2022-2023学年海南省海口四中高一上学期期中考试数学试题（解析版）

 2022-2023学年海南省海口四中高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合M满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先写出集合,然后逐项验证即可

【详解】由题知,对比选项知，正确,错误

故选:

2．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图中阴影部分表示求解即可.

【详解】由题知：图中阴影部分表示，

，则.

故选：A

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为，所以，，，

或，

当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；

当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．已知函数则等于（     ）

A．4 B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据分段函数的定义域，先求得，再求即可.

【详解】因为函数

所以，

所以，

故选：D

5．已知函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（    ）

A．[0，] B．[-1，4] C．[-5，5] D．[-3，7]

【答案】A

【分析】根据抽象函数的定义域求法，首先求出，再由，解不等式即可.

【详解】函数y=f（x+1）定义域是[-2，3]，则，

所以，解得，

所以函数的定义域为[0，].

故选：A

【点睛】本题考查了抽象函数的定义域求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

6．函数在区间上的最大值、最小值分别是（     ）

A．，4 B．无最大值，最小值为7

C．4，0 D．最大值为4，无最小值

【答案】D

【分析】将函数化为判断区间单调性，进而确定最值.

【详解】函数在上单调递减，

所以，在处取得最大值4，而取不到，则最小值取不到.

故选：D

7．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由一次函数的单调性得到的取值范围，再利用单调性即可比较与的大小.

【详解】函数在上是增函数，，解得：；

则，

故选：B.

8．具有性质；的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（     ）

（1）；（2）；（3）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）

【答案】D

【分析】根据“倒负”变换函数的定义，对题中所给函数逐个验证.

【详解】解：①设，∴，∴满足“倒负”变换的函数；

②设，，，即，∴不是“倒负”变换的函数；

③设，则当时，，而不存在，所以不是“倒负”变换的函数.

故选：D.

二、多选题

9．下列各组函数不是同一组函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】利用相等函数定义对选项进行判断得解.

【详解】A. 定义域为 ，定义域为    , 不是同一组函数

B. 定义域为,定义域为不是同一组函数

C. 定义域为,对应关系一致    , 是同一组函数

D. 定义域为定义域为,不是同一组函数

故选：ABD

【点睛】相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

10．下列说法中正确的有（    ）

A．“”是“”成立的充分不必要条件

B．命题：，均有，则的否定：，使得

C．设是两个数集，则“”是“”的充要条件

D．设是两个数集，若，则，

【答案】ACD

【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.

【详解】解：对于A，当时，能推出， 而由 不能推出 ，如，而，

所以 “”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；

对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确；

对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由 能推出 ，

所以 “”是“”的充要条件，故C正确；

对于D，是两个数集，若，即集合A、B存在相同的元素，则，，故D正确，

故选：ACD.

11．下列命题正确的有（     ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】利用不等式的性质、特值法和基本不等式逐个选项进行判定即可．

【详解】若，取，则，故A错误；

若，则，故B正确；

若，则设，不满足>，故C错误；

若，则，当且仅当，即时，取等号，故D正确．

故选：BD．

12．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（    ）

A．方程有三个根 B．的单调减区间为和

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】AC

【分析】由的定义可得图象，结合图象依次判断各个选项即可.

【详解】由的含义可得图象如下图所示，

由图象可知：

对于A，与有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确；

对于B，的单调递减区间为和，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，无最小值，D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．函数的定义域为___________.

【答案】

【分析】解不等式求出定义域.

【详解】由题意得：，解得：或，

所以定义域为.

故答案为：

14．已知函数，则___________.

【答案】0

【分析】令代入函数解析式中，可得答案.

【详解】由函数可知，令，则得，

故答案为：0.

15．函数f（x）=x2-2（a-1）x+2在区间上是减函数，则实数a的范围是___________

【答案】[2，+∞）

【分析】的单调递减区间为，其中为函数对称轴.由题有，据此可得答案.

【详解】函数f（x）图像的对称轴为直线x=a-1.因为f（x）在区间上是减函数，

所以，得.

