2022-2023学年江苏省洪泽中学等六校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省洪泽中学等六校高一上学期期中联考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 函数的定义域为， 已知，，则的最小值为， 已知，则关于的不等式的解集为， 若，则下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022—2023学年第一学期高一年级期中考试数学试卷一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.）1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的含义即可得到答案.【详解】根据交集的含义可得.故选：C.2. 函数的定义域为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.【详解】因为，所以，解得，故，所以的定义域为.故选：D.3. 设a，b∈R，则“”是“且”的（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念，不等式的性质即可得解.【详解】当“且”成立时，“”一定会成立， 当“”成立时，但“且”不成立，例如时，所以“”是“且”的必要而不充分条件.故选：B.4. 为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择.现已知甲､乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（    ）A. 6 B. 8 C. 9 D. 12【答案】C【解析】【分析】利用列举法即可得解.【详解】不妨记“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”分别为，则这两位同学的报名方案有，共9种.故选：C.5. 已知函数，，以下说法中错误的是（    ）A. 的值域为 B. 在上单调递增C. 的对称轴为 D. 方程有且只有1个根【答案】A【解析】【分析】对分段函数进行分类讨论得，作出图像，一一代入选项进行判断即可.【详解】当时，，当时，，当时，，故，作出图像如图所示：由图得显然其值域为，故A错误，当时，，其单调递增，故B正确，由图得其对称轴为，故C正确，当时，，解得，不合题意，舍去，当时，，解得，符合题意，当时，，无解，舍去，故D正确，故选：A.6. 已知，，则的最小值为（    ）A. 2 B. 3 C. 6 D. 9【答案】A【解析】【分析】直接利用基本不等式即可得解.【详解】因为，，所以，即，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A.7. 已知，则关于的不等式的解集为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分类讨论、与三种情况，由题设不等式与分段函数得到关于的不等式，解之即可得到所求.【详解】因为，当时，，故由得，解得，故；当时，，故由得，整理得，解得，故；当时，，故由得，解得，故；综上：，即的解集为.故选：B.8. 我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（    ）A.  B.  C. 7 D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得，则得到，解出即可.【详解】由题意,令,则,整理得，解得，，，故选：B.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，少选得2分，错选或不选得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上.）9. 若，则下列说法中正确的是（    ）A. 当n为奇数时，b的n次方根为a B. 当n为奇数时， C. 当n为偶数时，b的n次方根为a D. 当n为偶数时，【答案】ABD【解析】【分析】根据数的次方根的相关定义与运算一一进行判断即可.【详解】当为奇数时，的次方根只有1个，为，即，故AB正确，当为偶数时，由于，所以的次方根有2个，为.所以C错误，即，故D正确.故选：ABD.10. 给出以下四个命题，其中为真命题的是（    ）A. 函数y=与函数y=·表示同一个函数B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为C. 若函数是奇函数，则函数也是奇函数D. 函数在上是单调增函数【答案】BC【解析】【分析】通过具体函数求解定义域即可判断A，抽象函数求定义域即可判断B，利用函数奇偶性的判定方法即可判断C，利用反比例函数单调性即可判断D.【详解】对A选项，，，或，故其定义域为，而后者，，解得，其定义域为，定义域不同，故函数不同，所以A错误；对B选项，，所以函数的定义域为，故B正确；对C选项，设，根据为奇函数，则定义域关于原点对称，且 ，故其为奇函数，C正确，对D选项，反比例函数在,上单调递增，不能取并集，中间应用逗号或者“和”隔开，故 D错误.故选：BC.11. 已知，，则下列表达式正确的是（    ）A. ，  B. 的最小值为3C. 的最小值为8 D. 的最小值为4【答案】ACD【解析】【分析】对A，通过用表示以及用表示，即可求出范围，对B，对等式变形得，利用乘“1”法即可得到最值，对C直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出最小值，对D通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.【详解】对A选项，，即，则， 则，且解得，，则则，且，解得，故A正确；对B选项，，两边同除得，则，当且仅当，且，即时等号成立，故B错误；对C选项，，，解得，故，当且仅当，且，即时等号成立，故C正确；对D选项，由A选项代入得，当且仅当，，即时，此时时，等号成立，故D正确.故选：ACD.12. 若函数为上的单调函数，且满足对任意，都有，则的值可能为（    ）A. 4 B. 6 C. 7 D. 10【答案】CD【解析】【分析】由的单调性及可得，从而得到关于的方程，解之可得到的解析式，进而得到的值.【详解】因为为上的单调函数，且满足对任意，都有，所以，则，且，故，解得或，当时，，则；当时，，则；综上：的值可能为或.故选：CD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第14题有两空，第一空2分，第二空3分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）13. 若，则的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】利用不等式的性质逐步计算即可.【详解】因为，所以，则，又因为，所以，故的取值范围为.