2022-2023学年江苏省南通市启东中学高一上学期期中数学试题

2022-2023学年度江苏省启东中学高一期中考试（数学）

一､单选题（本大题共8小题，共分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.对于全集的子集，若是的真子集，则下列集合中必为空集的是（）

A.B.

C.D.

2.已知集合，且，则实数的取值范围是（）

A.B.

C.D.

3.已知实数满足，则的取值范围是（）

A.B.

C.D.

4.因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油·现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定问哪种加油的方案更经济（）

A.甲方案B.乙方案C.一样D.无法确定

5.若为实数，则“”是“为奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

7.已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（）

A.是奇函数

B.是偶函数

C.关于点对称

D.关于直线对称

8.已知函数的定义域为区间，其中，若的值域为，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

二､多选题（本大题共4小题，共分.在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的是（）

A.若，则“”是“”的必要不充分条件

B.“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件

C.“”是“”的充分不必要条件

D.若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022

10.设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交DC于点，如图，则下列说法正确的是（）

A.矩形的面积有最大值

B.的周长为定值

C.的面积有最大值

D.线段PC有最大值

11.已知，则的值不可能是（）

A.B.

C.D.

12.已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（）

A.B.

C.D.

三､填空题（本大题共4小题，共分）

13.已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数的最大值为__________.

14.已知，下面四个结论：

①；

②；

③若，则；

④若，则的最小值为；

其中正确结论的序号是__________.（把你认为正确的结论的序号都填上）

15.关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__________.

16.已知函数，那么__________，若存在实数，使得，则的个数是__________.

四､解答题（本大题共6小题，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

计算下列各式：

（1）

（2）

18.（本小题12.0分）

设集合或.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.

19.（本小题12.0分）

已知命题；命题

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题与均为假命题，求实数的取值范围.

20.（本小题12.0分）

十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元，且.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售额成本）

（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

21.（本小题12.0分）

设函数且是定义域为的奇函数.

（1）求的值.

（2）判断并证明当时，函数在上的单调性；

（3）已知，若对于时恒成立.请求出最大的整数.

22.（本小题12.0分）

已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立.

（1）求的值；

（2）若该二次函数有两个不同零点.

①求的取值范围；

②证明：为定值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：集合的关系如图，

由图形看出，是空集.

故选：.

2.【答案】C

【解析】

解：由于，

故，

即，

则实数的取值范围为.

故选：.

3.【答案】B

【解析】

解：令，

则

，

，

，

，

，

即，

.

4.【答案】B

【解析】

解：设两次加油的油价分别为元/升，元/升，且，

甲方案每次加油的量为升，

则甲方案的平均油价为：；

乙方案每次加油的钱数为元，

乙方案的平均油价为：；

因为，

所以，即乙方案更经济.

故选.

5.【答案】A

【解析】

解：若为奇函数，

则，

整理得，

所以，

解得或，定义域都关于原点对称，

故“”是“为奇函数”的充分不必要条件，

故选：.

6.【答案】D

【解析】

解：根据题意，任意实数都有成立，

所以函数是上的增函数，

所以，解得：，

所以实数的取值范围是.

故选：.

7.【答案】A

【解析】

解：由于是定义域为的奇函数，则的图象关于成中心对称，

是定义域为的偶函数，则的图象关于直线对称，

因为与的图象关于轴对称，则的图象关于直线对称，故错误；

又的图象关于成中心对称，则的图象关于成中心对称，

故为奇函数，正确；

故，

由与的图象关于轴对称，可得，

故，故为奇函数，错误；

因为的图象关于成中心对称，

则的图象也关于成中心对称，

而与的图象关于轴对称，

则的图象关于成中心对称，故错误，

故选：.

8.【答案】C

【解析】

解：①当时，，在上单调递增，

，

；

②当时，作图如下：

为使最大，则尽量大，尽量小，此时，

由可得，即是关于的方程的两根，

则，

所以，即，

当时，即时，在对称轴同侧时最小，由抛物线的对称性，不妨设都在对称轴右侧，

则由，

解得，

则，

当且仅当，即时取“，但，故等号取不到，所以，

时，同理可得当时，的最大值为，当时，的最小值大于4，

综上：的取值范围是，

故选：.

