2022-2023学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期期中数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．下列关系中正确的个数是（    ）①    ②    ③    ④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据集合与元素的关系逐一判断即可.【详解】解：，故①正确；，故②正确；，故③错误；，故④正确，所以正确的个数是3个.故选：C.2．设集合，．下列表示正确是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合与集合之间的关系即可得解.【详解】元素与集合之间的关系用属于符号来表示，集合与集合之间的关系用包含符号来表示，故排除ACD，又，，所以，故B正确.故选：B.3．设，，则下列命题正确的是（    ）．A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】列举特殊数值，排除选项.【详解】A.时，，故A不成立；B.当时，，故B不成立；C.当时，，故C不成立；D.若，根据函数在的单调性可知，成立，故D正确.故选：D4．不等式解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可.【详解】解：方程的解为，所以不等式解集为.故选：D.5．已知函数则函数定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据被开方数非负和分母不等于零，列出不等式组即可求解.【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为，故选：D．6．命题p：存在一个整数n，使是4的倍数．则p的否定是（    ）A．，不是4的倍数． B．，是4的倍数C．，不是4的倍数 D．，是4的倍数【答案】A【分析】由命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题，因此命题的否定是：，不是4的倍数．故选：A．7．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（    ）A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元【答案】C【分析】根据题意建立相应的函数模型，转化为求函数的最大值问题求解即可.【详解】设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，公司获利为，∴当或10时，最大，为120万元.故选C.【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用，利用数学知识建立相应的函数模型，将实际问题转化为数学问题，注意实际问题背景下的自变量取值范围，属于基础题. 二、多选题8．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】AC【分析】根据同一函数的定义域，对应法则相同，依次判断即可.【详解】选项A，两个函数定义域都为，且，对应法则一样，故为同一函数；选项B，定义域为，定义域为，不为同一函数；选项C，两个函数定义域都为，且，对应法则一样，故为同一函数；选项D，定义域为，定义域为，不为同一函数.故选：AC9．如果命题：是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ）A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件C．q是p的必要条件 D．q是p的充分条件【答案】AC【分析】根据充分必要条件的概念即可得解.【详解】因为命题“是真命题，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件，故AC正确，BD错误.故选：AC10．下列关于函数，的说法正确的是（    ）A．当时，此函数的最大值为1，最小值为B．当时，此函数的最大值为，最小值为1．C．当时，此函数的最大值为1，最小值为D．当时，此函数的最大值为最小值为1【答案】AD【分析】根据一次函数的单调性求出最值即可.【详解】解：当时，函数为减函数，所以当时，，当时，，故A正确，B错误；当时，函数为增函数，所以当时，，当时，，故C错误，D正确.故选：AD.11．已知函数，关于函数的结论正确的是（    ）A．的值域为 B．C．若，则x的值为 D．的解集为【答案】ABC【分析】根据分段函数的定义，分段求值域整合后得函数的值域可判断A，计算函数值判断B，分类讨论解函数方程后判断C，分类讨论解出不等式后判断D．【详解】，B正确；时，，时，，，所以，即值域为，A正确；时，，不合题意，舍去，时，，（舍去），所以，C正确 ；当时，，，所以，时，，，综上，的解集为或，D错．故选：ABC．12．如图为二次函数的图象，则下列说法正确的是（    ）A．方程的解集为 B．不等式的解集为C．不等式解集为 D．函数的最大值为【答案】ACD【分析】根据函数图像可知方程的解为，从而可求得，再根据一元二次方程的解法即可判断A，根据一元二次不等式的解法即可判断BC，根据二次函数的性质即可判断D.【详解】解：由图可知，方程的解为，则，即，对于A，方程即为，解得或，所以方程的解集为，故A正确；对于B，不等式即为，由A选项知，不等式的解集为，故B错误；对于C，不等式即为，解得，所以不等式解集为，故C正确；对于D，，当时，函数取得最大值，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．已知，．若，则___________．【答案】0【分析】利用集合相等的定义求解，再根据集合元素的互异性即可.【详解】因为,所以,解得或,若与集合中元素的互异性矛盾, 若满足集合中元素的互异性,所以.故答案为：014．已知x>2，x+（a>0）最小值为3.则a=__________.【答案】##0.25【分析】利用基本不等式可得，结合条件即得.【详解】∵，，∴，当且仅当，即取等号，∴，解得.故答案为：.15．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是________．【答案】2 cm2．【详解】试题分析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，两个三角形的面积和为S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．令S′=x﹣2=0，则x=2，所以Smin=2．故答案为2 cm2．点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．16．已知函数是上的减函数,则实数的取值范围是___________．【答案】【分析】由于分段函数单调递减,只需每一段都是单调递减,接口的地方也满足单调递减即可.【详解】解:由题知是上的减函数,,解得:,综上:.故答案为:  四、解答题17．已知集合，．(1)求：，．(2)求：，．【答案】(1)或，或；(2)R，或或 【分析】根据集合的交、并、补运算求解即可.【详解】（1）由题意，，故或，或；（2）由题意，或，，或，故，或或.18．若不等式的解集是.（1）解不等式；（2）为何值时，的解集为空集.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）转化条件为，和1是方程的两根，进而可得，再解一元二次不等式即可得解；（2）转化条件为的解集为，再由一元二次不等式恒成立可得，即可得解.【详解】（1）由题意可知，和1是方程的两根，所以，解得，所以不等式即为， 解得或，所以所求不等式的解集为或；（2）若的解集为空集，则的解集为，则，所以.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为．(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆/时）？(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？【答案】(1)千米/时，千辆/时(2) 【分析】（1）函数解析式的分子分母同时除以v，然后利用基本不等式求出函数的最大值以及取得最大值时v的值．（2）由条件列出不等式，求解即可．【详解】（1）依题意，当且仅当，即（千米/时）时，等号成立．最大车流量千辆/时．（2）由条件得，整理得，解得，故汽车的平均速度应该在范围内．20．已知p：．q：．且p是q的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】【详解】由得：，即.所以，设集合，，因为p是q的必要条件，所以，所以包含集合，即满足不等式，设，要使满足不等式，则有，即，所以，故所求实数a的取值范围是.21．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，m为何值时，函数f(x)是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数．【答案】（1）m＝1；（2）m＝－1；（3）m＝－1±.【分析】根据正比例函数、反比例函数和幂函数的概念求解.【详解】（1）若函数f(x)为正比例函数，则∴m＝1.（2）若函数f(x)为反比例函数，则∴m＝－1.（3）若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.【点睛】本题主要考查正比例函数、反比例函数和幂函数的概念，属于基础题.22．已知函数．(1)求函数的值域；(2)判断函数的奇偶性．(3)证明：函数的在上单调递减．【答案】(1)(2)为偶函数(3)证明见解析 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再由基本不等式计算可得；（2）根据奇偶性的定义判断即可；（3）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.【详解】（1）解：对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的值域为；（2）解：为偶函数，证明：因为的定义域为，关于原点对称，且，故为偶函数；（3）证明：设任意的且，则因为且，所以，，，所以，即，即的在上单调递减.