2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合中元素个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可判断；

【详解】解：因为，，所以或或或，

故，即集合中含有个元素；

故选：C

2．“”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据必要不充分条件的定义判断．

【详解】时，只有D一定成立，只有D是必要条件，但D成立时，不一定成立，

故选：D．

3．化简（其中）＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂的运算法则计算．

【详解】．

故选：B．

4．若，，，则（       ）

A．  B．

C． D．  

【答案】A

【分析】根据题意，借助中间量比较大小即可.

【详解】解：因为

所以.

故选:A.

5．已知的值域为R，那么实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出函数在上的取值集合，再根据给定的值域确定函数在上的取值集合，列式求解作答.

【详解】当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为R，

因此函数在上的取值集合包含，

当时，函数在上的值为常数，不符合要求，

当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，

于是得，函数在上单调递增，取值集合是，则，解得，

所以实数a的取值范围是.

故选：A

6．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是（    ）

A．(－∞，－1) B．(－∞，1)

C．(－1，0) D．[－1，0)

【答案】D

【分析】当x>0时，f(x)有一个零点，故当x≤0时只有一个实根，变量分离后进行计算可得答案.

【详解】当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.

因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，

∴a＝－ex(x≤0)，函数y=－ex单调递减，则－1≤a<0.

故选：D

【点睛】本题考查由函数零点个数确定参数的取值，考查指数函数的性质，属于基础题.

7．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范围.

【详解】，

，

当且仅当时等号成立.

所以，

解得或，

所以的取值范围是.

故选：C

8．已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得，再借助对勾函数的单调性即可计算判断作答.

【详解】作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和

因，，，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令，

则有，是方程的两个根，必有，

，是方程的两个不等根，则，，

整理得，即，由得：或，因此有，，

则有，，而函数在上单调递减，从而得，

于是得，

所以的取值范围是.

故选：D

二、多选题

9．若函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.

【详解】令，则，所以，则，故C错误；

，故A正确；，故B错误；

（且），故D正确．

故选：AD．

10．若，则下列不等式中一定不成立的是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】BC

【分析】利用不等式的基本性质，即可判断正误.

【详解】对于A ，因为，且，

当时，，即；

当时，，即；

当时，，即；

故可能成立；

对于B，因为，则，

所以一定不成立；

对于C，因为，则，

故一定不成立；

对于D，因为，则，故恒成立.

故选：BC.

11．已知函数其中且，则下列结论正确的是（　　）

A．函数是奇函数

B．函数 的图象过定点

C．函数 在其定义域上有零点

D．当时，函数在其定义域上为增函数

【答案】ACD

【分析】根据奇偶性的定义，零点的定义，以及单调性的判断方法，结合函数解析式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：定义域为，且，故为奇函数，A正确；

对B：，则过定点，B错误；

对C：由B可知，为的零点，C正确；

对D：当时，，都是单调增函数，故在定义域上是增函数，D正确.

故选：ACD.

12．下列命题中正确的是（　　）

A．函数在区间（0，1）上有且只有1个零点

B．若函数f（x）＝x2＋ax＋b，则f ≤

C．如果函数y＝x＋在[a，b]上单调递增，那么它在[－b，－a]上单调递减

D．若定义在R上的函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称，则函数y＝f（x＋a）－b为奇函数

【答案】ABD

【分析】根据函数的相关知识，对各选项逐个判断.

【详解】对于选项A，作出函数和的图像，由图可知，它们在上有且只有1个交点，所以选项A正确；

对于选项B，作出函数的图像，设，，，，由图可知，

点，总在点，的上方，所以，所以选项B正确；

对于选项C，因为函数为奇函数，所以函数在，上单调递增，在，上也单调递增，所以选项C错误；

对于选项D，根据函数的图像关于点对称，所以，于是，所以函数为奇函数．选项D正确

故选：ABD．

三、填空题

13．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.

【答案】0或3

【解析】由并集结果推出，则或，求解出m代入集合中验证是否满足条件即可.

【详解】，，则或，

若，A＝{1，3，}，B＝{1，3}，满足；

若，解得或，

时，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，满足；

时，A、B不满足集合中元素的互异性，舍去.

综上所述，或3.

故答案为：0或3

【点睛】本题考查根据集合并集运算结果求参数、集合中元素的互异性，属于基础题.

14．函数，函数的零点所在的区间为则____

【答案】2

【分析】探讨给定函数的单调性，再由零点存在性定理确定零点所在区间作答.

