2022-2023学年江苏省苏州工业园区星海实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州工业园区星海实验中学高一上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州工业园区星海实验中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合，在计算【详解】因为，所以故选：C.2．已知为实数，使“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据存在量词命题成立求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系可得出合适的选项.【详解】若，使得，则，因为，故使得“，”为真命题的一个必要不充分条件是.故选：B.3．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断为偶函数，在上单调递增，再根据奇偶性的定义与单调性的定义，结合初等函数的性质依次判断各选项即可.【详解】解：对于函数，为偶函数，在上单调递增，所以对于A选项，为奇函数，不满足；对于B选项，不具有奇偶性，不满足；对于C选项，是偶函数，在上单调递减，不满足；对于D选项，是偶函数，且对于时，由于，所以，所以，所以，即.即函数在上单调递增，满足.故选：D4．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可.【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求；当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.故选：D.5．不等式的解为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函数的定义域，单调性，且当上，恒成立，当上，恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集.【详解】定义域为，且在与上均为减函数，且当上，恒成立，当上，恒成立，故①或②或③，解①得：，解②得：，解③得：，综上：不等式的解为.故选：D6．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由三个实数的初值比较大小排除一些答案，在进一步比较，从而得出结果.【详解】因为，，所以的值最小，C,D错误，又所以所以故选：A.7．对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gaussian）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian）函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，已知则的取值不可能为（    ）A．90 B．91 C．92 D．94【答案】B【分析】通过分析得到当且时，，当且时，，代入函数值，求解出当时，，其他三个选项代入求解均为正整数，故选出答案.【详解】当时，，故，当时，，故，当时，，故，当且时，，令，解得：，A正确；当且时，，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故的取值不可能是91.故选：B8．若正实数，，满足，则的最大值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】利用等式变形构造基本不等式即可得所求得最大值【详解】由正实数，，满足所以即所以当时取到等号，所以最大值为：4故选：C. 二、多选题9．整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ）A． B．C． D．若，则整数，属于同一个类【答案】CD【分析】根据给定的定义，计算判断A，B；推理判断C，D作答.【详解】，，，即，而，因此，A不正确；，即，而，因此，B不正确；因任意一整数除以4，所得余数只能为0或1或2或3，即，反之，集合中任一数都是整数，即，所以，C正确；，不妨令，则，因，于是得，即，因此整数，属于同一个类，D正确.故选：CD10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“”和“>”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若、、，则下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若，，则，C．若，，则D．若，，则【答案】BD【分析】取可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.【详解】对于A选项，当时，，A错；对于B选项，若，，则，所以，，故，，B对；对于C选项，因为，，则，，所以，，则，C错；对于D选项，若，，则，所以，，D对.故选：BD.11．下列命题，其中正确的命题是（    ）A．函数的最大值为B．函数的减区间是C．若，则为1D．已知在上是增函数，若，则【答案】ACD【分析】A选项，先求的值域，再利用单调性求最值；B选项先求函数的定义域，在求函数的减区间；C选项指数化为对数进行化简即；D选项，利用函数单调性及的关系判断【详解】A选项：设由在单调递减，所以，故A正确B选项：由所以函数的定义域为，此时函数在单调递减，所以原函数的单调减区间为，故B错误；C选项：由所以，故C正确；D选项：假设 ，则，所以由在上是增函数所以，所以与矛盾所以当函数在上是增函数时，若，则，故D正确故选：ACD.12．若的定义域为，且满足为偶函数，关于成中心对称，则下列说法正确的是（    ）A．的一个周期为 B．的一条对称轴为C． D．【答案】BCD【分析】根据题意推导出函数的周期，可判断A选项；利用函数周期性和对称性的定义可判断B选项；利用函数的周期性可判断CD选项.【详解】因为为偶函数，则，令，可得，因为函数关于点对称，设，则，即，所以，，则，故，即，故，所以，.对于A选项，的一个周期为，A错；对于B选项，，故函数的一条对称轴为，B对；对于C选项，因为，则函数的图象关于点对称，又因为函数的定义域为，则，则，C对；对于D选项，，，，因此，，D对.故选：BCD. 三、填空题13．命题“，”的否定为______.【答案】，【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，原命题的否定为：，.故答案为：，.14．已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是递减的，则________．【答案】1【解析】根据幂函数的性质可知是偶数且，计算求解即可得的值.【详解】∵幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，是偶数且，解得：.故答案为：1【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题.15．设正数，满足，若关于的不等式的解集中的整数解恰有4个，则的取值范围是______【答案】【分析】根据题意解出不等式，利用已知得条件分析即可得出结果.【详解】由不等式得：因为解集中的整数解恰有4个，所以 则有则四个整数解为： 所以即又，所以所以所以，又所以的取值范围为：故答案为：16．