2022-2023学年河北省武强中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省武强中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义计算可得；

【详解】解：因为，所以.

故选：C

2．命题：“，”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；

【详解】解：命题：“，”为全称量词命题，其否定为：；

故选：D

3．为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为（     ）

A．30米 B．50米 C．80米 D．110米

【答案】C

【分析】设该矩形区域的长为x米，则宽为米，利用基本不等式计算即可得出结果.

【详解】设该矩形区域的长为x米，则宽为米，

则所用警戒线的长度为米，当且仅当，即时，取等号.

则所用警戒线的长度的最小值为80米.

故选：C

4．不等式的解集为，则函数的图像大致为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的解集求出参数，从而可得，根据该形式可得正确的选项．

【详解】因为不等式的解集为，

故，故，故，

令，解得或，

故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为，

故选：C．

5．若，则（    ）

A．有最大值 B．有最小值

C．有最大值 D．有最小值

【答案】A

【分析】直接根据基本不等式求解即可．

【详解】解：∵，

又，，当且仅当即时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

故选：A．

6．已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得到答案.

【详解】解：由题意，在上单调递减.

则由可得，解得，即原不等式的解集为.

故选：B.

7．已知奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题意得到函数在上单调递减，且，再结合单调性解不等式即可.

【详解】因为奇函数在上单调递减，且，

所以函数在上单调递减，且，

当，，，满足，

当，，，不满足，

当，，，不满足，

当，，，满足，

当时，，不满足，

综上所述：的解集为.

故选：C.

8．下列结论正确的是（    ）

A．当时， B．若，且，则

C．当时，的最小值为2 D．当时，无最大值

【答案】A

【分析】由基本不等式判断选项A，举例判断B，确定等号成立的条件判断C，由函数的单调性判断D．

【详解】选项A，时，，当且仅当时等号成立，A正确；

选项B，例如，则，B错；

选项C，，但取不到1，C错；

选项D，时，函数是增函数，所以时，，D错．

故选：A．

二、多选题

9．下列结论成立的是（    ）

A．若，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，则

【答案】CD

【分析】对于A，运用举反例的方法，可判断；

对于B，由只有不等式同向才有可加性可判断；

对于C，由，得，根据不等式的同向可加性可判断；

对于D，由，得，根据不等式的正数同向可乘性可判断.

【详解】对于A，取，，，此时，但，故A不成立；.

对于B，，，，得不出，故B不成立；

对于C，，，又，，故C成立；

对于D，，，，即，故D成立.

故选:CD.

【点睛】本题考查运用不等式的性质判断不等式是否成立，关键在运用不等式的性质时，需严格满足所需的条件，属于基础题.

10．对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．“”是“”的充分条件

C．“”是“”的必要条件

D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件

【答案】ABD

【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.

【详解】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题；

B：若时，充分性不成立，假命题；

C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题；

D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题.

故选：ABD

11．下列函数中，满足“，，都有”的有（   ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据题意可知满足题意的函数为减函数，由此一一判断选项中函数的单调性，可得答案.

【详解】由，，都有，

可知函数在时为减函数，

由于在时为增函数，故 A错误；

函数在时为减函数，符合题意，B正确；

函数图象的对称轴为 ，

故在时为增函数，C错误；

函数在时单调递减，D正确，

故选：BD

12．已知正实数a，b满足a＋b＝2，下列式子中，最小值为2的有（    ）

A．2ab B．a2＋b2 C．＋ D．

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤进行判断﹒

【详解】∵a，b＞0，∴2＝a＋b≥，∴0＜ab≤1，当且仅当a＝b＝1时等号成立．

由ab≤1，得2ab≤2，∴2ab的最大值为2，A错误；

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥4－2＝2，B正确；

≥2，C正确；

≥2，D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．“”是“”的______

【答案】充分不必要条件

【分析】根据充分条件，必要条件的定义即得.

【详解】因为由可推出，而由推不出，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要条件.

14．设集合，，若，则的取值范围是_________.

【答案】

【分析】根据列出不等式即可求解.

【详解】因为，，，故只需即可满足题意.

故答案为：.

15．已知函数的增区间是，则实数a的值为___________.

【答案】

【分析】去绝对值将转化为分段函数，再根据单调性求解a的值即可.

【详解】因为函数，

故当时，单调递减，当时，单调递增.

因为函数的增区间是，

所以，所以.

故答案为：.

16．函数是定义在上的减函数，且图象关于点对称，若，则实数的取值范围为______．

【答案】

【分析】利用函数的奇偶性、单调性可得不等式组，即可得解.

【详解】由题意知，函数的定义域为，所以函数的定义域为，

因为函数图象关于点对称，

所以函数的图象关于对称，即为奇函数，且在上单调递减，

所以即，

所以，解得．

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合或，，且，求m的取值范围．

【答案】或

【分析】因为，所以，分别讨论和两种情况然后求并集.

【详解】解：因为，所以，

当时，，解得：；

当时，或解得：或

所以或.

18．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

【答案】(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小

(2)．

【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；

（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．

【详解】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，

当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．

∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．

（2）由已知得x+2y＝30，

又∵（）•（x+2y）＝55+29，

∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．

∴的最小值是．

19．完成下列问题：

(1)已知，求．

(2)已知是一次函数，且满足，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，根据换元法，可得答案；

（2）由题意，利用待定系数法，可得答案.

【详解】（1）令，则，；所以．

（2）设，依题意，

即，，

，故，解得，

所以．

20．已知不等式的解集是．

(1)求常数a的值；

(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；

（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围

【详解】（1）因为不等式的解集是．

所以－1和3是方程的解，

把代入方程解得．经验证满足题意

（2）若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，

所以，

解得，所以m的取值范围是．

21．已知函数，

(1)求的值.

(2)求证：是定值

(3)求的值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）将，代入的解析式，求解即可；

（2）由的解析式，化简，即可证明；

（3）利用（2）中的结论，将所求式子进行重新组合，即可得到答案．

【详解】（1）解：因为，

所以；

（2）证明：为定值；

（3）解：由（2）可知，，，

所以

．

22．设函数y=mx2-mx-1.

(1)若对任意x∈R，使得y<0成立，求实数m的取值范围；

(2)若对于任意x∈[1，3]，y<-m+5恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)（-4，0]

(2)

【分析】（1）由mx2-mx-1<0，对任意x∈R恒成立，利用判别式法求解；

（2）由当x∈[1，3]时，y<-m+5恒成立，转化为，对x∈[1，3]时恒成立求解.

【详解】（1）解：要使mx2-mx-1<0，对任意x∈R恒成立，

若m=0，显然一1<0，满足题意；

若m≠0，则，

解得-4<m<0

综上，-4<m≤0，即m的取值范围是（-4，0].

（2）当x∈[1，3]时，y<-m+5恒成立，

即当x∈[1，3]时，m（x2-x+1）-6<0成立.

因为，且，

所以，

因为函数在上的最小值为，

所以只需即可，

即实数的取值范围为.