2022-2023学年江苏省淮安市淮阴中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省淮安市淮阴中学高一上学期期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了 已知全集为，若集合，集合，则， 设，则的大小关系是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
高一数学一､单选题1. 已知全集为，若集合，集合，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先由指数函数的值域化简集合，再解二次不等式化简集合，从而利用集合的交集运算求得结果.【详解】因为，或，所以.故选：C.2. 若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（    ）A.  B. 0 C. 1 D. 3【答案】B【解析】【分析】转化为最值问题求解，【详解】由题意得在上有解，当时，取最小值，则，故可取的最小整数值为0，故选：B3. 设实数，，满足，，则下列不等式成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由不等式的性质对选项逐一判断，【详解】对于A，，则，故A错误，对于B，，，则，故B正确，对于C，，则，，故C错误，对于D，，则，，，故D错误，故选：B4. 纳皮尔发明了对数，拉普拉斯说对数的发明“以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”.如，（参考数据：），则下列各数中与最接近的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由对数的运算性质求解，【详解】由，，故选：B5. 奇函数在上单调递增，若正数，满足，则的最小值（    ）A. 3 B.  C.  D. 【答案】D【解析】分析】由题意可得，再根据结合基本不等式即可得解.【详解】因为奇函数在上单调递增，且，所以，故，即，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.6. 已知幂函数，，若有下列四个判断：①定义域是；②值域是；③该函数是偶函数；④在单调递增，其中恰有三个正确，不正确的是（    ）A. ① B. ② C. ③ D. ④【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的定义域，值域，奇偶性以及单调性，分析后即可判断和选择.【详解】幂函数，定义域为，值域为，且为偶函数，但在上单调递减，其满足①②③，不满足④.故选：D.7. 设，则的大小关系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性可得，利用指数幂运算可知，再利用幂函数的单调性可得，由此得解.【详解】因为在上单调递减，所以，即，因为在上单调递增，又，即，所以，即，故，所以.故选：A.8. 已知集合，若是的子集，且同时满足：①若，则；②若，则；则集合的个数为（    ）A. 8 B. 16 C. 20 D. 24【答案】B【解析】【分析】由补集与子集的概念求解，【详解】由题意当时，，当时，，当时，，当时，，元素5与7没有限制，则集合的个数等于的子集个数，集合有个子集，集合可以为：，， ，，，，，，，，，，，，，，共16个，故选：B二､多选题9. 下列说法正确的是（    ）A. “”的充要条件是“”B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题“，”否定是“，”D. 的值域是.【答案】BC【解析】【分析】对AB：从充分性和必要性，结合等式和不等式性质，即可判断；对C：根据命题的否定的求解方法，改写命题即可判断；对D：分离参数，利用不等式法即可求得函数值域.【详解】对A：当时，无法得到，故充分性不满足，A错误；对B：等价于，即或，故当时，可得或；满足充分性；当或时，不一定有，必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件，B正确；对C：命题“，”的否定是“，”，故C正确；对D：，因为，则，则，，故的值域为，D错误.故选：BC.10. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（    ）A. ， B. 的值域为C. 若，则 D. 若，且，则【答案】AD【解析】【分析】过原点得，由时，，可判断A；由可判断B；画出的图象可判断C；由为偶函数可判断D.【详解】∵过原点，∴，∴①，又∵时，，∴时，，由题知图象无限接近直线，则②，由①②知，，故A正确；所以，，，所以B错误；的图象如下：由图知，在上单调递减，因为，则，故C错误；∵，∴为偶函数，又∵，且， 在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，故D正确.故选：AD.11. 下列说法正确的有（    ）A. 若，则B. 若，则C. 若正数，满足，则的最大值是D. 若实数，，满足，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，举反例即可排除；对于B，利用基本不等式即可判断；对于C，利用完全平方公式推导得，从而求得，由此即可判断；对于D，利用换元法及对指数互换推得，再利用换元法解二次不等式得到，从而得到的最小值为.【详解】对于A，令，则，故A错误；对于B，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则，故B正确；对于C，因为，，所以，即，故，注意，该不等式对于任意的皆成立，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以，即的最大值是，故C正确；对于D，因为，，，令，则，，故，所以，由于，故不等式两边同时除以，得，即，令，则，解得或（舍去），所以，即的最小值为，故D正确.故选：BCD.12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（    ）A. ，B. ，C. ，，若，则有D. 方程的解集为【答案】BCD【解析】分析】对于A：取，不成立；对于B：设， ,讨论 与求解；对于C：，，由得证；对于D：先确定，将代入不等式得到的范围，再求得值.【详解】对于A：取，，故A错误；对于B：设,，当时，，，则 ， 则，,故当时成立.当时，，则 ，则，故当时成立.综上B正确.对于C：设，则，，则，因此，故C正确;    对于D：由知，一定为整数且 ，所以，所以，所以 ，由得，由解得 ，只能取，由解得 或(舍)，故，所以或，当时，当时，所以方程的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时因为不是一个确定的实数,可设，处理.