故答案为：[2，+∞）.

16．已知函数是定义在区间上的减函数，若，则实数的取值范围是__．

【答案】

【解析】根据题意，由函数的定义域和单调性可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】根据题意，函数是定义在区间上的减函数，

若，则有，解可得，

即的取值范围为，，

故答案为：，．

【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意函数的定义域，属于基础题．

四、解答题

17．已知全集，集合，集求：

(1)

(2)

(3).

【答案】(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）根据集合交集定义即可求解；

（2）根据集合并集定义即可求解；

（3）根据集合补集定义即可求解．

【详解】（1）∵集合，，

∴

（2）

（3）或．

18．（1）已知函数，求的值及函数的定义域；

（2）已知，且，求ab的最大值

【答案】（1），且；（2）3.

【分析】(1)直接法求函数值和函数定义域.

(2)基本不等式求积的最大值.

【详解】（1），∴.

函数有意义，有，解不等式可得且

故函数的定义域为且；

（2）由已知得，∴，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为3.

19．已知函数.

(1)画出函数的图象；

(2)若，求函数值域；

(3)当时，求实数的取值范围.

【答案】(1)作图见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据函数的解析式可作出函数的图象；

（2）分别求出函数在、上的值域，取并集可得结果；

（3）分、两种情况解不等式，综合可得出的取值范围.

【详解】（1）解：作出函数的图象如下图所示：

（2）解：当时，，

当时，.

综上所述，函数在上的值域为.

（3）解：当时，由，此时；

当时，由，解得，此时.

所以，满足不等式的的取值范围是.

20．已知函数.

(1)当时，求函数在区间上的值域；

(2)①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题，若_______，，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；

（2）方案一：结合题意，转化为，恒成立，再根据基本不等式求解最值即可得答案；

方案二：将问题转化为，再结合二次函数性质求解即可.

【详解】（1）解：当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，，

∴，

∴函数在区间上的值域为.

（2）解：方案一：选条件①恒成立，

所以，[1，3]恒成立，只需，恒成立.

因为（当且仅当时等号成立）

所以的最大值为－4，所以.

所以实数的取值范围为.

方案二：选条件②.

∵，，

∴，

∵函数的图像是开口向上的抛物线，最大值只可能在区间端点处取得.

∴或，即或，解得或，

∴，

故实数的取值范围为.

21．某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工（万元）与精加工的蔬菜量（吨）有如下关系：设该农业合作社将（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为（万元）．

（1）写出关于的函数表达式；

（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．

【答案】（1）；（2）精加工吨时，总利润最大为万元.

【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式；

（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．

【详解】解：（1）由题意知，当0≤x≤8时，

y=0.6x+0.2（14-x）-x2=-x2+x+，

当8＜x≤14时，

y=0.6x+0.2（14-x）-=x+2，

即y=  

（2）当0≤x≤8时，y=-x2+x+=-（x-4）2+，

所以 当x=4时，ymax=．  当8＜x≤14时，y=x+2，

所以当x=14时，ymax=．因为 ＞，所以当x=4时，ymax=．

答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元．

【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

22．函数.

(1)判断并用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性；

(2)若，，求证：；

(3)若，且，求证：.

【答案】(1)函数f（x）在（0，1）上的单调减，证明见小问1详解.

(2)证明见小问2详解

(3)证明见小问3详解

【分析】（1）用定义证明.

（2）由已知寻找、、的范围，并比较与的大小，再利用（1）的单调性可得证.

（3）代入函数表达式整理，得，再用基本不等式即可.

【详解】（1）设，则

 ，

，，，，

，

，，

故f（x）在（0，1）上的单调减.

（2），，

，

  ，，，

又，，

因为f（x）在（0，1）上的单调减，所以

（3），

，，

，

，所以

【点睛】方法点睛：函数单调性证明及应用：①具体函数单调性常用定义证明；②已知单调性可以寻找变量大小关系，确定函数值的大小关系.