2022-2023学年江苏省连云港市新海高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市新海高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合，集合，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由指数函数性质解不等式，由交集的概念求解，

【详解】由得，则，，

故选：B

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求解，由充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】由题意，，解得或，

故“”推不出“”， 而“”可推出“”，

即“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．某校为调查学生参加研究性学习的情况，从全校学生中随机抽取名学生，其中参加“数学类”的有名，既参加“数学类”又参加“理化类”的有名，“数学类”和“理化类”都没有参加的有名，则该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用集合的韦恩图，列出方程，求得只参加“理化类”的学生人数，进而求得参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值.

【详解】设参加“数学类”的学生人数构成集合，参加“理化类”的学生人数构成集合，其中只参加“理化类”的学生人数为人，样本100人构成全集，

根据题意,可得，解得，

所以参加“理化类”的学生人数为人，

所以参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是.

故选：C.

4．若a，b，c∈R，c>0>a>b，下列不等式一定成立的是（　　　）

A．ab2>a2b B．ac < bc

C． D．a2>b2

【答案】C

【分析】根据题干条件，作差法依次判断即可.

【详解】选项A，由于，故，即，错误；

选项B，由于，故，即，即，错误；

选项C，由于，故，故，即，正确；

选项D，由于，故，故，即，错误.

故选：C

5．已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（　　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由分段函数单调性列式求解，

【详解】由题意得在上单调递增，

则，解得，

故选：C

6．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用指数和分式的性质，逐个判断选项即可

【详解】当时，，所以，的两条渐近线为y=1和，排除A和B,

因为，所以，因此去掉C，

故选D

【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．

7．已知小于2的正数x，y满足关系式，则+的最小值为（　　　）

A．4 B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，则原式等价于，利用复合函数单调性分析可得在单调递增，即，转化，结合均值不等式，即得解.

【详解】由题意，

即，

记函数，

由于二次函数在单调递增，在单调递增，故在单调递增，且在单调递增，故在单调递增，

故，由于，故，即，

则，

当且仅当，即时等号成立.

故选：A

二、多选题

8．下列函数是奇函数且在（0，+∞）上是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．y =x|x-2|

【答案】A

【分析】利用函数奇偶性的定义以及单调性的定义，可得答案.

【详解】对于A，，则为奇函数，任意取，令，，故为增函数，故A正确；

对于B，，则为偶函数，故B错误；

对于C，，则为奇函数，任意取，令，，故为减函数，故C不正确；

对于D，，取，，，则函数为非奇非偶函数，故D错误.

故选：A.

9．已知实数a，b均大于0，且a +b=1，则下列说法正确的是（　　　）

A．ab的最大值为 B．的最大值为

C．a2 + b2的最小值为 D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．

【详解】因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，故有最大值，A正确；

因为，当且仅当时取等号，

故，即有最大值，故B正确；

因为，当且仅当时取等号，所以有最小值，故C正确，

的最小值为，故D错误．

故选：ABC．

10．下列说法不正确的是（　　　）

A．命题“，都有”的否定是“，使得”

B．集合，，若，则实数的取值集合为

C．方程有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是

D．不等式对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是

【答案】ABD

【分析】由全称命题的否定，集合的运算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式恒成立对选项逐一判断，

【详解】对于A，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误，

对于B，当时，满足题意，故B错误，

对于C，令，由得，即，故C正确，

对于D，当时，不等式对一切实数x恒成立，故D错误，

故选：ABD

11．函数（e为无理数，且e = 2.71828…），则下列说法中正确的是（　　）

A．函数的图象关于直线对称

B．若函数在区间上不单调，则k的取值范围为

C．若对任意恒成立，则m的取值范围为

D．若函数在区间上的取值范围为，则的范围为

【答案】ABC

【分析】由函数的对称性，单调性，值域与最值对选项逐一判断，

【详解】对于A，，则的图象关于直线对称，故A正确，

对于B，当时，，由指数函数性质得在上单调递增，同理得在上单调递减，

若在区间上不单调，则，得，故B正确，

对于C，若对任意恒成立，则，故C正确，

对于D，，，

若函数在区间上的取值范围为，由函数的单调性得m的取值范围，故D错误，

故选：ABC

12．已知定义域为R的函数,及关于x的方程，则下列说法正确的是（    ）

A．当k>0时，若方程有且仅有3个不同解，则1+a+b=0

B．当k <0时，若方程有且仅有3个不同解，则1-a+b=0

C．当k <0时，方程最多有4个不同解，当k>0时，方程最多有5个不同解

D．当k>0时，若方程有且仅有5个不同解，则实数b的取值范围是（0，+∞）

【答案】AC

【分析】由题意，分与两种情况作图，根据函数与方程的关系，逐个验证，可得答案.

【详解】当时，，则关于直线对称，

当时，，其图象如下：

当时，，其图象如下：

对于A，由方程有且仅有3个不同解，可得为其中的一个解，则，，故A正确；

对于B，由方程有且仅有3个不同解，则有两个值，

由，结合图象，则其中一个为，另外一个小于零，此时可得不一定满足方程，故B错误；

对于C，由图象，当时，若存在两个不相等且小于零的值满足方程，则方程有四个根；当时，当存在一个不为且大于零的值与1满足方程时，方程有个根，故C正确；

对于D，若方程有个不同的根，则且有两个不相等的值，其中一个为满足方程，

等价于方程有两个不相等且大于零的根，其中一个为，则，

将，代入，则，

由两个根大于零，则，故，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．函数的定义域为 _________ .

