2022-2023学年安徽省省十联考（合肥八中等）高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省省十联考（合肥八中等）高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合或，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出A的补集，然后再利用并集的运算规则求解.

【详解】解：由题意得：

.

故选：D.

2．若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：

满足g(f(x))＝1的x值是（     ）．A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】从外到内逐步求值．

【详解】解：∵g(f(x))＝1，

∴f(x)＝2，

∴x＝1，

故选：A．

【点睛】本题主要考查函数的表示法——列表法，属于基础题．

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.

【详解】依题意，，

解得且，

所以函数的定义域为.

故选：C

4．下列命题正确的是（    ）

A．1是最小的自然数 B．每个正方形都有4条对称轴

C．， D．，使

【答案】B

【分析】对各个选项一一判断即可.

【详解】对于A,最小的自然数是0,所以A错误;

对于B,正方形的对称轴为对边中点的连线以及对角线,共有四条,所以B正确;

对于C,当时,,所以C错误;

对于D, ，都有,所以D错误.

故选:B.

5．若偶函数在上是减函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小即可.

【详解】解：为偶函数，

在上是减函数，，

即．

故选：B．

6．对于给定实数，不等式的解集不可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分类讨论的值，解不等式，即可得答案.

【详解】由，分类讨论如下：

①当时，原式；

②当时,原式

⑴当时，原式；

⑵当时，原式

i当时，，解得或；

ii当时，解得；

iii当时，，解得或．

由上可知，不等式解集不可能为R.

故选：D

7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用换元求出的值域，进而求得的值域.

【详解】令 ，

则，

由二次函数的图像和性质可知，当时，

，

所以.

故选：C.

8．已知是上的奇函数，且当时，，若，则（    ）

A．1 B．－2 C．－1 D．2

【答案】A

【分析】根据奇函数的性质，由题意，建立方程，可得答案.

【详解】由是上的奇函数，则，且，

由，则，解得，

.

故选：A.

二、多选题

9．已知集合，.若，则实数的值为（    ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】BD

【分析】由集合间的关系与运算，结合集合元素的互异性求解.

【详解】∵，∴．

∵，∴且

∵，

∴或

①当时，，满足题意；

②当时，解得或，

若，集合与均不满足集合元素的互异性；

若时，，满足题意；

综上所述，或.

故选：BD.

10．给出下列四个选项，其中能成为的必要条件的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据不等式的性质和充分、必要条件逐项进行检验即可求解.

【详解】对于A选项，若，则，不能推出，所以不是的必要条件，选项A不正确；

对于B选项，由，能推出，所以是的必要条件，故选项B正确；

对于C选项，由，能推出，所以是的必要条件，故选项C正确；

对于D选项，在上单调递减，若，则，所以是的必要条件，故选项D正确．

故选：BCD．

11．如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”.下列函数是“交汇函数”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】分别求出各函数的定义域和值域即可判断.

【详解】由交汇函数定义可知交汇函数表示函数定义域与值域交集为．

对于选项A：的定义域，值域，则，A正确；

对于选项B：的定义域，令，则，值域，则，B正确；

对于选项C：，∵，∴，∴，定义域，值域，则，C错误；

对于选项D：的定义域，，∵，∴，则，∴，值域，则，D错误.

故选：AB．

12．已知，是正实数，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则有最小值2 B．若，则

C．若，则有最大值 D．

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式，求各表达式的最值，由此判断各选项.

【详解】对于A，，，，

，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；

对于B，，，，，

当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；

对于C，，，，

，

当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；

对于D， ，当且仅当时等号成立，即，时等号成立，故D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．命题“，”的否定是_________．

【答案】，

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】解：因为命题“，”为全称量词命题，

所以该命题的否定为“，”．

故答案为：，

14．已知，则_________．

【答案】（且）

【分析】使用换元法求解，在换元时，需注意定义域.

【详解】由，

令，（且，且），

则，（且），

∴（且）,

∴（且）.

故答案为：（且）.

