2022-2023学年山东省德州市、烟台市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省德州市、烟台市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的定义域化简集合M，再利用交集的定义求解作答.

【详解】由得：，解得，则有，而，

所以.

故选：B

2．已知x，，则“x和y均为有理数”是“xy为有理数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】x和y均为有理数，则xy为有理数，反之，xy为有理数，x和y不一定为有理数，

如，满足是有理数，而均为无理数，

所以“x和y均为有理数”是“xy为有理数”的充分不必要条件.

故选：A

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】分别判断选项中函数的定义域和对应关系，即可得到答案.

【详解】对选项A，因为定义域为R，定义域为，定义域不同，

所以，不是同一函数，故A错误.

对选项B，因为定义域为R，定义域为，

定义域不同，所以，不是同一函数，故B错误.

对选项C，因为定义域为或，

定义域为，定义域不同，

所以，不是同一函数，故C错误.

对选项D，因为定义域为R，定义域为R，

，

所以，是同一函数，故D正确.

故选：D

4．下列命题中，正确的是（    ）

A．若，则.

B．若，则.

C．若，则.

D．若，则.

【答案】D

【分析】举反例说明A,B,C的正误，利用作差法判断D.

【详解】对于A,取，满足，但是，A错误；

对于B,取，满足，但是，B错误；

对于C，取，满足，但是，C错误；

对于D，当时，则，故，D正确，

故选：D

5．已知函数，若，则是（    ）

A．奇函数，在和单调递增

B．奇函数，在和单调递减

C．偶函数，在单调递增，在单调递减

D．偶函数，在单调递减，在单调递增

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出的解析式，再判断分段函数奇偶性、单调性作答.

【详解】函数，而，则，

当时，，则，且在上单调递减，

当时，，则，且在上单调递增，

所以是偶函数，在上单调递增，在上单调递减.

故选：C

6．已知函数，若，则（    ）

A．-4 B．-1 C．-4或-1 D．-4或

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出，再分段讨论求解作答.

【详解】函数，则，

当，即时，，解得，无解，

当，即时，，解得，则，

所以.

故选：A

7．定义在R上的函数满足：①，②，③，则不等式的解集是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再利用性质求解不等式作答.

【详解】因，，则在上单调递增，

又，则函数是R上的奇函数，因此在上单调递增，

显然，不等式化为：或，即或，

解得或，所以不等式的解集是或.

故选：A

8．已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【分析】首先根据基本不等式得到，结合题意得到，即，再解不等式即可.

【详解】，当且仅当时等号成立，

解得，即.

因为不等式恒成立，

所以，即，解得.

故选：B

二、多选题

9．满足集合，且，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】根据集合交集的结果，以及，可直接得出结果.

【详解】因为，所以，，，

又，

所以或.

故选：AC.

10．已知函数，，设函数则（    ）

A．是偶函数

B．方程有四个实数根

C．在区间上单调递增

D．有最大值，没有最小值

【答案】ABD

【分析】作出的图像,利用图像对四个选项一一验证.

【详解】作出的图像如图所示：

对于A：因为的图像关于y轴对称，所以是偶函数.故A正确；

对于B：作出直线的图像，与的图像有4个交点，所以方程有四个实数根.故B正确；

对于C：从图像可以看出在上单增，在上单减.故C错误；

对于D：从图像可以看出；当或时，最大，没有最小值.故D正确.

故选：ABD

11．已知，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式的性质结合二次函数的最值依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，，，且，所以，

当且仅的时等号成立.

所以，故A正确.

对选项B，，

当且仅的时等号成立.

所以，故B错误.

对选项C，因为，，且，

，

当时，，所以，故C正确.

对选项D，由A知：，

所以，

当且仅的时等号成立，故D正确.

故选：ACD

12．已知函数的定义域为R，对任意的实数x，y，有，且当时，，则（    ）

A．

B．对任意的，恒成立

C．函数在上单调递增

D．若，则不等式的解集为

【答案】BCD

【分析】对选项A，首先令得到或，再根据时，，即可得到，即可判断A错误，对选项B，令即可判断B正确，对选项C，首先根据题意得到在R上恒大于0，在利用函数单调性的定义设任意R，且，得到，即判断C正确，对选项D，根据题意得到，再结合的单调性求解即可.

【详解】对选项A，令，则，解得或，

令，，则.

因为时，，所以，即不符合题意.

所以，故A错误.

对选项B，令，所以，故B正确.

对选项C，当时，

，所以.

令，所以，即

又因为，时，，所以在R上恒大于0.

设任意R，且，

则，所以.

，

即，在R上为增函数，故C正确.

对选项D，因为，

所以，

因为函数在上单调递增，所以，解得，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知集合，，则B中元素的个数为______．

【答案】3

【分析】根据题意得到，即可得到答案.

【详解】，，

所以中元素有3个.

故答案为：3

14．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据特称命题是假命题进行转化即可．

【详解】∵命题“”是假命题，

∴命题“”是真命题，

则，解得，

则实数的取值范围是．

故答案为：．

15．已知，且，则的最小值为______．

【答案】

【分析】根据给定条件，配凑并结合“1”的妙用求解作答.

