2022-2023学年江苏省泰州中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省泰州中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合满足，那么这样的集合的个数为

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】根据子集关系可知：集合中一定包含元素，可能包含元素，由此可判断集合的个数即为集合的子集个数.

【详解】由题意可知：且可能包含中的元素，

所以集合的个数即为集合的子集个数，即为个，

故选D.

【点睛】本题考查根据集合的子集关系确定集合的数目，难度较易.

2．命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，

【解析】全称命题与特称命题

3．设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（    ）．

A．，3 B．1，3 C．，，1 D．，1，3

【答案】B

【分析】结合已知条件，利用函数的定义域和奇函数定义即可求解.

【详解】因为，函数的定义域为R，

所以或，

由是奇函数，则，

经检验，当或时，都有，

故值为1，3.

故选：B.

4．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】A

【分析】利用乘“1”法及及基本不等式计算可得.

【详解】解：因为，，且，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为.

故选：A

5．若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的定义可以排除C选项，根据定义域与值域的概念排除A，D选项.

【详解】对于A选项，当时，没有对应的图像，不符合题意；

对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；

对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；

对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.

故选：B．

6．已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用分段函数的单调性列不等式组求出a的范围.

【详解】因为在上单调递减，且最小值为-1.

所以要使函数f(x)=是R上的递减函数，

只需，解得：.

故选：C

7．若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将所求不等式转化为且；根据奇偶性和已知区间单调性可求得且在上是增函数，利用单调性可解得不等式的解集.

【详解】由得：且；

为奇函数，，又在上是增函数，

在上是增函数，

当时，；

的解集为.

故选：B.

8．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过时，恒成立可得到在上递增，通过是偶函数可得到的图象关于直线对称，即可求出答案

【详解】解：∵当时，恒成立，

∴当时，，即，

∴函数在上为单调增函数，

∵函数是偶函数，即，

∴函数的图象关于直线对称，∴，

又函数在上为单调增函数，∴，

即，∴，

故选：B．

二、多选题

9．设集合，，若，则实数的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】解方程可求得集合，根据交集结果可知，分别在和的情况下讨论即可求得所有可能的取值.

【详解】由得：或，即；

，；

当时，，满足题意；

当时，，则或，解得：或；

综上所述：实数的取值集合为.

故选：ABC.

10．已知定义在R上的函数满足，且函数为偶函数，则下列命题中正确的是（    ）

A． B．的图像关于直线对称

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】ABC

【分析】由函数的等量关系可得、判断A、B的正误，进而判断的奇偶性.

【详解】由，知：，A正确；

由，知：，即的图像关于直线对称，B正确；

由上知：，即为奇函数，C正确，D错误.

故选：ABC

11．下列各组函数表示相同函数的是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】CD

【分析】依据相同函数的定义，定义域和对应法则都相同，依次判断即可

【详解】选项A，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；

选项B，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数；

选项C，，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数；

选项D，两个函数的定义域和对应法则都相同，与自变量的符号表示无关，是同一函数.

故选：CD

12．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“”是真命题，则

C．设则“且”是“”的必要而不充分条件

D．设，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】AB

【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.

【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；

选项B，“，”是真命题可知，时不成立，当时，只需满足，解得，故B正确；

选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；

选项D，因为等价于且，由可推出，而可以等于零，所以由不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件，故D错误.

故选：AB.

三、填空题

13．函数的定义域为_________ .

【答案】

【分析】此题考查函数的定义域，根据分母不为和被开方数大于等于即可得到结果.

【详解】要使函数有意义，则，即且，

的定义域为.

故答案为：[-2,0)

14．幂函数的图象必不过第    象限.

【答案】四

【详解】为幂函数

即

或

则图象必不过第四象限

15．“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ .

【答案】

【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围.

【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，

即“，”是真命题，

当时，，不等式显然成立，

当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，

综上，实数的取值范围为.

故答案为：.

16．已知偶函数在上是减函数，且，则的解集__________

【答案】

【分析】分和两种情况讨论x的范围，根据函数的单调性可得到答案.

【详解】因为是偶函数，且，所以，

又在上是减函数，所以在上是增函数，

①当时，由得，又由于在上为减函数，且，所以，得；

②当时，由得，又，在上是增函数，所以，所以.

综上，原不等式的解集为：.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且.偶函数在对称区间上的单调性相反，且..

四、解答题

17．已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】试题分析：（1）先求得，再借助于数列数轴可求得；（2）由，可得关于的不等式，解得的范围．

试题解析：（1）当时，集合，

∴．

（2）∵，，，

∴，∴．

【解析】集合的运算；集合间的关系．

【易错点睛】本题主要考查了集合的运算，集合间的关系．集合的运算方法：（1）数轴图示法：对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号．（2）韦恩图示法：对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．

18．已知函数，

（1）若在上单调递减，求的取值范围；

（2）求在上的最大值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）二次函数的对称轴是，若在上单调递减，比较对称轴和区间端点列出不等式，可得的取值范围；

（2）函数是开口向上的抛物线，对称轴是，离对称轴远，函数值大，区间的中点是，所以讨论对称轴与的关系，分和两种情况讨论函数的最大值.

【详解】（1）的对称轴是

又在上单调递减

（2）的对称轴为

当，即时，，

当，即时，

19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

【答案】(1)菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小

(2)．

【分析】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2即可得出；

（2）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（）•（x+2y）＝55+2，进而得出．

【详解】（1）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥224，

当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．

∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．

（2）由已知得x+2y＝30，

又∵（）•（x+2y）＝55+29，

∴，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．

∴的最小值是．

20．设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．

(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；

(2)若f(1)=2，

①a＞0，b＞0，求的最小值；

②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)①9；②

【分析】（1）由一元二次不等式的解得一元二次方程的解，利用根与系数关系列方程求解；

（2）由条件得，①利用基本不等式求最小值；②化简不等式为标准的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立可得．

【详解】（1）由题意的两根是和1且，

所以，解得．

（2）①，，

又，

所以，当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值是9．

②由①得，，即，

的解集为R，时，不合题意，

所以，且，解得，

所以的范围是．

21．已知是幂函数，

(1)若函数过定点，求函数的表达式和定义域；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，定义域为

(2)或

【分析】（1）设，代点计算可得表达式，进而可得定义域；

（2）先根据幂函数的性质得函数的单调性和定义域，再利用函数单调性解不等式即可.

【详解】（1）设，代入点得，解得

即，其定义域为

（2）由幂函数的性质可得，函数的定义域为，且在定义域上单调递减，

，

，

解得或.

22．已知函数是上的偶函数，当时，．

(1)当时，求解析式；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性求分段函数解析式的步骤即可解决；

（2）根据函数单调性，偶函数性质 即可解决.

【详解】（1）因为函数是上的偶函数，

当时，，

所以当时，，

所以，

因为，

所以，

故当时，

（2）由（1）知，，

当时，，

易知此时函数单调递增，由偶函数性质得，

当时，单调递减，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，

所以，

又因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

解得或．

故实数的取值范围为．