2022-2023学年广西南宁市第二中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西南宁市第二中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据绝对值不等式公式解法，结合集合交集的定义进行求解即可.

【详解】，

因此，

故选：D

2．已知函数．则的值为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．

【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，

将代入，可得，

故选：．

3．下列每组函数是同一函数的是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】C

【分析】根据同一函数的定义逐一判断即可.

【详解】A：因为函数的定义域为全体实数，的定义域为非零实数，所以两个函数不是同一函数；

B：因为函数的定义域为不等于3的全体实数，函数的定义域为全体实数，所以两个函数不是同一函数；

C：因为，所以两个函数是同一函数；

D：由或，

由，

因为两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是同一函数，

故选：C

4．已知不等式的解集是，则实数a等于（    ）

A． B． C．5 D．10

【答案】A

【分析】由一元二次不等式的解集可得，即可求实数a.

【详解】由题设，有，可得.

故选：A.

5．下列说法正确的是（    ）

A．命题“若，则”为真命题

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“若实数满足，则或”为假命题

D．命题“，使得”的否定是：“，均有”

【答案】A

【分析】利用作差法可判断A选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B选项；解方程可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.

【详解】对于A选项，当时，，所以，命题“若，则”为真命题，A对；

对于B选项，解方程可得或，

所以，“”是“”的充分不必要条件，B错；

对于C选项，解方程可得或，

所以，命题“若实数满足，则或”为真命题，C错；

对于D选项，命题“，使得”的否定是：“，均有”，D错.

故选：A.

6．函数在上的值域为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.

【详解】二次函数图象的对称轴为：，在上的值域为，，，由图可知.

故选：A.

7．已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集

【详解】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为

故选：D．

8．若正实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由可得，由基本不等式可得，即，解不等式即可求解.

【详解】由可得，

因为，，

所以，当且仅当时等号成立，

所以，即，

所以，解得：，

所以，

当且仅当即时等号成立，

的最小值为.

故选：D.

二、多选题

9．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】BD

【解析】（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以.

【详解】A选项：，，但是，A不正确；

B选项：因为成立，则，那么，B正确；

C选项：，但是，C不正确；

D选项：因为，则，又，所以，D正确.

故选：BD

【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目.

10．不等式成立的一个充分条件是（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】AD

【分析】根据分式的性质，结合充分条件的定义逐一判断即可.

【详解】不等式，解得或，显然A正确；不能推出或，B错误；不能推出或，C错误；能推出或，D正确；

故选：AD.

11．若，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式逐一分析ABC，即可判断ABC，结合基本不等式即可判断D.

【详解】解：因为，且，

所以，所以，

当且仅当时，取等号，故A正确；

，所以，当且仅当时，取等号，故B错误；

，所以，当且仅当时，取等号，故C正确；

，所以，

当且仅当，即时，取等号，故D正确.

故选：ACD.

12．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域中含有下列那些元素（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】BC

【分析】先求出的值域，然后由高斯函数的定义可得答案.

【详解】当时，

当时，则

由，则，此时

所以，则的值域为

故选：BC

三、填空题

13．已知幂函数的图象经过点，则____________.

【答案】1

【分析】由幂函数的性质求解，

【详解】设幂函数，∵函数过点，∴，解得，

∴，.

故答案为：1

14．函数的单调递增区间为__．

【答案】[﹣2，2]

【分析】首先求出函数的定义域，根据复合函数的单调性即可求解.

【详解】令g（x）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16，

令g（x）≥0，解得：﹣2≤x≤6，

而g（x）的对称轴是：x=2，

故g（x）在递增，在（2，6]递减，

故函数f（x）在[﹣2，2]递增，

故答案为：[﹣2，2]

【点睛】本题考查了复合函数的单调区间，求解时注意函数的定义域，属于易错题.

15．若是R上的增函数，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据分段函数的单调性，得到不等式组，解得即可；

【详解】因为是定义在R上的增函数，

所以，即，

解得，

故答案为：

16．已知函数，对任意，总存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______________.