9.【答案】BD

【解析】

解：对于，

但“”，如，

所以“”是“”的充分不必要条件，故错误；

对于

“二次方程有两个不等实根”，

但“二次方程有两个不等实根”

，

所以“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件，故B正确；

对于，”“”，

且“”，

所以“”是“”的充要条件，故错误；对于，若“”是“或“”的充分不必要条件，

则，所以的最小值为2022，故正确；

故选.

10.【答案】BC

【解析】

解：设，则，因为，所以.

矩形的面积，

当且仅当时等号成立，因为，所以无最大值，故错；

根据图形折叠可知与全等，

所以周长为，故正确；

设，则，有，

即，得，

，当且仅当时，取最大值，故C正确；

因为，当且仅当时，有最小值，无最大值，故错误.

故选BC.

11.【答案】ABD

【解析】

解：由换底公式得：

，

其中，

，故

.

故选：.

12.【答案】ACD

【解析】

解：由题设，不等式，即的解为，

，则，则正确；

原不等式可化为，

令，则函数图象开口向下，且与轴交点的横坐标为和1，又，作出大致图

象如图所示，

由图知，故B错误，正确.

故选ACD.

13.【答案】1

【解析】

解：解不等式可得或，

因为“”的必要不充分条件是“或”，

或或，

，解得.

故实数的最大值为1.

故答案为：1.

14.【答案】①③④

【解析】

解：①因为，所以，

即，当且仅当时等号成立，故①正确；

②因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以，所以，故②不正确；

③因为，且，所以，即，

当且仅当时等号成立，故③正确；

④，

当且仅当，即时等号成立，

所以，故④正确.

故答案为：①③④.

15.【答案】

【解析】

解：不等式可化为，

①当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；

②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；

③当时，原不等式等价于，其解集为，

其解集中恰有2个整数，，解得：；

④当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；

⑤当时，原不等式等价于，其解集为，

其解集中恰有2个整数，，解得：，

综合以上，可得：，

故答案为：.

16.【答案】；

【解析】

解：由那么.

设，

由，那么，

可得或，

当时，即，

可得或，

当时，即，可得或或，

综上，存在实数，使得，则的个数是5个值，

故答案为.

17.【答案】解：（1）

.

（1）

.

18.【答案】解：（1）因为，所以.

①当时，由，得，解得；

②当，即时，成立.

综上，实数的取值范围是.

（2）因为中只有一个整数，所以，

且，解得，

所以实数的取值范围是.

19.【答案】解：（1）因为命题，

若命题为真命题，则且，

即，解得：，

所以实数的取值范围是.

（2）因为命题；

命题，

则，

若命题与均为假命题，则和都是真命题，

由是真命题，得或，解得：，

由是真命题，得或，解得：，

联立，得，

所以实数的取值范围为.

【解析】本题考查命题的否定以及不等式恒成立问题，属于中等题.

（1）根据条件得到若命题为真命题，则且，即可得到答案；

（2）首先分别求出命题为真命题时的范围，再求出命题均为真命题时的范围.

20.【答案】解：（1）当时，

，

当时，，

（2）当时，，

这个二次函数的对称轴为，所有当时，为最大值，

当时，，

，

当且仅当即时，等号成立，

，

即当时，取到最大值1300，

当时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元.

21.【答案】解：（1）函数且是定义域为上的奇函数，

，

可得：，

，

那么：，

即是上的奇函数.

（2）由题意：设，则，

，

在上为增函数；

（3）由题意，，若，

即，在时恒成立，令，

则，

故得

恒成立转化为恒成立，化简得：恒成立，

当时，

，

故得的最大整数为10.

22.【答案】解：（1）因为，满足，

令，

令得，

故；

（2）①由

知且，

当时，故有，

将代入解得；

当时，可得；

对于方程有判别式，

因为函数存在两个不同零点，故，

综上可得：；

②由根与系数的关系可得，，即为定值