【详解】函数定义域为，且在上单调递增，

，

因此函数的唯一零点在内，所以.

故答案为：2

15．已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．

【答案】

【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围.

【详解】由题意，因为当，不等式恒成立，

可转化为关于a的函数，

则对任意恒成立，

则满足，

解得，

即x的取值范围为．

故答案为：

16．已知函数，则满足不等式的范围是________.

【答案】

【解析】分析出函数是定义域为的偶函数，且在区间上为增函数，由得出，可得出，解此不等式即可得出结果.

【详解】函数的定义域为，

，该函数为偶函数，

因为函数在区间上为增函数，函数在区间上为减函数，所以，函数在区间上为增函数，且，

若，即，即，可得，

可得或者，解得或.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，同时也考查了对数不等式的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

四、解答题

17．已知命题：关于的方程有实数根， 命题．

(1)若命题是真命题， 求实数的取值范围；

(2)若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意命题是假命题，即可得到，从而求出参数的取值范围；

（2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.

【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．

所以方程无实根，

所以．

即，即，解得或，

所以实数a的取值范围是．

（2）解：由（1）可知：，

记，，

因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得），

解得，所以实数的取值范围是．

18．（1）计算：

（2）已知，求的值.

【答案】（1）3；（2）9.

【分析】（1）利用对数的性质及运算法则直接求解．

（2）利用平方公式得，a+a-1=，a2+2+a-2=49，代入可求得答案．

【详解】解：（1）

，

所以；

(2)由，得，即a+2+a-1=9．∴a+a-1=7．

两边再平方得：a2+2+a-2=49，∴a2+a-2=47．

∴=．

所以.

19．已知幂函数在上是减函数，．

(1)求的解析式；

(2)若， 求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂函数定义及单调性可得参数的值；

（2）根据（1）可得，构造函数，结合定义域与单调性解不等式.

【详解】（1）由函数为幂函数得，解得或，

又函数在上是减函数，则，即，

所以，

；

（2）由（1）得，

所以不等式为，

设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，

所以，解得，

所以的取值范围是.

20．攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值(值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当时，是的二次函数；当时，.测得部分数据如表：

（1）求关于的函数关系式；

（2）求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳.

【答案】（1）；（2）当x＝4时产品的性能达到最佳．

【解析】（1）结合待定系数法，代入数据运算即可得解；

（2）按照0≤x<7、x≥7分类，结合指数函数、二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）当时，设，

由x＝0，y＝－4可得c＝－4，

由x＝2，y＝8得4a＋2b＝12，①

由x＝6，y＝8得36a＋6b＝12，②

联立①②解得a＝－1，b＝8，则y＝－x2＋8x－4；

当x≥7时，y＝，

由x＝10，y＝，可得，解得m＝8，即有y＝.

综上可得 ；

（2）当0≤x<7时，，

即有x＝4时，性能取得最大值12；

当x≥7时， 单调递减，所以当x＝7时，性能取得最大值3；

综上可得，当x＝4时产品的性能达到最佳．

21．已知函数．

(1)若函数， 判断的奇偶性并加以证明；

(2)当时， 先用定义法证明函数在上单调递增；

(3)若对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围

【答案】(1)为奇函数，证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)

【分析】（1）由奇偶函数定义即可证明；

（2）任取且，结合因式分解证即可；

（3）参变分离得，结合对勾函数求最小值即可求

【详解】（1）因为，

定义域为关于原点对称，

且，所以为奇函数.

（2）当时，，

任取且，

有.

因为

所以，即，

所以函数在上单调递增.

（3），则，

根据对勾函数性质，在单调递增，故当，，

故对任意，都有恒成立时，.

22．已知，

(1)若函数满足，求实数的值；

(2)（i）在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由：

（ii）若函数在R上有零点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)（i）有零点，证明见解析；（ii）.

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义,由，采用比较系数法,可解出a=1；

（2）（i）先判断出函数单调递增，利用零点存在定理即可求得；（ii）把题意转化为方程有根，求出在R上的值域，即可求得.

【详解】（1）因为，所以.

而，所以，解得：.

（2）（i）由（1）可得：.

因为在上为减函数，所以在上为减函数，

所以在上为增函数，所以在上为增函数.

又，

所以在上有唯一的零点0.

（ii）.

函数在R上有零点，即方程有根.

因为在R上为减函数，，所以.

由此可得：若函数在R上有零点，则的取值范围为.

【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用或;②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.

（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.