(3)求由构成的方程时先求出的范围,再求的取值范围.(4)求由与混合构成的方程时,可用放缩为只有构成的不等式求解.三､填空题13. 函数的定义域为___________.【答案】【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解.【详解】因为，所以，解得，故且，所以的定义域为.故答案为：.14. 已知，，则可用，表示为___________.【答案】【解析】【分析】先利用指数式和对数式互化得到，再用换底公式得到再转化为表示.【详解】因为，所以，又因为，所以，由换底公式可得：.故答案为：.15. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】因为，故，而的解析式要分讨论，再解不等式即可.【详解】因为，故，当时，，此时为增函数，由知，故恒成立；当时，，由得，解得，综上：.故答案为：.16. 已知函数是定义在上的单调函数，且对，都有.若，则___________；若关于的方程有两不等实根，则的取值范围是___________.【答案】    ①. ；    ②. .【解析】【分析】根据的单调性可令为常数，再结合已知条件，求得以及，即可结合已知条件，求得；画出的图象，数形结合，即可求得参数的范围.【详解】根据题意，为常数，不妨令其为，故，且，则，解得，故；若，即，解得；若，即，由题可知，与的图象有两个不同的交点，在同一直角坐标系下，两个函数图象如下所示：数形结合可知，，当时满足题意，故的取值范围是：.故答案为：；.三､解答题17. 已知，，其中.（1）当时，求和；（2）若___________，求实数的取值范围.请从①；②，；（3）“”是“”的必要条件；这三个条件中选择其中一个填入（2）中横线处，并完成第（2）的解答.【答案】（1），；    （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求得集合，结合集合的交运算和并运算，即可求得结果；（2）选择①，根据集合的包含关系，列出关于的不等式，即可求得参数范围；选择②，根据一次不等式恒成立，结合一次函数单调性，即可求得结果；若选择③，同①所求.【小问1详解】当时，，又所以，【小问2详解】若选①：，则，当时，集合，要满足题意，需，解得；当时，集合为空集，不满足题意；当时，集合，要满足题意，需，显然无解；综上所述，若选择①，则. 若选②：任意的，都有，当时，该不等式恒成立；当时，，所以；综上所述，；若选③：则，同①所求，.18. 已知函数（且）在区间上的最大值是16，（1）求实数的值；（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；（2）根据的定义域是，由恒成立求解．【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数，因此当时，函数取得最大值16，即，因此．当时，函数在区间上是增函数，当时，函数取得最大值16，即，因此．（2）因为的定义域是，即恒成立．则方程的判别式，即，解得，又因为或，因此．代入不等式得，即，解得，因此实数的取值范围是．19. 双“11”期间，某商场为了激励销售人员的积极性，决定根据业务员的销售额发放奖金（奖金和销售额的单位都为万元），奖金发放方案要同时具备下列两个条件：①奖金随销售额的增加而增加；②奖金金额不低于销售额的.经测算该企业决定采用函数模型作为奖金发放方案.（1）若，，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由.（2）若，要使奖金发放方案满足条件，求实数的取值范围.【答案】（1），时不满足条件，理由见解析；    （2）.【解析】【分析】（1）根据解析式直接判断单调性，结合特殊值的函数值，即可判断是否满足题意；（2）根据解析式直接判断单调性，结合条件②的限制，以及不等式在区间上恒成立，即可求得参数的范围.【小问1详解】当，时，，因为在上单调递增，且也在上单调递增，所以在上单调递增，满足条件①；若奖金金额不低于销售额，则，当时，不等式不成立，不满足条件②故，时不满足条件.【小问2详解】当时，函数，因为，都是上的单调增函数，所以在上单调递增，奖金发放方案满足条件①.由条件②可知，即在时恒成立，所以，在时恒成立，在单调递增，在单调递减，当时，，当时，，即在上的最小值为，所以，所以要使奖金发放方案满足条件，的取值范围为.20. 设是定义在上的函数，且对任意，，恒有且时，.（1）求的值；（2）证明函数在上单调递增；（3）若，且，求实数的取值范围.【答案】（1）    （2）证明见解析    （3）【解析】【分析】（1）令求得的值；（2）由得，故可用上式展开即能得到的大小关系； （3）利用已知条件将化为的形式，由的单调性解不等式.【小问1详解】令，得，所以；【小问2详解】任意的，令，因为，所以，，，所以在上单调递增小问3详解】因为，所以，，原不等式即为，由在上单调递增故，解得21. 已知函数，.（1）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围；（2）对于，求函数在上的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）构造函数，由题设条件可得在上单调递增，结合二次函数的性质即可求得的取值范围；（2）先将表示成分段函数，当时，利用二次函数的性质可求得的最小值，当时，利用轴动区间动分类讨论端点与对称轴的大小关系，给合二次函数的性质求得在的最小值，从而求得在上的最小值.【小问1详解】因为对任意，，恒成立，即，令，则，所以在上单调递增，当时，，显然在上单调递减，不满足题意，舍去；当时，由二次函数的性质可知开口向上，对称轴，即，所以，即.【小问2详解】由题意得，，①当时，，因为，所以开口向上，对称轴，所以在单调递增，故；②当时，，则开口向上，对称轴为，当，即时，在上单调递增，故，又由①可知，所以在上，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，若，即时，；若，即时，.综上：.【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．22. 已知函数为定义域内的奇函数.（1）求的值；（2）设函数，若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）根据是奇函数，由特殊值的函数值求得参数，再验证即可；（2）对参数的取值分类讨论，根据指数型复合函数的单调性，结合函数最值，即可求得结果.【小问1详解】因为，是奇函数，所以，解得，此时，是奇函数.故.【小问2详解】当时，，故，则，又因为恒成立；故当时，恒成立，符合条件.当时，当时，根据复合函数单调性可得在上单调递增，，所以，令，因为都在上单调递增，故在单调递增，又，所以；当时，根据复合函数单调性可得在单调递增，在单调递减，故，所以令，都是上的单调递增函数，故也是上的单调增函数，又当时，，故在上恒成立，故在无解，即不满足条件；综上所述，.