2022-2023学年福建省泉州市第七中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

 2022-2023学年福建省泉州市第七中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用全称量词的命题的否定解答即可.

【详解】解：因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题，

命题“，”是全称量词的命题，

所以其否定是“，”.

故选：C

2．若集合，则下列选项正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系及交集的定义逐一判断即可得解.

【详解】解：因为，

所以，故A错误，B正确；

集合与集合不具有包含关系，故C错误；

，故D错误.

故选：B.

3．已知实数满足，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的性质求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以.

故选：A.

4．设函数，则（    ）

A．6 B．7 C．9 D．10

【答案】B

【分析】根据分段函数的特征，首先把，由，代入即可求解.

【详解】

故选：B

5．若函数是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在上是减函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可．

【详解】解：∵f（x）是偶函数，且函数f（x）在[2，+∞）上是减函数，

∴f（4）＜f（3）＜f（2），

即f（﹣4）＜f（3）＜f（﹣2），

故选：C．

【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．

6．若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案

【详解】解：由图可知，当时，，

取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D，

当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A,

故选：C

7．从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精．

【详解】第次时共倒出了纯酒精升，

第次倒出后容器中含纯酒精为升

第次倒出的纯酒精是升

所以倒出第次时，共倒出了纯酒精

故选：C

8．已知集合，，中恰好有一个整数解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合或，根据中恰好有一个整数解，得到该整数解是-3或5，利用二次函数的零点分布求解.

【详解】因为集合或，，

又中恰好有一个整数解，

所以该整数解是-3或5，令

当整数解是-3时，则 ，即，

所以 ，无解；

当整数解为5时，则 ，即 ，

所以 ，解得，

故选：B

二、多选题

9．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】BD

【解析】（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以.

【详解】A选项：，，但是，A不正确；

B选项：因为成立，则，那么，B正确；

C选项：，但是，C不正确；

D选项：因为，则，又，所以，D正确.

故选：BD

【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目.

10．可以作为“”的一个必要不充分条件可以是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据集合的包含关系判断可得出合适的选项.

【详解】因为，，

，

所以，可以作为“”的一个必要不充分条件可以是或.

故选：AC.

11．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（    ）

A．且 B．

C． D．不等式的解集是

【答案】ABD

【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出的正负以及的关系，由此可判断各选项的对错.

【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，

又因为，所以；

A．，故正确；

B．因为，所以，故正确；

C．因为解集为，所以，故错误；

D．因为即为，即，解得，故正确；

故选：ABD.

12．给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（    ）

A．函数的定义域为R，值域为

B．函数的图象关于直线对称

C．函数是偶函数

D．函数在上单调递增

【答案】ABC

【分析】根据函数的定义，画出函数的图象，根据图象判断即可.

【详解】根据的定义知函数的定义域为，，即，所以，函数的值域为，A正确；

函数的图象如图所示，由图可知的图象关于直线对称，B正确；

由图象知函数是偶函数，C正确；

由图象知D不正确．

故选：ABC．

【点睛】本题的关键在于理解的含义，然后写出函数的解析式，根据解析式作出函数的图象，进而通过图象判断函数的性质.

三、填空题

13．若函数的定义域是，则函数的定义域为_______.

【答案】

【分析】对于函数，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】对于函数，则有，解得，

故函数的定义域为.

故答案为：.

14．已知幂函数是偶函数且在上是减函数，请写出的一个表达式______________．

【答案】(答案不唯一)

【分析】根据幂函数的性质，写出符合要求的解析式即可.

【详解】由幂函数，则，又是偶函数，则为偶数，

由在上递减，即，

∴只需写出一个形如：，且为偶数的函数即可，如.

故答案为：

15．已知，则的最小值为___________．

【答案】##

【分析】构造基本不等式的结构求解即可．

【详解】解：，

当且仅当，即取等号，

故答案为：．

四、双空题

16．已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，使得，则的值为_________，若存在，使得，则的取值范围是_________.

