2022-2023学年山东省菏泽市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省菏泽市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】由补集定义可直接得到结果.

【详解】由补集定义知：或.

故选：B.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解方程可求得的解，根据推出关系可得结论.

【详解】由得：或，

，，

“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将的值代入对应的解析式进行求解即可.

【详解】.

故选：B.

4．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】改量词，否结论，直接写出命题的否定即可.

【详解】，的否定是：，.

故选：A.

5．设集合，集合，若，则a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的包含关系即可得解.

【详解】解：因为集合，集合，，

所以.

故选：D.

6．已知，函数的值域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由二次函数性质求解，

【详解】由题意得图象的对称轴为，

而，故当时，，当时，，

函数的值域是，

故选：C

7．某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为15000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量，则该厂所获最大利润为（    ）（总收益＝成本＋利润）

A．4万元 B．3万元 C．2.5万元 D．2万元

【答案】B

【分析】列出总利润的解析式，结合二次函数性质即可求得最大值.

【详解】设总利润为，依题意可得：，

即，

当时，，

当时，，

当时，，

所以，当时，该厂所获利润最大，最大利润为30000元.

故选：B.

8．定义：为实数x，y中较小的数，已知，其中x，y均为正实数，则a的最大值是（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】由基本不等式可知，从而比较与的大小，即可得出a的最大值.

【详解】，

当且仅当，即时等号成立，

当，即时，，此时的最大值为1；

当，即时，，

综上所述，的最大值为1.

故选：C

二、多选题

9．下列关系中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据元素和集合的关系、集合与集合的关系依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，表示没有任何元素的集合，，A错误；

对于B，，，且，故，B正确；

对于C，，不是的子集，C错误；

对于D，，，D正确.

故选：BD.

10．设，，则下列不等关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据不等式的性质与作差法比价大小即可判断.

【详解】解：由于，，则或，则，故A正确；

当时，，故B不正确；

由得，，即，故C正确；

，当时，，即，当时，，即，故D不正确.

故选：AC.

11．已知，函数，则以下说法正确的是（    ）

A．若有最小值，则

B．存在正实数，使得是上的减函数

C．存在实数，使得的值域为

D．若，则存在，使得

【答案】AC

【分析】根据幂函数性质可知在上单调递增，由函数有最小值可得在上的单调性和分段处函数值大小关系，从而解不等式组求得的范围，知A正确；由幂函数性质知B错误；假设的值域为，结合单调性和分段处函数值大小关系可得的范围，知C正确；将D中问题转化为在上有解，通过放缩可得，知方程无解，则D错误.

【详解】对于A，当时，在上单调递增，

若有最小值，则，解得：，A正确；

对于B，当时，，

由幂函数性质知：当时，单调递增，B错误；

对于C，在上单调递增，当时，；

若的值域为，则，解得：，C正确；

对于D，当时，，

由得：；

当，时，，

，，

恒成立，

在上无解，

即不存在，使得，D错误.

故选：AC.

12．已知偶函数的定义域为，且，，则以下说法正确的是（    ）

A． B．函数的图像关于直线对称

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据奇偶性结合得出，由判断B；由对称性判断C；根据周期性判断D.

【详解】因为是偶函数，且，所以，即，所以，周期为，故A正确；

因为是偶函数，所以，即函数的图像关于直线对称，故B正确；

因为，且函数的图像关于直线对称，所以，故C错误；

因为，所以，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．，则_____________．

【答案】0

【分析】由集合间关系列式求解，

【详解】由题意得或，

当时，满足题意，

当时，，舍去，

综上，，

故答案为：0

14．函数的定义域为_____________．

【答案】

【分析】根据具体函数的定义域求法即可得解.

【详解】由题可知：，解得且，

故答案为：.

15．函数的最大值为_____________．

【答案】

【分析】采用换元法，令，将问题转化为二次函数最大值的求解问题，由二次函数最值求法可求得结果.

【详解】令，则，，

令，

当时，，即.

故答案为：.

16．已知，若，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.

【详解】当时，即当时，由可得，矛盾；

当时，即当时，由可得，

可得，解得，此时；

当时，由可得，即，矛盾.

综上所述，满足不等式的的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数不等式的求解，求解时需要对自变量的取值进行分类讨论，根据自变量的取值选择合适的解析式来求解.

四、解答题

17．已知幂函数为奇函数．

(1)求的解析式；

(2)令，若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，解得，再代入检验即可；

（2）首先求出的解析式，再根据二次函数的性质计算可得.

【详解】（1）解：因为为幂函数，

所以，

所以，解得或，

当时，为偶函数，不满足题意，

当时，为奇函数，满足题意，

所以；

（2）解：由（1）可得，

所以，对称轴为，开口向上，

又在上单调递增，

所以，解得．

18．已知集合，或．

(1)若，求；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据题意，先求出集合的补集，再利用集合的并集运算求解即可；

(2)根据集合的包含关系分和两种情况进行讨论即可求解.

【详解】（1）若，则集合，

所以，

所以；

（2）因为集合，或，

因为，所以分以下两种情况：

若，即，解得，满足题意，

若，则

解得，

综上所述a的取值范围为

19．设全集，集合，集合．

(1)若，求实数的取值范围：

(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合；分别在和的情况下，根据交集结果构造不等式求得结果；

（2）根据充分条件定义可知，分别在和的情况下，根据包含关系构造不等式组求得结果.

【详解】（1）由得：，即；

当时，，满足，此时，解得：；

当时，，

由得：或，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

（2）由充分条件定义可知：；

当时，满足，此时，解得：；

当时，由得：，不等式组无解；

综上所述：实数的取值范围为.

20．已知函数是定义域为的偶函数，当时，．

(1)求出函数在上的解析式；

(2)在给出的坐标系中画出的图象；

(3)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)图象见解析

(3)

【分析】（1）当时，，根据可求得时的解析式，由此可得结果；

（2）根据解析式可直接作出函数图象；

（3）结合函数图象可确定的解析式，分别在每一段上求解不等式，综合所有情况可得结果.

【详解】（1）当时，，，

又为偶函数，；

综上所述：.

（2）图象如下图所示，

（3）由（2）知：当时，，此时；

；

当时，由得：；

当时，由得：；

当时，由得：；

当时，由得：；

综上所述：不等式的解集为.

21．已知二次函数．

(1)若的解集为或，解关于x的不等式；

(2)若不等式对恒成立，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，且方程的解为，利用韦达定理求得，再根据分式不等式的解法即可得解；

（2）恒成立，即恒成立，则，求得的关系，再结合基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为的解集为或，

所以，且方程的解为，

则，，

∴，，

由，得，即，

得，即，解得或，

所以不等式的解集为；

（2）因为恒成立，即恒成立，

所以，

得，

所以，

所以，

令，

因为，

所以，从而，

所以，

令

当时，；

当时，，当且仅当即时，取等号，

所以，

综上所述的最大值为.

22．定义在上的函数满足下面三个条件：

①对任意正数a，b，都有；

②当时，；

③

(1)求和的值；

(2)试用单调性定义证明：函数在上是增函数；

(3)求满足的x的取值集合．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由赋值法求解，

（2）由单调性的定义证明，

（3）由函数的单调性转化后求解，

【详解】（1）令得，则，

而，

且，则；

（2）取定义域中的任意的，，且，所以，

当时，，所以，

所以，

所以在上为增函数．

（3）由条件①及（1）的结果得，，

所以，

所以，

所以，解得，

故x的取值集合为