2022-2023学年湖北省宜昌市夷陵中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省宜昌市夷陵中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式求集合U，再应用集合的交、补运算求结果.

【详解】由题设，，

所以，，故.

故选：A

2．设：p：，q：，则p是q成立的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可.

【详解】令，，

由集合间的包含关系可知：集合是集合的真子集，

所以p是q的必要不充分条件，

故选：C.

3．下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用奇函数的定义判断，结合分式型函数、复合函数的单调性判断各函数是否符合要求即可.

【详解】A：函数定义域为R，且，故为奇函数，

当时，而在上递减，上递增，

故在上递增，上递减，易知：定义域上不是增函数，不符合；

B：函数定义域为，显然不关于原点对称，不为奇函数，不符合；

C：函数定义域为R，且，故为奇函数，函数单调递增，符合；

D：函数定义域为，且，故为奇函数，函数分别在、上递增，整个定义域不递增，不符合.

故选：C

4．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由不等式的性质先得到和，再由基本不等式得到，最后给出答案.

【详解】解：因为，所以，，

由基本不等式：当时，，

所以

故选：B

【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小、利用基本不等式比较大小，是基础题.

5．已知函数为R上的奇函数，，，则（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】对于条件，令，再利用奇偶性变形计算即可.

【详解】

当时，，

又，

故选：B.

6．幂函数，，，在第一象限的图像如图所示，则下列不等关系成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数的性质判断即可.

【详解】由图可知： ， ， ，所以 ，

根据幂函数的单调性可知： ；

故选：C.

7．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么使不等式成立的x的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合一元二次不等式的解法以及“”的定义求得正确答案.

【详解】，，，

由于表示不大于的最大整数，所以，

所以的取值范围是.

故选：C

8．设函数的定义域为R，且，当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题设得到且，，注意判断函数值的变化趋势，再求得的最大k值，此时结合二次函数性质确定上对应x值，即可得m的范围.

【详解】令，则，故，而，

所以且，

令，则，故，而，

所以且，

结合已知：且时，而，

对且，，即随增大依次变小，

要使对任意都有，令，则且，

则上，且上，

当时，令，则，解得或，

综上，要使对任意都有，只需.

故选：C

【点睛】关键点点睛：注意总结归纳且，随k的变化趋势，进而找到的对应区间，再求出该区间右侧区间中的自变量.

二、多选题

9．设集合，，则的非空真子集个数可以为（    ）

A．6 B．7 C．12 D．14

【答案】AD

【分析】分，，，求出集合AB，进而可得，再根据子集个数的公式求解即可.

【详解】当时，，，则，的非空真子集个数为；

当时，，，则，的非空真子集个数为；

当时，，，则，的非空真子集个数为；

当时，，，则，的非空真子集个数为；

故选：AD.

10．已知函数在区间上的最小值为9，则a可能的取值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】AD

【分析】根据二次函数的对称轴和开口方向进行分类讨论，即可求解.

【详解】因为函数的对称轴为，开口向上，

又因为函数在区间上的最小值为9，

当，即时，函数的最小值为与题干不符，所以此时不成立；

当时，函数在区间上单调递增，

所以，解得：或，

因为，所以；

当，也即时，函数在区间上单调递减，

所以，解得：或，

因为，所以；

综上：实数a可能的取值或，

故选：.

11．火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪些方案可以满足：（    ）

A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节

C．A货箱30节，B货箱20节 D．A货箱31节，B货箱19节

【答案】ABC

【分析】设、货箱分别有节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可.

【详解】设、货箱分别有节，则，

A：共50节且，，满足；

B：共50节且，，满足；

C：共50节且，，满足；

D：共50节且，，不满足；

故选：ABC

12．已知定义在的函数同时满足以下四个条件：①函数的对称轴是直线，②，当时，都有，③，④的图象是连续不断的．则下列选项成立的有（    ）

A．

B．，，使得

C．不等式的解集是

D．不等式的解集是

【答案】ABD

【分析】A.根据函数的奇偶性及单调性判断；B.根据函数的奇偶性确定有最小值即可判断；C.利用函数单调性及奇偶性去掉，然后解不等式即可；D.利用单调性转化为不等式组求解即可.

【详解】①函数的对称轴是直线，可得函数的对称轴是直线，即函数为偶函数；

②，当时，都有，

当时，，即函数在上单调递减，

再根据①其为偶函数，函数在上单调递增；

A. ，A正确；

B. 函数在上单调递减，在上单调递增，的图象是连续不断的，

故函数在时取最小值，不妨设最小值为，即，，使得，B正确；

C. 不等式，则，解得或，C错误；

D. 不等式，得或，解得或，

故解集为，D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．幂函数在上为增函数，则______．

【答案】

【分析】根据幂函数的定义和单调性求出m，进而求出函数的解析式，即可求解.

【详解】幂函数满足，解得或4.

当时，在上是减函数，不满足题意；

当时，在上是增函数，

所以，故，则.

故答案为：.

14．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得原函数的定义域.

【详解】对于函数，有，解得且且，

因此，函数的定义域为.

故答案为：.