【答案】         

【分析】画出函数图象，结合图象分析，可得．

【详解】所画出函数的图象

有且仅有不相等的三个正数使

由图分析可得

令

则，，

若存在，使得，令，则

为的两根，为的两根

，且

的范围是

故答案为；

【点睛】本题考查分段函数函数图象，数形结合思想，属于一般题．

五、解答题

17．已知集合．

(1)当时，求；

(2)在 ① ；② ；③ ，这三个条件中任选一个，补充到横线处，若            ，求实数的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【答案】(1)

(2)答案见解析．

【分析】（1）先化简集合A、B，再根据补集、交集的运算法则求解即可；

（2）分别根据求解即可．解题时注意对A是否为空集分类讨论．

【详解】（1）解：当时，，

由或，

，

，

．

（2）解：若，则，

当时，即，解得，

此时或，

解得或；

或；

当时，即，显然成立，

综上或；

若，

则，

解得，

的取值范围为

若，

当，即时，显然成立；

当，则，显然无解，

∴ 的取值范围为，

综上．

18．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明．

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析

【分析】（1）利用奇函数的定义可求得的值，由可求得的值，即可得出函数的解析式；

（2）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，

即，可得，，

，解得，故.

（2）解：函数在上为增函数，证明如下：

任取、且，则，，

所以，

，

即，故函数在上为增函数.

19．已知函数是定义在上的偶函数，当时，．现已画出函数在轴右侧的图象，如图所示．

(1)画出函数在轴左侧的图象，根据图象写出函数在上的单调区间；

(2)直接写出在上的解析式，并求在区间的最小值．

【答案】(1)作图见解析，答案见解析

(2)，.

【分析】（1）根据偶函数的性质可作出函数在轴左侧的图象，结合图象可得出函数的增区间和减区间；

（2）根据偶函数的定义可得出函数在上的解析式，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出函数在区间的最小值．

【详解】（1）解：作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数的增区间为、，减区间为、.

（2）解：当时，，

所以，.

当时，即当时，函数在上单调递减，

此时，；

当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

此时，；

当时，函数在上单调递增，此时，.

综上所述，当时，.

20．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．

(1)求出的值并写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；

(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)，

(2)当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．

【分析】（1）由题意可得，由可求出，然后可得的解析式；

（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，然后作比较可得答案.

【详解】（1）由题意可得

当时，所以

解得

所以

（2）当时，，其对称轴为

所以当时取得最大值万元

当时，万元

当且仅当即时等号成立

因为

所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．

21．二次函数满足，且方程有相等的实数根．

(1)求的解析式；

(2)若函数在区间不单调，求实数的取值范围；

(3)是否存在实数使得的定义域和值域分别为和，如果存在求出的值，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在，

【分析】（1）设，根据，求得，由，函数关于对称，再根据方程有相等的实数根，即可求得，即可得解；

（2）根据二次函数的单调性列出不等式即可得解；

（3）先求出函数的值域，从而可求得的范围，再根据函数在的单调性求出值域，从而可得出答案.

【详解】（1）解：设，

由，得，

因为，所以函数关于对称，

即，所以，

又方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根，

则，解得，所以，

所以；

（2）解：函数关于对称，

因为函数在区间不单调，

所以，解得，

所以实数的取值范围为；

（3）解：，

所以函数的值域为，

所以，

所以，则，

所以函数在单调递增，

所以，即，解得，

所以存在，使得的定义域和值域分别为和.

22．已知定义在的函数满足：①对，，；②当时，；③.

(1)求，判断并证明的单调性；

(2)若，使得，对成立，求实数的取值范围；

(3)解关于的不等式.

【答案】(1)，单调递减区间为，无单调递增区间；

(2)；

(3)时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为.

【分析】（1）利用赋值法令，求得；由函数单调性的定义结合作差法即可得到的单调性

（2）利用单调性得到在上的最值，结合不等式的存在性问题得到对，成立；

看成关于的一次函数恒成立问题即可求解；

（3）利用赋值法得到，结合题目的定义对原不等式转换得到，

由单调性得到，利用分类讨论解不等式即可.

【详解】（1）令，得，解得：；

令，即，

则，

因为时，，所以时，，

所以在上的单调递减；

故单调递减区间为，无单调递增区间.

（2）由（1）知，时，单调递减，

又，则时，；

因为，使得，对成立，

所以，则，

即对，成立；

设（），

则对，恒成立，

即解得：或；

故实数的取值范围为.

（3）令，得，

又知，即，所以；

因为，所以，；

不等式等价于，

即；

又因为，所以，

故，则；

因为在上单调递减，所以，

即，

①时，，解得或；

②时，，解得或；

③时，解得；

④时，，解得；

综上所述：

不等式的解集为：

时，解集为；

时，解集为；

时，解集为；

时，解集为.

【点睛】关键点点睛：对含参一元二次不等式进行求解时，要对参数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照二次函数的开口，根的大小进行分类求解的.