【答案】

【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案.

【详解】由题意，可得，解得，则定义域为.

故答案为：.

14．已知幂函数在区间上单调递减，则实数的值为______.

【答案】

【分析】根据幂函数的概念，求得，再结合幂函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，幂函数，可得，解得或，

当时，函数在区间上单调递增，不符合题意；

当时，函数在区间上单调递减，符合题意，

所以实数的值为-.

故答案为：-.

15．已知函数f（x）= ax2 + 2x + 3（a≠0），对任意的x1，x2∈[a，a + 2]，总有|f（x1）- f（x2）|≤12成立，则实数a的取值范围是 _________ .

【答案】

【分析】由函数解析式，明确函数的对称轴，分与两种情况，研究区间与对称轴之间的关系，进而得到单调性，结合二次不等式的求法，可得答案.

【详解】由，则其对称轴为直线，

当时，，则函数在上单调递增，对于任意，，

由题意，可得，，，，解得，故；

当时，，则，

即函数在上单调递增，同理解得.

综上，.

故答案为：

四、双空题

16．函数是定义域为的奇函数，当时，，则当时， _________ ；函数的单调递增区间为 _________ .

【答案】          ，

【分析】令，则，根据时，函数的解析式结合函数为奇函数即可求出函数解析式；根据二次函数的单调性即可求出函数的增区间.

【详解】解：因为函数是定义域为的奇函数，所以，

当时，则，

则，

所以当时，，

当时，函数的单调增区间为，

当时，函数的单调增区间为，

所以函数的单调递增区间为，.

故答案为：；，.

五、解答题

17．求下列各式的值:

(1)已知，求的值.

(2)求值:

【答案】(1)7

(2)117

【分析】（1）将已知两次平方即可得解；

（2）根据根式与分数指数幂的互化及指数幂的运算性质计算即可.

【详解】（1）解：因为，

所以，即，

所以，则，即，

所以；

（2）解：

.

18．已知命题实数满足，命题实数满足

(1)若命题为假命题，求实数x的取值范围；

(2)若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由命题为假命题，可得，解不等式即可得出答案；

（2）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，由命题是命题的必要不充分条件，可得，列出不等式即可得出答案.

【详解】（1）解：命题为假命题，

则，解得，

所以实数x的取值范围为；

（2）解：由题意，命题或，

设其对应的集合为，则或，

命题或，

设其对应的集合为，则或，

因为命题是命题的必要不充分条件，

所以，

所以（不同时取等号），解得，

所以实数的取值范围为.

19．已知集合，集合

(1)求；

(2)设函数，若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据反比例函数及二次函数得性质分别求出集合，再根据交集、并集和补集得定义即可得解；

（2）方程在上有解，即为方程在上有解，利用基本不等式求出的范围即可得解.

【详解】（1）解：由，得，

则，则，

所以，

由，

则当时，，

则，

所以，

所以，

所以；

（2）解：由，得，

方程在上有解，

即为方程在上有解，

即为方程在上有解，

因为，所以，

故，

当且仅当，即时，取等号，

所以.

20．新能源开发能够有效地解决我国能源短缺和传统能源使用带来的环境污染问题，国家新能源政策的出台，给新能源产业带来了春天，已知浙江某新能源企业，年固定成本600万，每生产台设备，另需投入成本t万元，若年产量不足100台，则；若年产量不小于100台，则，每台设备售价150万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.

（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（台）的关系式；

（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？

【答案】（1）；（2）110台.

【解析】（1）分年产量不足100台和年产量不小于100台两种情况进行分析，利润=总收入-总投入，即得结果；

（2）讨论分段函数最值，即得结果.

【详解】解：（1）依题意，若年产量不足100台，另外投本，固定投本600万，总收入150x万元，故利润；若年产量不小于100台，另外投本，固定投本600万，总收入150x万元，故利润.

故；

（2）当时，，在对称轴处，取得最大值，；

当，时，，对勾函数在上递减，在上递增，故时，利润取得最大值，，

综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3660万元.

【点睛】本题解题关键是能准确根据利润=总收入-总投入，得到利润的分段函数，再求分段函数的最值即突破难点.

21．已知函数为定义域上的奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)已知函数的定义域为，且满足，利用定义证明函数在定义域上单调递增:

(3)当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)证明见解析，

(3)

【分析】（1）由奇函数的定义求解，

（2）由单调性的定义证明，

（3）参变分离后转化为最值问题求解，

【详解】（1）的定义域为，

由，即，得，故，

（2），则，

设，且，则，

而，故，则，

故在单调递增，

（3）时，，

故即，

设，则对恒成立，

因为在上单调递增，

所以当时，取最大值，故，

即的取值范围是

22．已知，函数，

(1)求在上的最小值；

(2)若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对称轴与区间关系分类讨论求解，

（2）转化为最值问题分类讨论求解，

【详解】（1）的对称轴为，

①当即时，最小值，

②当即时，最小值，

③当即时，最小值，，

综上，

（2）由题意得，

，由得，故在单调递减，在单调递增，

同理得在上的最小值

解不等式，

①当时，，即，解得，

②当时，，解得，

③当时，，解得，

④当时，此时，，故无解，

⑤当时，同理得无解，

综上，的取值范围为