2022-2023学年辽宁省辽西联合校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省辽西联合校高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出集合B的补集，再求出

【详解】因为，，

所以，

因为，

所以，

故选：A

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全程量词命题的否定为存在量词命题，直接判断即可.

【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为存在量词命题，

所以命题“，”的否定是“，”.

故选：C.

3．若函数，则的值为（    ）

A．1 B．3 C．4 D．-4

【答案】C

【解析】先求出的值，即可求出.

【详解】，

.

故选：4.

4．设，则“且”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.

【详解】若且，则，充分性成立；取，则成立，但“且”不成立，必要性不成立.因此“且”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5．已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，求出的值，根据的范围，即可求出答案.

【详解】设，

所以，解得：，

因为，所以，

故选：A.

6．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可.

【详解】易知为增函数，又，

，故零点所在的区间是.

故选：B.

7．若函数是定义在上的偶函数，对任意的，有，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由函数是定义在上的偶函数，可得关于对称，即，可得，再由在上单调递减，即可得解.

【详解】由函数是定义在上的偶函数，

可得关于对称，即

可得，

又，有可得：

在上单调递减，

所以，

可得，

故选：C.

8．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，解之即可得出答案.

【详解】因为函数是定义在R上的增函数，

所以，解得，

所以实数a的取值范围为.

故选：B.

二、多选题

9．（多选题）已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项.

【详解】A.在上单调递减，所以当时，，故A正确；

B.当时，不成立，故B不正确；

C.当时，，两边同时除以得，，故C不正确；

D. 当时，两边同时乘以得，，或两边同时乘以得，，所以，故D正确.

故选：AD

10．下列函数中，表示同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BD

【解析】判断每个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一个函数，否则不是同一个函数.

【详解】A中的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；

B中，的定义域都是R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数；

C中的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数；

D中定义域为R，的定义域为R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数.

故选：BD

【点睛】方法点睛：判断两函数是否表示同一个函数的方法:看定义域和对应关系是否都相同，当二者都相同时，函数为同一个函数，否则不是同一个函数.

11．下列命题是假命题的是（    ）

A．不等式的解集为

B．函数的零点是(-2，0)和(4，0)

C．若，则函数的最小值为2

D．是成立的充分不必要条件

【答案】ABC

【解析】取特殊值可判断A，由函数零点的概念知B错误，根据均值不等式等号成立条件可判断C，解出不等式，根据集合的包含关系可判断D.

【详解】对于A，取，显然不等式不成立，故解集为错误；

对于B，由函数的零点是和知选项B错误；

对于C，由均值不等式等号成立的条件知，即时等号成立，显然不成立，故函数的最小值为2错误；

对于D，由解得，因为，，

所以是成立的充分不必要条件，正确.

故选：ABC

【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，考查了分式不等式，函数零点，均值不等式，充分不必要条件，属于中档题.

12．对于实数，符号[x]表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ）

A． B．函数的最大值为1

C．函数的最小值为0 D．方程有无数个根

【答案】ACD

【分析】对A选项直接计算进行判断，B、C、D选项根据新的定义，研究函数的性质，逐项分析即可．

【详解】，，故A正确；

显然，因此，∴无最大值，但有最小值且最小值为0，故B错，C正确；

方程的解为，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．函数的定义域为________

【答案】

【分析】函数的定义域为：,写成区间形式即可.

【详解】函数的定义域为： 即

故答案为.

【点睛】常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集．

14．已知，则的最小值是________

【答案】

【分析】由题意，整理得，再利用基本不等式，即可求解.

【详解】由题意知，

则，

当且仅当，即时等号成立，即的最小值为.

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中根据题意，化简

，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15．不等式的解集是，则不等式的解集是______.

【答案】

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，由此化简要求的不等式为，从而求出它的解集．

【详解】∵不等式的解集是，

∴，解得，

由，可得，即，

∴，

∴不等式的解集是.

故答案为：．

四、双空题

16．已知函数，其中，则____，的最小值为_____．

【答案】     4     ，

【分析】先得到，再求解.

【详解】因为函数，

所以，

作出函数的图象，如图所示：

由图象知，当时，的最小值为，

故答案为： 4，

五、解答题

17．已知集合，，．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)

(2)或

【分析】根据集合间的运算直接得解.

【详解】（1）由，，得；

（2）由，，得或，

故或.

18．已知集合，．

(1)若a=1，求；

(2)在①；②中任选一个作为已知，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)选①②，

【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解.

（2）分析条件两个条件都是，列出不等式即可求出范围.

【详解】（1）当时，，则．

（2）选条件①②，都有，

∴解得，

∴实数的取值范围为．

19．研发投入是技术创新的主要来源，企业加强对研发活动的支持，加大研发投入，有助于开发新的技术和产品，同时能够提高生产效率降低生产成本，从而在竞争中占据一定优势，促进企业绩效的提升，使得企业可持续发展．某企业的年利润（千万元）与每年投入的研发费用（百万元）之间的函数关系式为．

（1）当投入的研发费用为多少时年利润最大？最大年利润是多少（精确到千万元）？

（2）若要求年利润不低于千万元，试问每年投入的研发费用应该在什么范围内？

【答案】（1），最大年利润（千万元）；（2）每年投入的研发费用应该不少于千万元，不超过千万元．

【详解】（1）依题意有，

当且仅当时，等号成立，最大年利润（千万元）．

（2）由题意得，整理得，解得．

故每年投入的研发费用应该不少于千万元，不超过千万元．

20．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．

（1）画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区间；

（2）求函数在上的解析式．

【答案】（1）图象见解析；和；（2）.

【分析】（1）由于偶函数的图像关于轴对称，所以把在轴左侧的图像关于轴对称，即可得到函数在轴右侧的图像，由图像可得其增区间；

（2）设，则，然后利用偶函数的性质结合已知条件可得，从而可得在上的解析式．

【详解】(1)图象如下：

函数的单调增区间为和；

（2）设，则，

因为函数是定义在R上的偶函数，且当时，；

；

．

【点睛】此题考查偶函数的性质的应用，利用偶函数的性质求函数解析式和画函数图像，属于基础题.

21．设函数．

（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；

（2）解不等式．

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【分析】（1）分别在和两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；

（2）将不等式整理为，分别在，和三种情况下求得结果.

【详解】（1）由知：，

当时，，满足题意；

当时，则，解得：；

综上所述：的取值范围为．

（2）由得，

即，即；

当时，解得：；当时，解得；当时，解集为．

综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．

22．已知定义域在R上的函数满足，，且当时，．

(1)证明函数在定义域上的单调性；

(2)证明函数在定义域上奇偶性；

(3)求关于x不等式的解集．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）计算，设，计算得到证明.

（2）取，得到得到证明.

（3）根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案.

【详解】（1）取得到，解得，故，

设，则

，

，故，即，函数单调递减.

（2），取，则，即，函数为奇函数.

（3），即，

函数单调递减，故，解得，

故不等式的解集为.