2022-2023学年江苏省常州市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省常州市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市第一中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．函数的定义域（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式组得出定义域.【详解】，解得即函数的定义域故选：C3．已知集合和集合，若，则中的运算“⊕”是（    ）A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法【答案】C【分析】用特殊值，根据四则运算检验．【详解】若，则，，，因此排除ABD．故选：C．4．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意对任意的，都有成立，所以函数在上为减函数，列出不等式组，求解即可.【详解】因为对任意的，都有成立，所以函数在上为减函数，，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C5．若函数，则函数的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值【详解】因为，所以.从而，当时，取得最小值，且最小值为.故选：D6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.7．已知，，则（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】利用换底公式，对数运算性质用以6为底的对数表示，可得答案.【详解】由换底公式，，则.因，则则.故选：B8．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果.【详解】，在上单调递减，又为偶函数，，，，解得：或，的解集为.故选：D. 二、多选题9．已知集合，，且，则实数的取值可以是（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】ABC【分析】首先求出集合，依题意可得，分、、三种情况讨论，分别求出参数的值.【详解】解：，集合表示方程的解集，因为，所以，当时方程无解，此时，符合题意，当，即，当，即，解得，综上可得或.故选：ABC10．下列说法正确的有（    ）A．命题“，”的否定为“，”B．对于命题：“，”则为“，”C．“”是“”的必要不充分条件D．“”是“对恒成立”的充分不必要条件【答案】ACD【分析】根据含有一个量词的命题的否定的规则判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D.【详解】解：对于A：命题“，”的否定为“，”，故A正确；对于B：命题：“，”则为“，”，故B错误；对于C：由推不出，当时，故充分性不成立，由，则，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；对于D：当时，当且仅当，即时取等号，因为，所以，因为对恒成立，所以，因为，所以“”是“对恒成立”的充分不必要条件，故D正确；故选：ACD11．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.【详解】由，分类讨论如下：当时，；当时，；当时，或；当时，；当时，或.故选：AB.12．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是（    ）A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝【答案】AB【分析】A.由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，根据b＜1，利用判别式判断；B. 令a＝1，b＝4，利用一元二次不等式的解法判断；C.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b判断；D．根据a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，则a≤ymin，x＝a，x＝b时函数值都是b．然后分别由b2－3b＋4＝b，a2－3a＋4＝b求解判断．【详解】由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0．所以不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确；当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4为x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b为x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确；在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误；由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b．由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4．当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．故选：AB【点睛】本题主要考查一元二次不等式与二次函数，二次方程的关系及应用，属于中档题. 三、填空题13．函数的定义域为,则的取值范围为______.【答案】.【分析】函数的定义域为实数集即的解集为R，即无解，令判别式小于0即可.【详解】由函数的定义域为，得无解，，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是基础题.14．已知，函数若，则___________.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】，故，故答案为：2.15．若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是______.【答案】-1【分析】转化为在上有解，即，配方后得到，从而求出，实数可取的最小整数值.【详解】命题“，”为真命题，则在上有解，只需，故当时，取得最小值，，所以，故实数可取的最小整数值为-1.故答案为：-116．已知，均为正数，且，则的最小值为__________．【答案】7【详解】∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．则=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．故选B.点睛：本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 四、解答题17．计算.（1）（2）【答案】（1）；（2）5．【分析】（1）根据幂的运算法则计算；（2）根据对数的定义计算．【详解】（1）原式＝；（2）原式＝．18．已知集合，，全集.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）先求得，然后求得（2）对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时，集合，或,所以.（2）由题意，，则①时，，∴；②，则且，解得，综上所述，或.19．已知函数（，为实数），若，且函数的值域为，是定义在上的奇函数，当时，有.(1)求的解析式；(2)若是上的单调函数，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，可得．再由的值域为，得到，由此求得、的值，即可求得的表达式，再根据奇函数的性质求出的解析式；（2）由（1）可得的解析式，再分别求出函数在各段的对称轴，根据函数的单调性及二次函数的性质计算可得．【详解】（1）解：因为，所以．又因为函数的值域为，所以，可得，解得，，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，当时，设，则，所以，即，所以.（2）解：由（1）可得，当时，对称轴为，当时，对称轴为，要使函数是上的单调函数，显然只能单调递增，所以，解得，即.20．已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)判断并证明在单调性；(3)已知为上的单调增函数，解不等式.【答案】(1)；(2)函数在单调递增，证明见详解；(3). 【分析】（1）根据偶函数定义代入，运算即得解；（2）利用函数单调性的定义判断证明即可；（3），即，结合函数单调性即得解.【详解】（1）由题意，函数定义域为，关于原点对称，且，即恒成立，故.（2）由（1）可得，函数在单调递增，证明如下：，不妨设，故，由，可得，即，故函数在单调递增.（3）由题意，由于为偶函数，故，即，又，故，又为上的单调增函数，故，解得，故不等式的解集为.21．已知函数（）．（1）若不等式的解集为，求的取值范围；（2）当时，解不等式；（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）分别讨论和两种情况求解，进而得到答案；（2）分，和三种情况分别讨论，进而解出不等式；（3）将问题转化为对任意的，不等式恒成立，进而通过分离参数得到答案.【详解】（1）①时，，不合题意，舍去；     ②时，.综上：.（2）即，所以，①时，解集为：；②时，，因为，所以解集为：；③时，，因为，所以解集为：.（3）因为不等式的解集为，且，即对任意的，不等式恒成立，即恒成立，因为，所以，设，所以，当且仅当时取“=”.所以的最大值为：，所以.22．已知函数.(1)若，求不等式的解集；(2)当函数恰有两个零点时，求的值；(3)若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)或(3) 【分析】（1）根据绝对值的定义，分类去掉绝对值，分情况建立不等式，结合基本不等式以及二次不等式，可得答案；（2）根据零点的性质，问题等价于函数求交点，分、、三种情况，进行讨论，利用函数的单调性，研究其最小值，建立方程，可得答案；（3）由（2）分为与两种情况，利用单调性求其最小值，可得答案.【详解】（1）由，则，当时，，可得，由，当且仅当时等号成立，显然不等式恒成立；当时，，可得，则，解得；综上，可得.（2）由题意，等价于函数与直线恰有两个交点，①当时，，在上，令，整理可得，，且当时，，故函数与直线在必存在一个交点；当时，易知函数在上单调递减，则，令，解得，在时，，当且仅当时等号成立，，则在上恒成立，令解得，则在上，当时，函数与直线有唯一交点；当时，，此时函数与直线在上有两个交点，不符合题意.②当时，同上函数与直线在必存在一个交点，由（1）可知在上，，当且仅当时，等号成立，不符合题意.③当时，，在上，当且仅当时等号成立，此时函数与直线无交点；当时，任意取，令，，由，可知，，则，，，则，故函数在单调递减，，易知此时函数与直线在上存在唯一一个交点，不符合题意；当时，在上，，当且仅当时等号成立，令，解得，此时函数与直线在上恰有两个交点，符合题意；综上，或.（3）由（2）易知，当时，在上，，符合题意；当时，任意取，令，，由，可知，则，即，故，可得在单调递增，即，由（2）可知，此时在上，，故在上，令，解得，综上，.