2022-2023学年辽宁省协作校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省协作校高一上学期期中考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省协作校高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．下列关系中正确的个数是（    ）①；②；③；④；⑤；⑥，，或．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据常见集合的表示可判断①②④的正误，根据元素与集合的关系可判断③⑤的正误，根据补集的定义可判断⑥的正误.【详解】因为，，，故①②④正确，而，，或，故③⑤⑥错误，故选：B.2．命题“，，和都不成立”的否定为（    ）A．，，和至少有一个成立B．，，和都不成立C．，，和都不成立D．，，和至少有一个成立【答案】D【分析】由特称命题的否定形式，分析即得解.【详解】由特称命题的否定形式，“，，和都不成立”的否定为：，，和至少有一个成立.故选：D3．下列四组函数中，有相同图象的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用相同函数的定义，逐项分析函数的定义域、对应法则或值域即可判断作答.【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为R，的定义域为R，值域为，它们是不同函数，图象不相同，A不是；对于B，函数定义域为，定义域为，它们是不同函数，图象不同，B不是；对于C，函数与定义域都是R，化为，对应法则相同，它们是相同函数，图象相同，C是；对于D，函数定义域是R，值域为，定义域、值域均为R，它们是不同函数，图象不同，D不是.故选：C4．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）．已知第4天检测过程平均耗时为12小时，第9天和第10天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第7天检测过程平均耗时大致为（    ）（）A．8小时 B．9小时 C．10小时 D．11小时【答案】B【分析】根据题意求得和的值，然后计算出的值即可得解.【详解】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，所以，得．又由知，，所以当时，，故选：B．5．在R上定义运算“”：，则满足的实数x的取值范围为（    ）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】根据题意列不等式，解不等式即可.【详解】由题意知可整理为，即，解得.故选：D.6．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速（）．当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将关系式化为，利用基本不等式可求得结果.【详解】由题意得：（当且仅当，即时取等号），该道路一小时“道路容量”的最大值约为.故选：B.7．设正实数满足，则当取最大值时，的最大值为（    ）A．0 B．3 C． D．1【答案】D【分析】由题目可知，利用均值不等式可得当取得最大值时，，所以，令，结合一元二次函数图像求最大值即可.【详解】因为是正实数，所以由得，由均值不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，则当取最大值时，解得，所以，令，则，由二次函数的图像可知当时，取得最大值，，即的最大值为1，故选：D.8．已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数单调性的定义可得在上是增函数，再结合对称性可比较大小.【详解】因为对任意的，有，不妨设，则有因为，所以，即，所以在上是增函数，因为的图像关于对称，所以，故A错误； ，故B错误；，故C错误，D正确.故选：D 二、多选题9．若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】利用给定条件，结合均值不等式，逐项分析、计算判断作答.【详解】因，，，则，当且仅当时取等号，A正确；，当且仅当时取等号，B正确；，当且仅当时取等号，C正确；，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABCD10．已知，，下列给出的实数的值，能使p是q的充分不必要条件的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】对于，解不等式求得的取值范围，根据p是q的充分不必要条件求得正确答案.【详解】对于，，解得或.而，要使p是q的充分不必要条件，则，所以BC选项正确，AD选项错误.故选：BC11．对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（    ）A．函数是偶函数 B．方程有三个解C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为4，无最小值【答案】AB【分析】由题意写出解析式，后画出图像，据此可得答案.【详解】当，即或时，=；当，即时，.则，画出图像如下.对于A选项，因，且，则函数是偶函数，A正确.对于B选项，由图可得有三个解，B正确.对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误.对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D错误.故选：AB12．已知（常数），则正确的选项为（    ）A．当时，在R上单调递减B．当时，没有最小值C．当时，的值域为D．当时，，，有【答案】BD【分析】对A：取特值代入运算，比较函数值大小即可判断；对B：分类讨论，结合函数单调性即可得出；对C：根据单调性求出值域即可判断；对D：分别求出和时的范围即可得出.【详解】对A：当时，，即，故在R上不是单调递减函数，A错误；对B：在上单调递减，则在内没有最小值，且；令，对，且，则，∵，则，∴，则，故在上单调递增，当时，在上单调递减，无最小值，故在R上没有最小值；当时，则，故在R上没有最小值；当时，在上单调递增，则，故在R上没有最小值；综上所述：在R上没有最小值，B正确；对C：当时，由B可知：若时，；若时，在上单调递减，则，即；综上所述：的值域为，C错误；对D：当时，由B可知：若时，；若时，在上单调递增，则，即；∵，则，，有，D正确.