2022-2023学年北京市丰台区第十二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市丰台区第十二中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，下列关系式中成立的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系直接判断即可.

【详解】根据元素与集合、集合与集合的关系可得ABC错误，

因为，所以，故D正确.

故选:D.

2．命题“，使得的否定是（    ）

A．，均有 B．，均有

C．，使得 D．，使得

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定理解判断.

【详解】命题“，使得的否定是“，均有”.

故选：A.

3．在下列函数中，与表示同一函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简解析式否定选项A；化简解析式否定选项B；化简解析式可知选项C正确；化简解析式否定选项D.

【详解】选项A：.与不表示同一函数；

选项B：.与不表示同一函数；

选项C：.与表示同一函数；

选项D：.与不表示同一函数.

故选：C

4．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将不等式转化为一元二次不等式，解之即可求得原不等式的解集.

【详解】由，可得

则，方程有二根或

则的解集为

则不等式的解集为

故选：B

5．如果a､b､，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】根据不等式的性质判断即可．

【详解】解：对于A，若,不成立，错误

对于B，因为在分母位置，即，两边同乘，得到，正确

对于C，，满足，无意义，错误

对于D， ，满足若，，不成立，错误

故选：B

6．下列结论正确的是（    ）

A．当时， B．当时，的最小值是

C．当时， D．当时，的最小值为1

【答案】C

【分析】由基本不等式对选项逐一判断，

【详解】对于A，当时，，故A错误，

对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误，

对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确，

对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误，

故选：C

7．若“”是“”的一个必要不充分条件，则实数m的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别不等式，根据“”是“”的一个必要不充分条件，列不等式即可得出．

【详解】解：不等式整理得，解得

则“”是“”一个必要不充分条件，所以.

故选：B.

8．已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，得到，且函数在上单调递减，作出函数的图象，把不等式转化为，或，结合图象，即可求解.

【详解】因为奇函数在上单调递减，且，

所以，且函数在上单调递减，

则函数的对应的图象大致如图所示，

不等式等价于：

或，

结合图象解得或，

综上可得，不等式的解集为.

故选：B.

9．已知集合，集合，且，则实数a的取值集合为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】解出集合、，由可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值.

【详解】由题意知集合，

对于方程，解得，.

因为.

①当时，即时，成立；

②当时，即当时，因为，则，解得.

综上所述，的取值集合为.

故选：A.

10．若为减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合分段函数的性质，两段函数在对应定义域上分别单调递减，再控制衔接点处的大小关系，求解即可.

【详解】由题意，在单调递减，即；

在单调递减，函数为开口向上的二次函数，故对称轴，即；

又时，，，故，即；

综上：.

故选：C

11．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

【答案】C

【详解】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．

【解析】函数的图像

12．已知函数和（其中），若存在使得成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】存在使得成立，等价于在上恒成立，分别求出，即可得解.

【详解】解：存在使得成立，

等价于在上恒成立，

由得，，

，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是.

故选：A.

二、填空题

13．函数的定义域是_______．

【答案】

【解析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零可求出函数的定义域

【详解】解：由题意得，，解得，且，

所以函数的定义域为，

故答案为：

14．计算： =____________.

【答案】##

【分析】根据指数幂的运算法则求解即可.

【详解】解：

故答案为：

15．已知函数由下表给出，若，则______.

【答案】2

【分析】函数表示的列表法， 由已知算出，再对照表格得到.

【详解】，则

故答案为：2

16．设，则a，b，c的大小关系是_____．（用“”连接）

【答案】

【分析】构造函数,易得单调递增，即可得到结果.

【详解】

由幂函数在为减函数知在上单调递增，

故，

即.

故答案为：.

17．已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是______________．

【答案】

【分析】将变形为，化简整理得到，进而结合均值不等式得到的最小值为9，从而可以求出结果.

【详解】因为，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为9，

因此，

故答案为：.

18．设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法：

①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数；

②若S只有2个元素，则必有3个元素；

③若S只有2个元素，则可能有4个元素；

④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素．

其中所有正确说法的序号是______________．

【答案】①②

【分析】对于①由条件2知正确；

对于④：设，由条件1推出中元素，再由条件2推出的元素必在中，分析这些元素能得出不同的元素至少有4个，与有3个元素矛盾.

