2022-2023学年江苏省淮安市马坝高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省淮安市马坝高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合 ， ，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用并集运算法则进行计算.

【详解】

故选：D

2．下列函数是幂函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数概念即可得解.

【详解】因为函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数，

对于A，是二次函数；

对于B，是一次函数；

对于C，，由前的系数不为，故不是幂函数；

对于D，满足幂函数的概念，故是幂函数.

故选D.

3．函数的定义域为（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.

【详解】由函数解析式有意义可得

且，

所以函数的定义域是且，

故选：D.

4．已知指数函数的图象过点，则（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】由指数函数过点代入求出，计算对数值即可.

【详解】因为指数函数的图象过点，

所以，即，

所以，

故选：C

5．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分性和必要性的判断即可得出结论.

【详解】，不满足充分性；

，满足必要性.

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

6．已知，则（    ）

A．27 B．7 C．15 D．25

【答案】B

【分析】将展开即可得到结果.

【详解】由已知得，，

所以，.

故选:B.

7．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.

【详解】不等式，即，

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；

当时，不等式解集为，此时不符合题意；

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；

故实数m的取值范围为．

故选：C

8．已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．

【详解】因为偶函数在区间上单调递增，

所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，

因为，

所以，解得：.

故选：A．

二、多选题

9．下列各组函数不是同一组函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】利用相等函数定义对选项进行判断得解.

【详解】A. 定义域为 ，定义域为    , 不是同一组函数

B. 定义域为,定义域为不是同一组函数

C. 定义域为,对应关系一致    , 是同一组函数

D. 定义域为定义域为,不是同一组函数

故选：ABD

【点睛】相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

10．已知，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BC

【分析】利用不等式的性质可判断AC，根据作差法可判断BD.

【详解】对于A选项，若，则，故A错误；

对于B选项，因为，，，所以，故B正确；

对于C选项，因为，所以，即，故C正确；

对于D选项，因为，，所以，故D错误．

故选：BC．

11．若函数满足），则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据奇偶性的定义判断即可.

【详解】解：因为，，均为奇函数，

所以，，均满足，故A、C、D正确；

对于B：，则，即为偶函数，

则，故B错误．

故选：ACD

12．设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（    ）

A．矩形的面积有最大值 B．的周长为定值

C．的面积有最大值 D．线段有最大值

【答案】BC

【分析】根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对钩函数的性质逐一判断即可.

【详解】设，则，因为，所以．

矩形的面积，

因为，所以无最大值．故A错．

根据图形折叠可知与全等，

所以周长为．故B正确．

设，则，有，即，得，，当时，取最大值．故C正确．，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D错误．

故选：BC．

【点睛】关键点睛：利用基本不等式的性质、对钩函数的性质是解题的关键.

三、填空题

13．设m为实数，若函数（）是偶函数，则m的值为__________.

【答案】0

【分析】根据函数的奇偶性的定义可得答案.

【详解】解：因为函数（）是偶函数，所以，

所以，得，所以，

故答案为：0.

14．______ ．

【答案】##

【分析】利用指数幂与对数运算即可求解.

【详解】.

故答案为：.

15．命题：的否定是__________.

【答案】

【分析】由全称命题的否定形式即可求解.

【详解】由题可知：

命题的否定为：.

故答案为：.

四、双空题

16．如图所示，定义域和值域均为R的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美．

（1）若在上有最大值，则a的取值范围是______；

（2）方程的解的个数为______．

【答案】     ；    

【分析】（1）利用数形结合思想，结合最大值的定义进行求解即可；

（2）利用换元法，结合数形结合法进行求解即可.

【详解】（1）由图象可知：该函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，

要想在上有最大值，则有，a的取值范围是；

（2）令，，或，

若，根据函数图象，可知该方程有三个不相等实根；

若，根据函数图象，可知该方程有一个实根，

所以方程的解的个数为，

故答案为：；

五、解答题

17．已知全集，集合.