故选：BD. 三、填空题13．已知，均为正数，若，则的最小值______．【答案】【分析】根据题意，先将化简为，然后利用“3”的代换，最后利用不等式即可求解.【详解】因为可化为，又因为，均为正数，所以，(当且仅当，即时去等号)故答案为：.14．在R上定义运算，若成立，则x的解集是______．【答案】或【分析】根据定义可得关于的不等式，从而可求其解集.【详解】即为，故，故或，故解集为或.故答案为：或.15．若，是奇函数，则的解集为______．【答案】【分析】利用奇函数的性质及一元高次不等式的解法即可求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，所以，即，解得或，所以的解集为.故答案为：.16．若“对于一切实数，”是“对于一切实数，”的必要条件，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】先求出在R上恒成立时，的取值范围，再得到在R上恒成立时，，比较端点后得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】由题意得：在R上恒成立，则，解得：，要想在R上恒成立，则要满足，解得：，因为“对于一切实数，”是“对于一切实数，”的必要条件，所以，解得：，因为，所以实数的取值范围是.故答案为：. 四、解答题17．已知函数，有两个不同的零点．(1)若其中一个零点在区间上，求k的取值范围；(2)若函数的两个不同的零点是，，求的最小值．【答案】(1)(2)4 【分析】（1）由函数有两个不同的零点得，解方程，解得，，由其中一个根在上得k的取值范围.（2）利用根与系数的关系，用k表示，求出最小值.【详解】（1）因为函数有两个不同的零点，所以，即，所以．令，得，，所以（2），由（1）得，故当时，有最小值4，所以的最小值为4．18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，并根据图象：(1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调递增区间；(2)写出函数的解析式；(3)若函数，求函数的最小值．【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为（也可写成闭区间）；(2)；(3)． 【分析】（1）可利用关于原点中心对称作出图象，由图象得增区间；（2）根据奇函数定义求解析式；（3）由用二次函数性质分类讨论求得最小值．【详解】（1）函数是定义在R上的奇函数，即函数的图象关于原点对称，则函数图象如图所示．故函数的单调递增区间为（写出闭区间也可以）；（2）根据题意，令，则，则，又由函数是定义在R上的奇函数，则，则．（3）根据题意，，则，则，其对称轴为当时，即时，；当时，即时，，故．19．已知集合，．(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)设命题，，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）化简集合，由题可知进而即得；（2）由题可得，恒成立，然后利用二次函数的性质即得.【详解】（1）∵，，∵“”是“”的充分不必要条件，∴，∴，解得，∴实数a的取值范围是；（2）∵命题，的否定为，，∵命题p为假命题，∴命题为真命题，即，恒成立，令，则，即，解得，∴实数m的取值范围是．20．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔t满足：，其中．(1)求，并说明的实际意义；(2)若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．【答案】(1)，的实际意义为发车时间间隔为5分钟时，载客量为35(2)当发车时间间隔为5分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元 【分析】（1）代入计算，实际意义即题设中的说明；（2）求出净收益函数，分段说明函数的单调性得最小值，比较后即得结论．【详解】（1）．实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．（2），∴当，，，对，，设，，，，，在上是增函数，因此是减函数，∴t＝5时，y的最大值为．当，时，，该函数在区间上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值18.8．综上，当发车时间间隔为5分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元．21．已知函数是定义在上的奇函数,且．(1)确定函数的解析式;(2)当时,判断函数的单调性,并证明;(3)解不等式．【答案】(1)(2)单调递增,证明见解析(3) 【分析】(1)根据奇函数可得,结合代入可得的解析式;(2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可.(3)将移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为,再根据(2)的结论转化为,再加上均在定义域内,即可求出不等式解集.【详解】（1）解:由题意可知为奇函数,,即,,∵,∴,∴;（2）当时,函数单调递增,证明如下:设为上的任意两个数,且,,,,,故函数在上为增函数;（3）,,为奇函数,∴,当时,函数单调递增,,,不等式的解集为．22．已知，为常数，函数．(1)当时，求关于的不等式的解集；(2)对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根；(3)若为偶函数，且，设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)或. 【分析】（1）分解因式后，分类讨论求二次不等式的解集；（2）令，计算，根据零点存在性定理证明即可；（3）通过化简变形，分离参数后转化为对恒成立，求函数最小值后解不等式即可.【详解】（1）当时，；当时，；当时，，综上，当时，；当时，；当时，.（2）设，则，，．因为，所以，又函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，由零点的判定定理可得：在内有一个实数根，故关于的方程在区间内有一个实根得证.（3）由题意得，，，则因为对任意恒成立，即对恒成立，则，即对恒成立，令，则，，该二次函数开口向下，对称轴为，所以当时，，故，或.