2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集、补集的定义求解即可.

【详解】由题意，得，所以

故选：C

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.

故选：C

3．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，恒成立，设(其中e＝2.71828…)，则a，b，c的大小关系为（       ）

A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a

【答案】B

【分析】由于f(x) 关于直线x＝1对称，可以得到f(-1)＝f(3)，因为当x2＞x1＞1时，，所以f(x)在(1，+∞)上单调递减，这样就能对比f(3)、、f(2)的大小，进而得到答案

【详解】解：由题意得，f(x)在(1，+∞)上单调递减，

因为函数图象关于x＝1对称，

所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，

因为f(-1)＝f(3)，且3＞e＞2＞1，

所以f(3)＜f(e)＜f(2)，

所以a＜c＜b．

故选：B．

4．下列各组函数表示相同函数的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】C

【分析】根据相等函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.

【详解】解：对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；

对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.

故选：C

5．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】对于A，取代入判断；对于B，代入判断；对于C、D，根据不等式的性质运算分析判断．

【详解】对于A，若，则，A错误；

对于B，若，取，则，B错误；

对于C， ∵，则，即，C正确；

对于D ，∵，则，∴，D错误；

故选：C．

6．关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别在和的情况下，结合二次函数的性质可构造不等式组求得结果.

【详解】当时，不等式为，满足题意；

当时，由不等式解集为可得：，解得：；

综上所述：的取值范围为.

故选：D.

7．若函数为定义在R上的奇函数,且在内是增函数,又,则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用奇函数的单调性的性质,可以知道函数在上的单调性,结合的值可以知道的值,分类讨论求出的解集.

【详解】奇函数在内是增函数,所以函数在内是增函数,

.

当时,则有,

当时, 则有,所以的解集为

.

故选：D

【点睛】本题考查了利用函数奇偶性和单调性求解不等式解集问题.

8．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】函数性质，奇函数满足，在定义域下单调递减，可以根据函数图像，确定单调性.

【详解】选项A反比例函数，是奇函数，但在定义域下不是单调递减的；选项B“对号”函数奇函数，在递减，在递增，不是单调递减函数;选项C中，，是奇函数，也满足单调递减，所以正确；选项D中，分段函数，是奇函数，但不满足单调递减，因为在衔接处不递减；

故选：C.

二、多选题

9．若，，且，则的可能取值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】CD

【分析】将展开利用基本不等式求得最小值，再结合选项即可得正确选项.

【详解】,

当且仅当即时等号成立，所以，

由选项可知的可能取值为，不可能为，

故选：CD.

10．已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（    ）

A．1 B． C．3 D．2

【答案】AC

【分析】根据幂函数的性质分析可得.

【详解】因为的值域为R，所以，

又因为为奇函数，所以.

故选：AC

11．函数被称为狄利克雷函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】结合的定义、函数的奇偶性、函数值等知识确定正确答案.

【详解】A选项，若，则，所以；

若，则，所以；

所以对于任意，都有，是偶函数，A正确．

因为，，所以，B错误．

因为，所以，又，，所以C正确．

若，则，若，则，所以，D正确．

故选：ACD

12．已知三个集合，，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】由二次函数的定义域、值域判断即可.

【详解】

，

，

故选：ABC

三、填空题

13．已知函数，则的值为_____________．

【答案】8

【分析】利用分段函数求值的方法求解.

【详解】因为，所以，所以.

故答案为：8.

14．若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】由题意知可得，解不等式即可得出答案.

【详解】若不等式成立的充分条件是，

则，

所以，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：.

15．函数的零点有___________个．

【答案】0

【分析】令，判断方程的根的个数，即可得解.

【详解】解：因为，令，即，显然，

所以，则，

所以方程无实数根，则函数无零点，即零点有个；

故答案为：

16．设集合，集合 ，若的子集个数为4，则a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】先求出B集合的具体元素，再根据条件对A集合的a与3比较大小分类讨论即可求解.

【详解】由题意，对于B集合，由 ，又 ， ，

对于A，当 时，即 ，   ，不合题意，舍去；

当 时，即 ，的子集数为 ，所以 只能有2个元素，即 ，   ，即 ；

当 时， 不合题意舍去；

故答案为： .

四、解答题

17．化简求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据根式与指数式的运算规则求解；

（2）根据指数式的运算规则进行求解.

【详解】（1）因为，所以，

而，所以.

（2）.

18．已知函数是定于在[-2，2]上的奇函数，当时，.

(1)当时，且函数的解析式；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用函数的奇偶性性质及可求解；

（2）根据奇偶性和单调性化简不等式解不等式即可.

【详解】（1）解：由题意得：

当时，，

又因为函数是定义在上的奇函数

故，所以

所以函数

当时，且函数的解析式

（2）由函数得解析式可得奇函数在上单调递增

所以即为

所以，解得：

又因为，且

解得：

故a的取值范围.

19．已知函数对任意的都有，且当时，．

(1)判断函数的奇偶性；

(2)证明：函数是定义域上的减函数；

(3)当时，函数是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．

【答案】(1)奇函数；

(2)证明见解析；

(3)有最值，的最大值为4，最小值为.

【分析】（1）对赋值，利用奇偶性的定义进行判断；

（2）利用单调性的定义进行证明；

（3）结合函数单调性进行求解.

【详解】（1）因为任意的都有，所以，即；

令，得，即，

所以为奇函数.

（2）设，则，

，

即，

又当时，，所以，即，

所以为减函数.

（3）由（2）知，当时，函数为减函数，所以的最大值为，最小值为；

因为，，所以；

由可知的最大值为4，最小值为.

20．已知二次函数满足，且．

(1)求的解析式；

(2)设函数在上的最小值为，求的解析式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据待定系数法求解即可.

（2）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：根据题意，设，

所以，

因为，

所以，

所以，解得.

因为，

所以，解得.

所以

（2）解：因为对称轴为：，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

下面分情况讨论：

当时，在上单调递增，

所以，，

当，即时，在上单调递减，

所以，，

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

综上，.

21．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米．容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，请问设计沼气池的长与宽分别为多少时能使总造价最低？最低总造价是多少元？

【答案】长与宽分别为4时，最低总造价是9240元

【分析】设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，则根据题意可得：，再利用基本不等式求最值即可.

【详解】设沼气池的底面长为x米，则宽为，可知池底总造价为：；池壁总造价为：；沼气池盖子的造价为3000元

设沼气池总造价为y元，且，由题可得：

，当且仅当，即时，等号成立.

所以当沼气池的底面是边长为4的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元

22．已知函数．

(1)求的解析式；

(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可；

（2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可.

【详解】（1）解：令，则，

则，

故．

（2）解：由（1）可得．

因为函数和函数均在上单调递增，

所以在上单调递增．

故．

对任意，，不等式恒成立，

即对任意，不等式恒成立，

则解得或．

故的取值范围是．