(1)求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用补集及交集的定义运算即得；

（2）利用并集的定义可得，进而可得，即得.

【详解】（1）∵全集， ，

∴或，又集合，

∴；

（2）∵，，

∴，

又，，

所以，

故.

18．己知函数．

(1)判断的奇偶性；

(2)根据定义证明函数在区间上是增函数；

(3)当时，求函数的最大值及对应的x的值．（只需写出结论）

【答案】(1)奇函数，理由见详解

(2)证明见详解

(3)当时，

【分析】（1）先求定义域，然后判断与的关系可得；

（2）按照取值，作差，定号，下结论逐步求证即可；

（3）根据（1）（2）中结论判断函数在上的单调性，然后可得.

【详解】（1）函数的定义域为

因为，

所以为奇函数.

（2）设，且

则

因为，且，

所以，

所以，即

所以函数在区间上是增函数.

（3）因为是奇函数，且在区间上是增函数

所以在上单调递增，

所以当时，

19．已知f（x）是定义在[－3，3]上的偶函数．

(1)设g（x）是定义在[－3，3]上的奇函数，将下面两个图补充完整；

(2)当时，讨论f（x）在[－3，m]上的值域．

【答案】(1)作图见解析

(2)当时，函数f（x）在上的值域为[－3m－5，4]，

当时，函数（x）在[－3，m]上的值域为[－2，4].

【分析】(1)根据偶函数图像关于轴对称，奇函数图象关于原点对称即可求解；

(2)根据图象，设其解析式，再根据图象上点的坐标列出方程组，解之即可求出函数解析式，然后根据图象进行分类讨论即可.

【详解】（1）补充完整的两个图如下图所示：

（2）由图可知，f（x）在[－3，－1]上的图象为线段，设其对应的解析式为，由题意可知：则，

解得，所以．

当时，f（x）在[－3，m]上单调递减，所以f（x）在[－3，m]上的最大值为4，最小值为f（m）＝，则f（x）在上的值域为[－3m－5，4]，

当时，由图可知（x）在[－3，m]上的值域为[－2，4]，

综上可知：当时，函数f（x）在上的值域为[－3m－5，4]，

当时，函数（x）在[－3，m]上的值域为[－2，4].

20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）

(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)百辆，最大利润为万

【分析】（1）根据题意分情况列式即可；

（2）根据分段函数的性质分别计算最值.

【详解】（1）由题意得当时，，

当时，，

所以,

（2）由（1）得当时，，

当时，，

当时，

，当且仅当，即时等号成立，

，时，，，

时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.

21．给定函数，若对于定义域中的任意x，都有恒成立，则称函数为“爬坡函数”.

(1)证明：函数是“爬坡函数”；

(2)若函数是“爬坡函数”，求实数m的取值范围；

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据“爬坡函数”的定义，判断在定义域是否恒成立即可.

（2）令有恒成立，讨论参数m结合二次不等式区间上恒成立求其范围.

【详解】（1）恒成立，则是“爬坡函数”.

（2）依题意，恒成立，

令，即在恒成立，

当，即，则只需满足，

当，即，则只需满足，

综上所述，实数m的取值范围为

22．已知a，b是常数，，，，且方程有且仅有一个实数根．

(1)求a，b的值；

(2)是否存在实数m，n，使得的定义域和值域分别为和?若存在，求出实数m，n的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，；

(2)存在，，．

【分析】(1)根据f(2)＝0列出一个关于a、b的方程，再根据方程方程的即可求解；

(2)求出f(x)在R上的值域，从而确定2n及n的范围，结合二次函数的图象性质即可列出关于m、n的方程，结合m、n的范围求解即可．

【详解】（1）由，，得，即2a＋b＝0，

又方程，即有且仅有一个实数根，

∴，解得，；

（2）假设存在符合条件的，

由(1)知，则有，即，

由一元二次函数图象的特征，

得，即，解得，

∴存在，，使得函数在上的值域为．