【详解】由得：，又，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以当时，则取得最小值.

故答案为：

四、双空题

16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，．

①若函数，则的值域为______；

②若函数，则方程所有的解为______．

【答案】         

【分析】①对任意实数，利用给定的函数定义即可求出值域作答；②令，结合高斯函数求出n的取值作答.

【详解】①，存在，使得，则，因此，所以函数的值域为；

②令，则，，由方程，得，

由解得，，而，于是得或，

当时，，当时，，

所以方程所有的解为.

故答案为：；

五、解答题

17．已知函数的定义域为集合A，集合．

(1)求集合A；

(2)请在下面这两个条件中任选一个，补充在横线处，并给出问题的解答．

①充分条件，②必要条件．

是否存在实数m，使得是的______？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答.

（2）选择条件①，②，分别利用充分条件、必要条件的定义，借助集合的包含关系求解作答.

【详解】（1）函数有意义，，解得，

所以集合.

（2）选择①：是的充分条件，则，由（1）知，，解得，

所以实数m的取值范围为.

选择②：是的必要条件，则，由（1）知，，解得，

所以实数m的取值范围为．

18．已知是定义在R上的偶函数，当时，．

(1)求的解析式；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用偶函数的意义求出时，的解析式即可作答.

（2）求出函数在时的单调性，再借助偶函数列出不等式，求解作答.

【详解】（1）当时，有，而是偶函数，则，

所以函数的解析式是.

（2）依题意，函数在上单调递增，而是偶函数，

由得：，于是得，

即有，整理得：，解得，

所以不等式的解集为.

19．已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．

(1)求，的解析式；

(2)设，根据定义证明：在上为增函数．

【答案】(1)，；

(2)证明见解析.

【分析】（1）配凑法求出函数的解析式，借助一元二次不等式解集求出的解析式作答.

（2）由（1）求出，再利用单调性定义推理作答.

【详解】（1）依题意，，因此，

设二次函数，不等式为：，

则是关于x的一元二次方程的两个实根，且，

于是得，即，又，解得，，，

于是得，

所以，.

（2）由（1）知，，

任取，且，

因，有，，，则，因此，

所以函数在上为增函数．

20．已知某企业原有职工500人，每人每年可为企业创利6.5万元．为应对新冠疫情给企业带来的不利影响，该企业决定实施减员增效策略，分流出一部分职工待岗，待岗人数不超过原有职工的4%，并且每年给每位待岗职工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗职工人数x不超过原有职工2%时，留岗职工每人每年可为企业多创利万元；当待岗职工人数x超过原有职工2%时，留岗职工每人每年可为企业多创利0.96万元．设该企业实施减员增效策略后，年利润为y（单位：万元）．．

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)为使企业的年利润y最大，应安排多少职工待岗？

【答案】(1)；

(2)5人.

【分析】（1）根据给定的函数模型，分段列出解析式求解作答.

（2）由（1）中函数，分段求出最大值，再比较大小即可作答.

【详解】（1）依题意，，，即有且，

当待岗人数不超过2%，即时，，

当待岗人数超过2%，即时，，

所以y关于x的函数关系式是.

（2）当且时，，当且仅当，即时取等号，

当时，为减函数，而，则当时，，

因为，因此当时，，

所以为使企业年利润最大，应安排5人待岗.

21．已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足．

(1)证明：；

(2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设．

①证明：；

②已知，求在上的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)①证明见解析；②当时，取最小值，当时，取最小值．

【分析】（1）令，即可证明.

（2）①根据已知条件得到，再根据即可证明.②根据题意得到，再分类讨论求解最值即可.

【详解】（1）令，得．

（2）①因为，且，

所以

．

②因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断，

又，结合题目条件可知，．

又，所以．

从而．

的对称轴为．

当时，在上单调递减，

所以，当时，；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，；

综上，当时，取最小值，当时，取最小值．

22．给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数．

(1)当，时，求的点；

(2)设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t的取值范围；

(3)对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t的取值范围．

【答案】(1)的点为1和3；

(2)；

(3)或．

【分析】（1）根据给定的定义，解一元二次方程作答.

（2）根据给定的定义及已知，借助二次函数在有两个不同零点求解作答.

（3）根据给定的定义，利用一元二次方程恒有两个不等实根列式，再结合恒成立的条件及一元二次不等式在区间上有解求解作答.

【详解】（1）当，时，，依题意，，即，解得或，

所以当，时，的点为1和3.

（2）当，时，，依题意，在上有两个不同实数解，

即在上有两个不同实数解，令，

因此函数在上有两个零点，而，因此，解得，

所以实数t的取值范围是．

（3）因函数总存在两个相异的点，则方程，即恒有两个不等实根，

依题意，对任意的，总存在使成立，

即对任意的，总存在使成立，而恒成立，

于是得存在，不等式成立，而，

从而得不等式在上有解，又二次函数开口向上，

因此或，解得或，

解得，或，则有或，

所以实数t的取值范围是或．

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.