15．函数的最大值为_________．

【答案】－1

【分析】函数解析式变形后，利用基本不等式求最值即可.

【详解】，

当时，，，则，当且仅当时等号成立，

故函数的最大值为－1．

故答案为：－1．

16．已知函数，若函数在上不是增函数，则实数的一个取值为_________．（写出满足题意的一个的值即可）

【答案】（答案不唯一，满足或即可）

【分析】作出两个函数的图象，结合图象求出函数在上不是增函数时，的范围，即可得出答案.

【详解】解：和的图象如图所示：

∴当或时，有部分函数值比的函数值小，

故当或时，函数在上不是增函数，

所以实数的一个取值为.

故答案为：.（答案不唯一，满足或即可）

四、解答题

17．已知全集，集合，集合．

(1)求集合及；

(2)若集合，且，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）解不等式得到集合，然后利用交集、并集和补集的定义计算即可；

（2）根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可.

【详解】（1）由，得，或，所以，则，

由，所以，．

（2）因为，

所以，解得．

所以的取值范围是．

18．已知函数和，设．

(1)若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由；

(2)求的值域．

【答案】(1)和不是同一函数；理由见解析

(2)

【分析】（1）根据同一函数概念即可判断和不是同一函数；

（2）利用换元法求解值域即可.

【详解】（1）和不是同一函数，

．

∵的定义域为，的定义域为，

∴的定义域为与的定义域的交集，即．

∴，．

虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域为，后者定义域为．

所以和不是同一函数．

（2），．

令，则，

所以原式转化为，

其值域为．

故的值域为．

19．设：实数满足，：实数满足．

(1)若，求同时满足，的实数的取值范围；

(2)若“存在同时满足，”为假命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入条件p，解出x的取值范围，因为x要同时满足条件p，q，所以解不等式组求交集；

（2）对a的取值分类讨论解含参数的不等式，根据“存在同时满足，”为假命题，求出参数a的范围.

【详解】（1）当时，，即，

解得，则：．

：实数满足，化为，

解得，即．

要同时满足，，则，解得．

所以实数的取值范围是．

（2）由，得或．

因为“存在同时满足，”为假命题，所以，所表示的范围无公共部分．

当时，：，：，满足题意；

当时，：，：，则或，解得或；

当时，：，：，满足题意．

综上，实数的取值范围是．

20．设函数，．

(1)当时，，求的取值范围；

(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据可得，将代入，按照一元二次不等式求解即可；

（2）根剧含参不等式恒成立参变分离，结合基本不等式求解即可得的取值范围．

【详解】（1）解：由，得，

即，

当时，，解得，或．

所以的取值范围是．

（2）解：，

因为，所以，可化为，即．

因为（当且仅当，即时等号成立），

所以．

所以的取值范围为．

21．已知函数为奇函数．

(1)当时，判断的单调性并证明；

(2)解不等式．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）由奇函数的定义求出，然后判断函数的单调性并用单调性的定义证明即可；

（2）利用函数的单调性的性质求解不等式即可．

【详解】（1）的定义域为，

因为为奇函数，所以对于，都有成立．

，

则，整理，得，上式对恒成立，

故，．

在上为增函数，证明如下：

设，且，

，

因为，所以，，，

所以，即，可得，

所以在上单调递增．

（2），即．

因为，，且函数在上单调递增，

所以，解得，

所以的解集是．

22．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车厅处于满厅状态，满厅人数5320人，当时，候车人数相对于满厅状态时会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为4120人，记候车厅候车人数为．

(1)求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；

(2)若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少？

【答案】(1)；4360人

(2)时，需要提供的矿泉水瓶数最少

【分析】（1）根据题意求得的值，将的表达式写成分段函数的形式，然后即可得到的值.

（2）由题意得到的表达式，然后结合基本不等式即可求得最值.

【详解】（1）当时，设，，解得．

所以．

，

故当天中午12点时，候车厅候车人数为4360人．

（2），

①当时，，当且仅当时等号成立；

②当时，；

又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少．