方程为.

故答案为：

7．如果，且是第四象限的角，那么______.

【答案】

【分析】结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得正确答案.

【详解】由于，且是第四象限的角，

所以，

所以.

故答案为：

8．在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是_______________ 千米．

【答案】

【详解】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，

∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°-75°-60°=45°

∴AD=x

∴在Rt△ABD中，AB•sin60°= x

x=" 6" （千米）

答：A、C两点之间的距离为 千米．

故答案为 下由正弦定理求解：

∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°-75°-60°=45°

又相距2千米的A、B两点

∴ ，解得AC=

答：A、C两点之间的距离为 千米．

故答案为

9．已知，则______.

【答案】

【分析】齐次式分子分母同时除以，再代入即可得到答案.

【详解】， ，

.

故答案为：.

10．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据焦点在y轴的椭圆方程的条件，建立关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围

【详解】椭圆化成标准方程形式，得，∵方程表示焦点在轴上的椭圆，∴，解得，得实数的取值范围是.

故答案为：

11．若直线的一个方向向量，则与直线的夹角的余弦值______.

【答案】.

【分析】根据题意可得两直线的倾斜角分别为，，进而可得两直线的夹角为，再由两角和的余弦公式即可求得答案.

【详解】解：因为直线的一个方向向量，

所以直线的斜率，

所以直线的倾斜角为，

又因为直线的斜率，

所以线的倾斜角为，

所以直线与直线的夹角，

所以.

故答案为：.

12．在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，则角的大小是______.

【答案】.

【分析】根据已知条件结合余弦定理求解即可.

【详解】由，得

，

由余弦定理得，

因为，

所以，

故答案为：.

13．已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______.

【答案】

【分析】先求得，进而求得在方向上的数量投影.

【详解】，，

所以在方向上的数量投影为.

故答案为：

14．函数的图象为，现有三个论断：

（1）图象关于直线对称；

（2）函数在区间内是增函数；

（3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象.

以上三个论断中，正确结论的序号为______.

【答案】（1）

【分析】根据三角函数的对称性、单调性、三角函数图象变换等知识求得正确答案.

【详解】（1），，所以（1）正确.

（2），，

根据正弦函数的单调性可知，在区间内不是增函数.

所以（2）错误.

（3）函数的图象向右平移个单位长度得到，

所以（3）错误.

故答案为：（1）

15．定义点对应到点的对应法则：，按照该对应法则，当点在线段上运动时（其中，点，点），点的轨迹方程为______.

【答案】，，

【分析】线段所在的方程为，设，，，将点代入线段方程再确定范围得到答案.

【详解】线段所在的方程为，，

设，则，，，，

，，故，，

在线段上，故，即，，.

故答案为：，，

16．已知为单位圆（注：单位圆指的是半径为1的圆）的一条定弦，为单位圆上的点.当在中任意取值时，关于的函数的最小值记作.分析发现：当点在单位圆上运动时，的最大值为.根据以上信息，可以推导得到线段的长度为______.

【答案】

【分析】设，点在直线上，当时，最小为，当过圆心时，最大，再利用弦长公式计算得到答案.

【详解】设，点在直线上，，

对一个固定的点，当时，最小为，

当点在单位圆上运动时，过圆心时，最大值为，

此时.

故答案为：

三、解答题

17．已知向量，且，求向量的坐标.

【答案】

【分析】设出向量的坐标，根据已知条件列方程组，由此求得正确答案.

【详解】设，则，

由于，

所以，解得，

所以.

18．.

(1)将函数化为的形式，并写出其最小正周期；

(2)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)，最小正周期

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，并求得最小正周期.

（2）根据三角函数值域的求法，求得函数在区间上的值域.

【详解】（1）

.

所以的最小正周期.

（2）由于，

所以，

所以在区间上的值域为.

19．已知复数，设复数分别对应复平面上的点.定义复数.

(1)若，求；

(2)当点在线段上运动时，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】对于（1），由共轭复数定义及复数四则运算法则可得答案.

对于（2），由点C坐标得表达式，继而结合C横坐标范围及函数知识得最大值.

【详解】（1）因，

则，.

又，

则.

（2）由题，则线段AB方程为：，即，其中.

由题，设，则，，其中.

则

故，得为实数.

则=，又，

则

又令，其中.

因，，.

则，使.

且在上单调递增，在上单调递减.

故.

【点睛】关键点点睛：本题涉及复数运算，复数的几何意义及求复数的模.（1）问较为基础，（2）问计算量较大，需注意计算表达式时，不要先代入.

20．已知，圆.

(1)若圆与圆外切，求实数的值；

(2)当在中任意取值时，求圆心的轨迹方程；

(3)是否存在定直线，使得：动圆截直线所得的弦长恒为?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【答案】(1)或

(2)

(3)存在，且的方程为或.

【分析】（1）根据两圆外切列方程，化简求得的值.

（2）求得的坐标并消去参数，从而求得的轨迹方程.

（3）求得圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案.

【详解】（1）圆

，

，

所以圆的圆心为，半径.

圆的圆心为，半径为，

由于圆与圆外切，所以，

解得或.

（2）由（1）得，即，

消去得，所以圆心的轨迹方程为.

（3）设直线交圆于两点，设到直线的距离为，

则，假设存在符合题意的定直线，

则，

即圆心与直线的距离恒为，

而圆心的轨迹方程为，

所以可设直线的方程为，且，

解得或，

所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或.

21．椭圆：过点，且右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．

（1）求椭圆的方程；

（2）如果直线的斜率等于，求出的值；

（3）探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）2.

【分析】（1）根据椭圆过点，且右焦点为，得到求解.

（2）设直线的方程为,联立，然后利用韦达定理和斜率公式求解.

（3）分直线AB的斜率不存在和直线AB的斜率存在讨论，当直线AB的斜率不存在时求得A，B的坐标，利用斜率公式求解；当直线AB的斜率存在时，设，联立 ，然后利用韦达定理和斜率公式求解.

【详解】（1）因为椭圆：过点，且右焦点为，

所以，

所以 ，

所以椭圆的方程是；

（2）设直线的方程为，，

由得，

由根与系数的关系得，

所以，

，

．

（3）当直线AB的斜率不存在时，，

则，

当直线AB的斜率存在时，设，，

由得，

由根与系数的关系得，

所以，

．

.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．