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再分段讨论即可求解作答.【详解】上的单调函数，，都有，则存在正常数m，使得，有，即有，因此，而函数在上单调递增，又，于是得，，依题意，当时，有两解，必有 当时，，当时，函数单调递减，，当时，函数单调递增，，因此方程在上有两解，当且仅当在上有解即可，则，所以实数的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决. 四、解答题17．已知集合，，(1)求；(2)已知______，求实数的取值范围；从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答.条件①：；条件②：条件③：：，：，且是的必要而不充分条件.【答案】(1)(2)答案见解析； 【分析】（1）首先解一元二次不等式与绝对值不等式组求出集合，再根据交集的定义计算可得；（2）若选择①，，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.若选择②，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.若选择③，则集合是集合真子集，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可.【详解】（1）由，即，解得，由，解得，所以，，所以.（2）选择条件①若，由或当时，由，解得；当时，由，解得；综上所述：.选择条件②，当时，由或，解得；当时，由，解得；综上所述：.选择条件③，，若是的必要不充分条件，所以集合是集合真子集，当时，由，解得.当时，，所以，综上所述：.18．已知函数（，且），且．(1)求的定义域；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是 【分析】（1）由，求出，从而可求出函数解析式，再由，可求出函数的定义域，（2）分和两种情况利用函数的单调性解不等式即可【详解】（1）因为，所以，解得，所以．则，解得．故的定义域为．（2）当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上单调递增．因为，所以，解得．当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以在上单调递减．因为，所以，解得．综上，当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是．19．已知函数．(1)当时，求函数f（x）的单调区间；(2)当，函数f（x）在[－3，3]的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为(2) 【分析】（1）根据自变量的范围去掉绝对值，结合二次函数的性质即可求解，（2）根据二次函数的性质分类讨论即可求解.【详解】（1）当时，；当时，， ∴在上单调递增；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增；综上所述：的单调递增区间为，；单调递减区间为（2）因为，当时，①当，即时，在单调递减，在单调递增，； ②当，即时，在单调递增，综上所述：，20．新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生的安全，拟借助校门口一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面为24平方米，背面靠墙的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，高为底边长的．为节省费用，此室的后背靠墙，无需建造费用，只需粉饰．甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧为每平方米300元，已有墙体粉饰每平方米100元，屋顶和地面报价共计12000元．设隔离室的左右两侧的长度均为x米( )．(1)记为甲工程队报价，求的解析式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，是否存在实数t，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功，若存在，求出t满足的条件；若不存在，请说明理由．【答案】(1),.(2)存在，. 【分析】（1）根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;（2）由题意可得不等关系,对任意都成立，进而转化恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.【详解】（1）由题意知隔离室的左右两侧的长度均为x米( ),则底面长为米,则正面费用为 ,故 , .（2）由题意知, ,对任意都成立,即对任意恒成立,令 ,则,则,而,当且仅当取等号,故 ,即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.21．已知奇函数和偶函数满足(1)求和的解析式；(2)判断并证明在上的单调性(3)若对于任意的，存在，使得，求实数的取值范围【答案】(1)，(2)在上单调递增，证明见详解(3) 【分析】（1）根据已知条件用替换，构造一个关于、的方程，再利用函数的奇偶性化简，与已知方程联立即可求得答案；（2）先判断，在利用定义法证明；（3）设A=，B=，由可知， A，列出不等式组即可求出k的范围．【详解】（1）由奇函数和偶函数可知，，，因为，①用替换得故，即，②联立解得，，（2）在上单调递增；证明如下：取所以因为所以，所以所以在上单调递增（3）设A=，令，则化为，易知在上单调递增，故，，故；设B=，令，则化为，易知在单调递增，故，则时，．若对于任意的，存在，使得可知A，则A，则显然，则B=，则，则，解得．22．已知定义在R上的函数满足：在区间上是严格增函数，且其在区间上的图像关于直线成轴对称．(1)求证：当时，；(2)若对任意给定的实数x，总有，解不等式；(3)若是R上的奇函数，且对任意给定的实数x，总有，求的表达式．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】(1)在函数()的图像任取点，推导可得，再结合严格递增推理作答.(2)根据给定条件结合(1)可得的值域，在的条件下分段求解作答.(3)求出函数区间、上表达式，再借助奇函数性质计算作答.【详解】（1）依题意，，函数的图象上任意点关于直线对称点在函数的图象上，则有：，且，于是得：，显然满足，当时，若，而，又在区间上是严格增函数，则，即，与矛盾，若，而，又在区间上是严格增函数，则，即，与矛盾，所以当时，.（2）由(1)知，函数在区间上的值域为，函数的图象可由的图象向左平移2个单位而得，因对任意给定的实数x，总有，则函数在R上的图象可由数()的图像向左向右每2个单位平移而得，于是得函数在R上的值域为，由得：，当时，，则，由得：，解得，则有，当时，，则，由得：，解得，则有，当时，，由得：，解得，则有，综上得：，所以不等式的解集是.（3）因对任意给定的实数x，总有，，当时，有，则，，当时，有，则，显然，函数的值域是，函数的值域是，则取尽一切正整数，，因此，当时，，而是R上的奇函数，则当时，，，又，所以，，，即函数的表达式是.【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.