15．设矩形ABCD的周长为16cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，则的面积取最大值时，AB的长为______．

【答案】cm

【分析】画出示意图，设且，则，由全等三角形及勾股定理求得，用表示出的面积，应用基本不等式求最值并确定取值条件，即可得结果.

【详解】如下图示，设且，则，，

由，，，故△△，

令，，故，

所以，整理得，

则，

当且仅当时等号成立，

所以的面积取最大值时，AB的长为cm.

故答案为：cm

四、双空题

16．已知函数，

（1）若，则______．

（2）若，则实数m的取值范围是______．

【答案】          或或.

【分析】在不同区间上令求自变量即可；令求出不同区间上对应的解集，即可确定中的范围，再结合解析式求m的范围.

【详解】当时，，显然无解；

当时，，即，则（舍），

所以，则；

当时，，即，此时；

当时，，即或，此时；

所以，即或，

对于，有：

当时，，即，可得；

当时，，即，可得；

对于，由，故无解，

所以，时有，即，解得（舍）.

综上，时有或或.

故答案为：，或或

五、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，应用集合交运算求结果；

（2）由题意，列不等式组求参数范围.

【详解】（1）由题设，，，

所以.

（2）由题意，则，可得.

18．设命题p：函数的定义域为，

命题q：函数，的图象与x轴恒有交点．

(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若命题p，q有且仅有一个为真命题．求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对于，根据函数的定义域，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.

（2）对于，由在区间恒有解求得的范围.根据“真假”或“假真”求得的取值范围.

【详解】（1）命题p：函数的定义域为，

当时，，定义域为，符合题意.

当时，要使的定义域为，则，解得.

综上所述，的取值范围是.

（2）由（1）得：真时，；

对于命题，在区间有解，

由于在上递减，所以.

所以真时：.

若命题p，q有且仅有一个为真命题，则“真假”或“假真”.

当“真假”时，“”且“或”，

故.

当“假真”时，“或” 且“”，

此时无解.

综上所述，当，有且仅有一个为真命题时，的取值范围是.

19．已知定义在R上的二次函数满足，且对于定义域内的任意x，恒成立.

(1)求；

(2)若函数且，试判断并用定义法证明函数在的单调性，并求函数在的值域．

【答案】(1)；

(2)在上递增，证明见解析；在的值域为.

【分析】（1）由题设得且，结合已知可得，即可求参数，写出解析式；

（2）由题意有，应用单调性定义求证的区间单调性，进而求上的值域.

【详解】（1）令且，又，则，

由，

所以，即，可得，

所以.

（2）由（1）知：，

所以，即，则，

在上递增，证明如下：

令，则，

由，则，故，

所以在上递增，

同理可证：在上递减，则在上递减，上递增，

而，，，

所以在的值域为.

20．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

(1)当时，函数的解析式；

(2)解关于x的不等式．

【答案】(1)

(2)答案详见解析

【分析】（1）根据函数的奇偶性求得正确答案.

（2）根据函数的奇偶性、单调性化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

【详解】（1）依题意，是定义在上的奇函数，

当时，.

（2）的开口向上，对称轴为，

所以在上递增，

由于是定义在上的奇函数，所以在上递增，

由得，

则，，

所以当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为或.

21．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．

(1)求函数的解析式；

(2)若，成立，求实数m的取值范围；

(3)时，判断并证明与的大小关系．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）结合图像，分类讨论求函数的解析式；

（2）将问题转化为，求出函数的最大值即可；

（3）计算出，然后做差比较大小

【详解】（1）当时，，

当时，

当时，

综上所述：

（2）若，成立，即，成立

当时，，

当时，

当时，

，即

（3），

，

又，即

22．已知函数，．

(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；

(2)用表示m，n中的最小值，设函数，试讨论函数的图象与函数的图象的交点个数．

【答案】(1)

(2)答案详见解析.

【分析】（1）结合二次函数的性质求得的取值范围.

（2）先判断时没有零点，当时，求得的零点，对进行分类讨论，结合的零点以及的定义对的零点个数进行讨论.

【详解】（1）的对称轴为，

若函数在上单调，则或，

解得或，

所以的取值范围是.

（2），

当时，，故此时，

即函数的图象与函数的图象没有交点.

下面只考虑的情形：

当时，由，解得，

的对称轴为，

①当时，在上递增，，

在上递减，，当时，，

故存在，使，

所以，所以有唯一零点.

②当时，若，解得，

则，所以有唯一零点.

③当时，若，解得，

，令解得，

画出此时的图象如下图所示，由图可知，有个零点（和）.

④当时，若，解得，

（i）若，，，则存在，使，

画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.

（ii）若，，,

令解得或，

画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.

（iii）若，，，

此时在区间上有个零点，

画出此时的大致图象如下图所示，由图可知，有个零点.

综上所述，或时，有个零点，

或时，有个零点，

当时，有个零点.

【点睛】对于新定义函数的理解是解决新定义函数题目的关键，本题中，表示两个函数中取较小者，在图象上，就是取这两个函数图象相对较低的部分.分类讨论要做到不重不漏.