2022-2023学年广东省深圳市高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市高级中学高一上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳市高级中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（    ）A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}【答案】C【分析】根据集合并集概念求解.【详解】故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2．若幂函数的图象经过点，则的值是（    ）A． B． C． D．25【答案】A【分析】设，由已知条件可得，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.【详解】设，则，可得，故，因此，.故选：A.3．函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数型函数图象过定点的知识求得正确答案.【详解】当时，，所以.故选：A4．新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除．为了做好校园防技工作，某学校决定每天对教室进行消毒，已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y（单位：）与时间t（单位：小时）成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，）．按照规定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进入教室．因此，每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒？（    ）A．30分钟 B．60分钟 C．90分钟 D．120分钟【答案】B【分析】先求出函数的表达式，再令即可求解【详解】由题意可知：，又图象过点，则，解得，所以，当时，令，解得，故每天进行消毒的工作人员应当提前60分钟时间进行教室消毒，故选：B5．“对所有，不等式恒成立”的一个充分不必要条件可以是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式恒成立和构造基本不等式可确定，即可求解.【详解】由不等式恒成立，得恒成立，因为，当且仅当，即时取得等号，所以不等式恒成立，则，因为是的充分不必要条件,故选:D.6．定义在上的函数，如果有，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得函数是上的奇函数且为增函数，然后将不等式化简，求解，即可得到a的取值范围.【详解】因为函数的定义域为关于原点对称，，所以为奇函数，且在单调递增，在单调递增，所以在单调递增，则等价于所以，解得故选:C.7．已知函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】对进行分类讨论，结合直线、抛物线的知识求得的取值范围.【详解】，，过定点，开口向上，对称轴，当时，在递减，在递增，最小值为，根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立.当时，，，所以存在，使成立，当时，在上递增，在递增，即在上递增，所以不存在符合题意的.当时，，在上递增，在上递减，在上递增，根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立.综上所述，的取值范围是.故选：D【点睛】对于含有参数的分段函数的分析，关键在于对参数进行分类讨论，本题中，涉及直线、抛物线，参数与直线的单调性、抛物线的对称轴（单调性）有关，由此可确定分类的标准，从而使分类做到“不重不漏”8．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二、多选题9．设，则下列不等式中成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据不等式的性质判断A,C,D选项，举反例判断B,可得答案.【详解】由，可得，A正确；取，满足，则，B错误；由可得，即有，C正确；由可得，故，D正确，故选：ACD10．下列说法正确的有（    ）A．若，则B．奇函数和偶函数的定义域都为R，则函数为奇函数C．不等式对恒成立，则实数k的取值范围是D．若，使得成立，则实数m的取值范围是【答案】BD【分析】令，求出，即可判断A；利用函数的奇偶性即可判断B；根据带参数的不等式对参数进行分类讨论即可判断C；先进行变量分离，然后根据能成立的条件即可判断D.【详解】对于选项A：令，则，故，故，故A错误；对于选项B：因为，所以，所以函数为奇函数，故B正确；对于选项C：当时，，故对恒成立；当时，对恒成立可知：解得：，综上可知，故实数k的取值范围是，故C错误；对于选项D：，故，故只要，当时，，则，故D正确；故选：BD11．已知，，且，下列结论中正确的是（    ）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最小值是9 D．的最小值是【答案】BC【分析】根据基本不等式即可逐一求解.【详解】由，得，当且仅当时等号成立，故A错误，由于，所以，当且仅当时等号成立，故B正确，，，当且仅当时等号成立，故C正确，，故D错误，故选：BC12．已知函数（，e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（    ）A．方程至多有2个不同的实数根B．方程可能没有实数根C．当时，对，总有成立D．当，方程有3个不同的实数根【答案】AC【分析】画出的图象，对进行分类讨论，结合函数零点、函数单调性等知识确定正确答案.【详解】画出的图象如下图所示，当时，，画出图象如下图所示，由图可知有两个零点；有两个解，且这两个解与不相同，所以由得或，则有个不同的根，D选项错误.对于A选项，由上述分析可知，当时，有两个零点，注意到有一个零点，有一个零点，所以最多有两个零点，A选项正确.对于B选项，有一个零点，有一个零点，所以无论取何值，至少有一个零点，B选项错误.