【答案】或或

【分析】确定在上单调递增，得到最小值为1，题目转化为对恒成立，构造，代入数据计算得到答案.

【详解】在上单调递增，故，的最小值为1，

任意，总存在，使不等式成立，

即对于所有的恒成立，即对恒成立，

令，只要，或或.

故答案为：或或.

四、解答题

17．已知集合，集合，.

(1)求，；

(2)若是的必要条件，求的取值范围.

【答案】(1)，或；

(2).

【分析】（1）根据集合交集、并集、补集的定义进行求解即可；

（2）根据必要条件的性质进行求解即可.

【详解】（1）由，得，，

所以，，

或；

（2）由得，∴，

∵是的必要条件，∴，∴，

解得，故的取值范围.

18．已知函数.

(1)函数在区间上的单调性是怎样的？请用单调性的定义证明你的结论；

(2)若，求时函数的值域.

【答案】(1)函数在区间上单调递减，证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可；

（2）利用代入法，根据函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）当时，函数在区间上单调递减，证明如下：

设是上任意两个实数，且，则有，

，

又由，则，，，

所以当时，，

从而得，则函数在区间上单调递减；

（2）若，，则，

此时函数在区间上单调递减，

则，，即函数的值域为.

19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求函数的解析式，并画出的图象；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)，图象见解析

(2)

【分析】（1）根据奇函数的性质得到，再设求出，即可得到函数在上的解析式，从而得到的函数解析式，再画出函数图象；

（2）根据函数的奇偶性、单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】（1）解：∵函数是定义在上的奇函数，则，

且当时，，

设，则，所以，

此时，

综上所述，.

作出函数的图象如图所示：

（2）解：由（1）可知函数在定义域上为奇函数，

由可得，

由函数图象可得函数在定义域上为减函数，

所以，解得，

因此，关于的不等式的解集为.

20．设函数，

（1）解关于的不等式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

【答案】（1）见解析    （2）

【详解】试题分析：（1）利用分类讨论思想分 和三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得时，解集为或，时，解集为

时，解集为或；（2）由题意得：恒成立 恒成立

试题解析：（1） 时，不等式的解集为或

时，不等式的解集为

时，不等式的解集为或

（2）由题意得：恒成立，

恒成立.

易知  ，

  的取值范围为：

21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．

(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；

(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：）

【答案】(1)（1）车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；

(2)（2）隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．

【分析】（1）由（辆千米）时，（千米小时）求得，可得关于 的关系式，再由求解的范围得结论；

（2）结合（1）写出隧道内的车流量关于的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．

【详解】（1）解：由题意，当（辆千米）时，（千米小时），

代入，得，解得．

，

当时，，符合题意；

当时，令，解得，

．

综上，．

故车流速度不小于40千米小时，车流密度的取值范围为，；

（2）由题意得，，

当时，为增函数，

，等号当且仅当时成立；

当时，

．

当且仅当，即，时成立，

综上，的最大值约为3250，此时约为87．

故隧道内车流量的最大值为3250辆小时，车流量最大时的车流密度87辆千米．

22．已知函数，.

(1)若，，求函数，的值域；

(2)若恒成立，

①求证：；

②若，且恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)①证明见解析；②.

【分析】（1）根据函数单调性的性质进行求解即可；

（2）①根据一元二次不等式解集的性质，结合比较法进行求解即可；

②利用常变量分离法，结合换元法、函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）若，，则

因为与在上都单调递增，

所以在上单调递增，

所以，，

的值域为；

（2）①证明：因为恒成立，即恒成立，

所以，即，所以，

则，所以；

②，又，当时，不等式恒成立，

当时，

所以恒成立

令，则，则在上恒成立，

又（只需小于），所以.

【点睛】关键点睛：利用常变量分离法，结合函数单调性的性质是解题的关键.