故答案为：.14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则[f(2)]＝________；函数y＝[f(x)]的值域是_______．【答案】    ①. 1    ②. {1，2，3}【解析】【分析】根据题意，结合新定义的函数概念，即可求解.【详解】因为，所以；，因，所以，所以，[x]表示不超过x的最大整数，所以.故答案为：1；{1，2，3}15. 若一个18位整数的25次方根仍是一个整数，则这个25次方根是___________.（参考数据：，）【答案】5【解析】【分析】首先假设这个数为，根据数的表示特点，则得到，再利用对数运算和题目所给的约分值，得到，即可得到整数.【详解】设这个18位整数为（为整数），则，取10为底的对数有，即，即，又，，所以，为整数，，故答案为：5.16. 已知，不等式的解集为P，若，则a的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】将代入分式不等式得到相反结论，同时注意分母为0的情况，解出即可.【详解】或,解得或,故答案为：.四､解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17. 求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）    （2）1【解析】【分析】（1）利用指数幂运算法则计算即可；（2）利用对数运算法则计算即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式.18. 已知集合A={x|-1<x≤a，a>0}，B={y|y=|x|，x∈A}，C={z|z=x2，x∈A}.（1）若a=1，求B∩C；（2）若C⊆B，求实数a的取值范围.【答案】（1）{x|0≤x≤1}    （2）0<a≤1【解析】【分析】（1）根据集合交集的定义进行求解即可；（2）根据子集的性质，分类讨论进行求解即可.【小问1详解】当a=1时，A={x|-1<x≤1}，则B={y|y=|x|，x∈A}={x|0≤x≤1}，C={z|z=x2，x∈A}={x|0≤x≤1}，因此B∩C={x|0≤x≤1}；【小问2详解】①当0<a<1时，得B={x|0≤x<1}，C={x|0≤x<1}，满足C⊆B，故0<a<1；②当a≥1时，得B={y|y=|x|，x∈A}={x|0≤x≤a}，C={z|z=x2，x∈A}={x|0≤x≤a2}，因为C⊆B，所以a2≤a，解得0≤a≤1，故a=1；综上，0<a≤1.19. 已知命题p：≥x-1，命题q：x2-3ax+2a2<0，其中a∈R且a≠0.（1）若p为真，求x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求a的取值范围.【答案】（1）2≤x≤3；    （2）【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可；（2）根据充分条件的性质进行求解即可.小问1详解】对命题p而言，当p为真时，即≥x-1，因为x≥，所以x-1>0，所以3x-5≥x2-2x+1，即x2-5x+6≤0，所以2≤x≤3；【小问2详解】对命题q而言，因x2-3ax+2a2<0，a≠0，所以（x-a）（x-2a）<0；当时，有，因为p是q的充分条件，所以有，当时，有，因为p是q的充分条件，所以有，综上所述：a的取值范围.20. 某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题.（1）求的解析式；（2）若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可.【小问1详解】因为，代入①得，，所以，故，又由③得，，所以b=3；因此，经检验，，满足题干所给条件，所以；【小问2详解】因为方程恰有3个实数根，显然0其一个实数根，所以方程恰有2个非0实数根，即方程恰有2个实数根，且两根非，由可得，，又由均不是此方程的根，则，所以，m的取值范围为.21. 新能源汽车具有节约燃油能源､减少废气排放､有效保护环境等优点.据统计，截至2022年9月底，我国新能源汽车保有量为1149万辆，占汽车总保有量的3.65%.小杨哥准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作为出租车（不作它用），根据市场调查，此汽车使用年的总支出为万元，每年的收入为5.25万元.（1）此汽车从第几年起开始实现盈利？（2）此汽车使用多少年报废最合算？（①利润=收入-支出；②出租车最合算的报废年限一般指使年平均利润最大时的使用年数）【答案】（1）第3年起开始盈利    （2）使用6年报废最合算【解析】【分析】（1）表达出，，由，解出答案；（2）设汽车使用n年的年平均利润为z万元，表达出，利用基本不等式求出最值，得到此汽车使用6年报废最合算.【小问1详解】设此汽车使用n年的总利润为y万元，则，，由得，，解得，所以从第3年起开始盈利；【小问2详解】设此汽车使用n年的年平均利润为z万元，则因为，由基本不等式得：，所以，当且仅当，即时取等号，答：所以此汽车使用6年报废最合算.22. 已知函数f（x）=.（1）若对任意x∈[2，4]，不等式f2（x）+p·f（x）+1≥0恒成立，求实数p的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x-3）+，是否存在实数m､n（m<n），使得F（x）在区间[m，n]上值域为[m，n]？若存在，求出m､n的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）p≥-    （2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）恒成立问题：分离参数求最值，应用换元法转化成新函数，再用定义法研究函数的单调性（或对勾函数），从而研究函数的最值，即可得结果.（2）先研究的单调性来确定F（m）=m，F（n）=n，转化为研究在[3，+∞）上有两不等根，整理后转化为一元二次方程根的个数，由来确定是否成立.【小问1详解】因为对任意，恒成立，所以，令 ，则 ，方法1： 且则 ∵且，∴，，∴， ∴在上单调递减， ∴∴方法2：由对勾函数可画的草图，如图所示，∴在上单调递减， ∴∴.【小问2详解】不存在实数m､n（m<n），使得F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n].理由：假设存在m､n（m<n），使得F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，因为F（x）=f（x-3）+=+，x≥3，显然F（x）在[3，+∞）上单调递增，因为F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，所以F（m）=m，F（n）=n，即方程F（x）=x在[3，+∞）上有两不等根，即+=x，即4x2-16x+21=0，又∵ ∴此方程无解，故假设不成立，即不存在实数m､n（m<n），使得F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n].