对于C选项，时，，所以当时，的图象如下图所示：由图可知，在上递增，即，总有成立，C选项正确.故选：AC【点睛】对于含有参数的分段函数的图象与性质有关的题目，关键点是先确定分段函数的图象，此时要对参数进行分类讨论，要利用动态思考的方法来进行研究. 三、填空题13．若命题，则p的否定形式为_____________．【答案】【分析】根据全称命题的否定形式，即可得解.【详解】根据全称命题的否定形式，命题的否定为：.故答案为：14．函数的单调递减区间为_____________．【答案】【分析】首先求函数的定义域，求函数的单调区间，再根据复合函数的单调性，求函数的单调性.【详解】，即，解得：，函数的对称轴是，当时，单调递增，当时，单调递减，根据复合函数的单调性可知，的单调递减区间是.故答案为：15．定义在上的函数，当时，．若函数为偶函数，则______．【答案】【分析】根据函数的奇偶性（对称性）求得正确答案.【详解】函数为偶函数，图象关于轴对称，所以关于对称，即，所以.故答案为：16．已知函数（）的最小值为2，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】首先得到，然后根据当时，恒成立分离常数，结合函数的单调性求得的取值范围.【详解】，当时，单调递增，所以当时，恒成立，注意到，所以由得在区间上恒成立，令，当时，，当时，任取，，其中，，，所以，所以在上递增，，所以在区间上，所以，即的取值范围是.故答案为：【点睛】含有参数的分段函数最值有关的问题，可先考虑没有参数的一段函数的最值，然后再结合这个最值考虑含有参数的一段函数，结合分离常数法以及函数值域的求法可求得参数的取值范围. 四、解答题17．已知集合，集合．(1)若，求集合；(2)若集合A是集合B的真子集，求实数a的取值范围．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据已知条件，先求出集合，再结合并集的定义，即可求解.（2）先求出集合，再结合集合A是集合B的真子集，列出不等式，即可求解.【详解】（1）解：由题意得：若时，则集合故或（2）又集合A是集合B的真子集，解得：故实数a的取值范围18．求解下列问题：(1)已知是一次函数，且满足，求的解析式．(2)已知是定义在上的偶函数，当时，，求的解析式．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出的解析式，根据已知条件列方程，化简求得正确答案.（2）根据的奇偶性求得的解析式.【详解】（1）设，由，得，即，所以，解得，所以.（2）依题意，是定义在上的偶函数，当时，，当时，，所以，所以19．已知函数．(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若，求时的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列不等式，从而求得的取值范围.（2）对进行分类讨论，从而求得.【详解】（1）的开口向上，对称轴为，由于函数在上是增函数，所以，所以的取值范围是.（2）当时，，开口向上，对称轴为，所以，当时，在时取得最小值，即；当，时，在时取得最小值，即；当时，在时取得最小值，即.所以.20．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）（2）100千件【分析】（1）根据题意，分，两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为万元，依题意得：当时，． 当时， 所以（2）当时，．此时，当时，取得最大值万元．当时，．此时，即时，取得最大值1050万元． 由于，答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1050万元【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.21．已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求实数，的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）在上递增，证明见解析；（3）或．【分析】（1）利用奇函数的性质可求得,再由的值，可求得.（2）用定义法证明即可.（3）由题意可得，函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，从而得解.【详解】（1）依题意函数是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，经检验，该函数为奇函数．故，.（2）在上递增，证明如下：任取，其中，，所以，故在上递增．（3）由于对任意的，总存在，使得成立，所以的值域为的值域的子集．而由（2）知：，当时，在上递增，，所以，即；当时，在上递减，，所以，即．综上所述，或．故若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为：或．22．对于函数，若在其定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．(1)若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．(2)若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数n的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据是定义在区间上的“局部奇函数”可知，由此求出m的解析式，利用换元法，构造函数，求出函数的值域，即可求得m的取值范围.（2）根据是定义在区间R上的“局部奇函数”可知，由此求出n的解析式，利用换元法，构造函数，求出函数的值域，即可求得n的取值范围.【详解】（1）解：因为是定义在区间上的“局部奇函数”所以，即所以于是问题转换成方程在有解令，，则所以在上有解根据在为减函数，在为增函数，且，所以，即，解得所以实数m的取值范围为；（2）因为是定义在区间R上的“局部奇函数”所以，即整理可得：令，则又所以方程在上有解设，当时，在上有解，此时，解得：当时，在上有解，此时，解得：;综上所述：实数n的取值范围.