2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解出分式不等式的解集，然后根据交集的概念求解出的结果.【详解】因为，所以，所以，所以又因为，所以，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到分式不等式的解法，难度较易.解分式不等式时，先将其转化为整式不等式（注意分母不为零），然后再去求解集.2．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选：B.3．已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，0）∪（0，4） B．（0，4）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．[0，4]【答案】D【分析】由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0，利用判别式法即可求解．【详解】由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0，∴＝a2﹣4×1×a≤0，解得：a∈[0，4]．故选：D．4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域的性质求解即可.【详解】因为函数的定义域是，所以对于可得或，从而函数的定义域是. .故选：A.5．已知，，，则它们的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可.【详解】根据函数在上单调递减，得且，又，故选：B6．幂函数在区间上单调递减，则（    ）A．27 B．9 C． D．【答案】C【分析】根据函数为幂函数得到，解方程并验证单调性得到，带入数据计算得到答案.【详解】是幂函数，故，解得或，当时，，函数在上单调递增，不满足；当时，，函数在上单调递减，满足，故，.故选：C7．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．【详解】因为对任意的，有，所以当时，，所以在上是减函数，又是偶函数，所以，，因为，所以，即．故选：D．8．已知函数，若，则（    ）A．6 B．4 C．2 D．1【答案】C【分析】由已知对进行分类讨论，然后由可建立关于的方程，可求，进而可求．【详解】当时，由可得解得（舍），当a≤0时，由可得5（a−2）＋6＝5a＋6，此时a不存在，当0＜a≤2时，由可得，解得a＝2，则．故选：C．9．函数的图像可能是（    ）A． B． C．D．【答案】D【分析】结合指数函数图像性质，分和两种情况求解即可.【详解】解：当时，，因此时，，当时，，且函数在上单调递增，故ABC均不符合；当 时，，因此时，，且函数在上单调递减，故D符合．故选：D． 二、多选题10．下列命题为真命题的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】ABC【分析】根据不等式的性质依次分析ABC选项，利用特殊值分析D选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，由，得，．所以，故正确；对于B选项，由，得，故正确；对于C选项，由，故正确；对于D选项，当，，，时，满足，，但，故错误.故选：ABC11．下列说法不正确的是（    ）A．函数在定义域内是减函数B．若是奇函数，则一定有C．若定义在R上的函数的值域为，则的值域为D．若函数在上是增函数，则的取值范围是【答案】ABD【分析】由反比例函数的性质可判断A，由奇函数的性质可判断B，整体换元可判断C，由分段函数的单调性可判断D.【详解】对于A，由反比例函数的性质可知，函数在（−∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递减，但是在定义域内不是减函数，故A错误；对于B，若是奇函数，不一定有，例如为奇函数，但在x＝0处无意义，故B错误；对于C，若定义在R上的函数的值域为，对于，令，即，解析式和定义域均与定义在R上的函数相同，故值域也为，故C正确，对于D，若函数在上是增函数，则，解得−3≤a≤−2，故D错误，故选：ABD．12．已知不等式，下列说法正确的是（    ）A．若，则不等式的解集为B．若，则不等式的解集为C．若，则不等式的解集为或D．若，则不等式的解集为【答案】BD【分析】结合的取值范围分类讨论，可求出不等式的解集，即可得到答案．【详解】不等式，整理得，即，若，则，所以不等式的解集为，故选项A错误；若，则，所以不等式的解集为，故选项B正确；若，则，所以不等式的解集为，故选项C错误；若，则，所以不等式的解集为，故选项D正确．故选：BD． 三、填空题13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，______．【答案】【分析】当时，，函数为奇函数得到，代入计算化简即可.【详解】当时，，函数为奇函数，故.故答案为：14．计算： ________.【答案】【分析】结合指数幂的运算性质，计算即可.【详解】由题意，.故答案为：.15．已知奇函数在定义域上单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【分析】将不等式转化为，根据函数的单调性结合函数定义域解不等式得到答案.【详解】函数为奇函数，，即，函数在定义域上单调递减，故，解得.故答案为：.16．已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】结合的值域，可分析得到必为减函数，再根据分段函数整体的图象，数形结合，即得解【详解】由题意，的值域为：要使得：的值域为必为减函数，因此可作出函数图象如图，由图象可知解之得.故答案为： 四、解答题17．集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据补集、并集的知识求得.（2）根据“”是“”的必要不充分条件列不等式，从而求得的取值范围.【详解】（1）当时，，或，所以.（2）由于“”是“”的必要不充分条件，所以，当时，，满足，则当时，，则，解得.综上所述，的取值范围是.18．已知，，均为正实数．(1)求证：；(2)若，求的最小值．【答案】(1)证明见解析.(2) 【分析】（1）直接利用基本不等式即可证明.（2）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式，即可得到结果.【详解】（1）因为，，均为正实数，所以当且仅当时，等号成立.所以（2）因为，则当且仅当时，即时，等号成立.所以的最小值为19．为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（）值的2倍．（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）（1）写出运输总费用元与汽车速度的函数关系，并求汽车的速度为每小时50千米，运输的总费用．（2）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围．（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？【答案】（1）1244元；（2）汽车行驶速度不低于时，不高于；（3）汽车应以每小时60千米的速度行驶．【分析】（1）依题意可得，再将代入计算即可；（2）依题意得到分式不等式，再根据去掉分母，转化为一元二次不等式，解得即可；（3）利用基本不等式即可求出的最小值，求出符合条件的即可．【详解】（1）依题意可得当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：（元）．（2）设汽车行驶的速度为，由题意可得：，化简得.解得，故为使运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度不低于时，不高于．（3）因为，所以，当且仅当即时取“”，即当速度为60千米小时时，运输总费用最小．20．函数，其中．(1)当时，求在区间上的最大值和最小值；(2)若函数在和上单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)在区间上的最大值为8，最小值为0.(2) 【分析】(1)结合已知条件求出的分段函数，然后利用单调性求解即可.(2)结合的单调性即可求解.【详解】（1）由题意，，且，结合上式和二次函数性质可知，在和上单调递增，在上单调递减，故当时，在上单调递减，在上单调递增，从而在区间上的最小值为，因为，，所以在区间上的最大值为.故在区间上的最大值为8，最小值为0.（2）由(1)知，在和上单调递增，在上单调递减，因为函数在和上单调递增，所以，解得，故实数的取值范围为.21．已知为二次函数，满足，（1）求函数的解析式（2）函数，求函数的值域【答案】（1）；（2）【分析】（1）设，利用可得的值，由，利用对应系数相等列方程可得，的值，进而可得的解析式；（2）由和复合而成，求出的范围，再由指数函数的单调性即可求解.【详解】（1）设，因为，由可得：，整理可得：，所以，可得，所以；（2）由，可得，因为是由和复合而成，因为，即，在上单调递减，所以，又因为，所以，所以函数的值域为.22．已知函数在上有意义，且对任意，满足．(1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论；(2)若在上单调递减，且，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，为奇函数，证明见解析.(2)不存在，理由见解析. 【分析】(1)结合已知条件，利用赋值法即可求，利用奇偶性定义即可证明；(2)结合已知条件，利用奇偶性和函数单调性即可求解.【详解】（1）因为对任意，满足，所以令，则，为奇函数，证明如下：不妨令，则，从而，因为函数的定义域为，所以为奇函数.（2）假设存在这样的，使得恒成立，且，因为，所以，从而， 因为在上单调递减，所以在上恒成立，由反比例函数性质可知，在上单调递增，从而，即，这与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的实数，使得恒成立.