对于②③： ，由条件1得，若中除0外只有一个元素，由求得 ；若中还有另两个元素，，由条件2得出中更多的元素，类似④的推断过程，分析这些元素至少有3个不同，与中只有两个元素矛盾；

【详解】对于①：由条件2知，，，且，所以若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确；

对于④：若有3个元素，不妨设，其中，则，所以，而与为两个互不相等的正数， 与为两个互不相等的负数，故集合中至少有4个元素，与有3个元素矛盾，故④错误.

对于②③：若有2个元素，由①知集合中的2个元素必为相反数，故可设.由条件1得，由于集合中至少有2个元素，故至少还有另外一个元素.

当集合只有2个元素时即，由条件1得，则或，故.

当集合有多于2个元素时，不妨设，则，，由于，所以，又，故集合至少有3个元素，与S中只有两个元素矛盾.

综上，，故②正确，③错误.

故答案为：①②.

【点睛】对于数学中新定义题目要仔细阅读并理解新定义的内涵，并根据新定义对知识进行迁移应用，此题中涉及集合元素个数问题，要充要利用集合元素的互异性通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.

三、解答题

19．设全集是实数集R，，．

(1)当时，求和；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）求得集合，根据集合交并运算求解；

（2）由于，得到集合的关系在求解参数的范围．

【详解】（1），当时，，故，.

（2）由，知，如下图：

故.

即实数的取值范围.

20．为宣传二十大，校宣传部计划设计一块面积为的矩形海报．海报中间区域（图中空白处，记为矩形）讲述党史故事．中间区域四周用宽为的创意花纹进行装饰，设矩形海报与平行的边长度为．

(1)若要求中间区域的一边至少为，且比至多长，求的取值范围；

(2)将中间区域的面积表示为长度的函数，在满足（1）的条件下，求的最大值，并给出此时的值．

【答案】(1)（dm）；

(2).

【分析】（1）根据题意建立不等式组求解即可；

（2）先写出S关于x的解析式，再运用基本不等式计算即可.

【详解】（1）设 ，由题意知：  ，故 ，即，

解得（dm）；

（2）由（1）及题意 ，

当且仅当 ，即 时等号成立，

所以，S的最大值时（ ），此时 ；

综上，x的取值范围是 ，当 时，S取得最大值 .

21．已知函数．

(1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；

(2)若，且时，恒成立，求实数b的取值范围；

(3)若且，解关于x的不等式．

【答案】(1);

(2);

(3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.

【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得到，解之即可得到结果；

（2）原题等价于时，恒成立，进而求出在上的最小值即可得出结果；

（3）首先求出方程的两根，进而根据两根的大小进行分类讨论即可求出结果.

【详解】（1）由题意可得，且和1是关于x的方程的根，即，解得，

（2）由题意知时，恒成立，

即时，恒成立，

又，当且仅当时等号成立，

因此在上的最小值为，

故，所以，

因此实数b的取值范围为，

（3）由题意可得，即

方程的两根为，

当时，即，不等式的解集为，

当时，即，不等式的解集为或，

当时，即，不等式的解集为或，

综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.

22．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求a，b的值；

(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；

(3)求使成立的实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)在，上是增函数；证明见解析

(3)

【分析】（1）根据条件可得，即可得到的值，再根据即可求得的值.

（2）根据定义法证明函数的单调性即可.

（3）结合（1）（2）的结论，根据函数的单调性与奇偶性即可解得不等式.

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即；

又，即，解得；

经检验，时，是定义在上的奇函数．

（2）设，，且，

则；

因为，所以，

所以，所以，所以在上是增函数；

（3）由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，

由，得，

所以，即，解得．

所以实数的取值范围是.

23．设n为正整数，若满足：①；②对于，均有，则称具有性质．对于和，定义集合．

(1)已知，判断和是否具有性质（直接写出结果）；

(2)设，且具有性质，写出一个及相应的；

(3)设和具有性质，那么是否可能为？若可能，写出一组和；若不可能，说明理由．

【答案】(1)具有性质，不满足

(2)，

(3)不存在具有性质的和

【分析】（1）根据性质的定义可得答案；

（2）根据的定义，写出满足条件的，根据的定义，即可求.

（3）利用反证法以及性质的定义推出相互矛盾的结论可得解；

【详解】（1），满足①，，且满足②，均有，所以具有性质，满足①，但是不满足②，所以不满足

（2）根据的定义，写出满足条件的一个，；

（3）假设存在和均具有性质，且，

则，

因为与同奇同偶，所以与同奇同偶，

又因为为奇数，为偶数，

这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立.

综上所述：不存在具有性质的和，满足.