2022-2023学年山东省青岛第二中学分校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

 2022-2023学年山东省青岛第二中学分校高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式得集合B，再求A与B的交集即可得解.

【详解】解不等式得，

于是得，

而，

所以.

故选：B

2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.

【详解】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；

对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；

对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；

对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.

故选：A.

3．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由给定函数有意义，列出不等式组求解即得.

【详解】函数有意义，则有，解得且，

所以原函数的定义域是.

故选：A

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件与必要条件判断即可.

【详解】解：，则“”是“”的充分不必要条件.

故选：C.

5．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性和单调性定义逐一判断.

【详解】A.为指数函数，为非奇非偶函数，A排除；

B.，定义域为，则，为偶函数，B排除；

C.在上单调递增，C排除；

D. ，定义域为，

则，为奇函数，

任取，

因为，，

，

，即

在区间上单调递减，D正确.

故选：D.

6．若函数为幂函数，则（    ）

A． B．函数的定义域为R

C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递减

【答案】D

【分析】根据函数为幂函数求出，然后利用幂函数的性质逐一判断即可.

【详解】因为函数为幂函数，

，解得，A错误；

，其定义域为，B错误；

，函数是偶函数，C错误

函数在区间上单调递减，D正确.

故选: D.

7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性比较大小．

【详解】∵是减函数，，

所以，

又，

∴．

故选：C．

8．函数，已知，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分段讨论后求解，

【详解】可化为或，解得或，

故选：B

二、多选题

9．若a、b、，，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由不等式的性质对选项逐一判断，

【详解】对于A，，则，故A正确，

对于B，若，则，故B错误，

对于C，若，则，故C错误，

对于D，由，，故，故D正确，

故选：AD

10．若集合，，且，则满足条件的实数a可以为（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】ABC

【分析】分和两类情况讨论即可求解.

【详解】，

当时，，满足；

当时，，

若，解得；

若，解得.

所以满足条件的实数a可以为.

故选：ABC

11．函数与在同一坐标系中的图像可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】可令，和三种情况讨论，先分析函数的图象性质，再分析函数的图象性质，观察选项是否符合．

【详解】当时，为奇函数，定义域为，且在上递减，而开口向下，对称轴为，，故A符合；

当时，为偶函数，且在上递增，开口向上，且对称轴为，，其图象和轴没有交点，故D符合；

当时，函数的定义域为，且在上递增，开口向上，且对称轴为，，图象和轴有两个交点，故C符合．

故选：ACD．

【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查二次函数图象性质、幂函数图象性质的运用，解答时，针对的不同取值，观察所给两个函数图象是否符合即可．

12．已知函数（，且），则下列结论正确的是（    ）

A．函数恒过定点

B．函数的值域为

C．函数在区间上单调递增

D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是

【答案】BC

【分析】根据函数解析式确定即可判断A；根据指数函数的值域来判断B；利用函数单调性定义及指数函数的性质即可判断C；分情况作图分析，求直线与函数的图像有两个公共点时，可得实数a的取值范围，可判断D.

【详解】解：已知函数（，且），则

对于A，，函数恒过定点，故A错误；

对于B，，则，所以，函数的值域为，故B正确；

对于C，任取，则，当时，函数单调递增，则，当，则恒成立，所以；当时，函数单调递减，则，当，则恒成立，所以，则恒成立，所以函数在区间上单调递增，故C正确；

对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示：

当时不合题意；时，需要，即，故D错误；

故选：BC.

三、填空题

13．已知指数函数的图象经过点，则______．

【答案】

【分析】设（且），根据函数过点，求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得.

【详解】解：设（且），则，所以，

即，所以.

故答案为：

14．写出命题“，”的否定______．

【答案】，

【分析】由全称命题的否定求解，

【详解】由题意得“，” 的否定是“，”

故答案为：，

15．函数的单调递增区间是______．

【答案】

【分析】根据复合函数的单调规律来判断.

【详解】设

因为在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，

故函数的单调递增区间是

故答案为：

16．已知偶函数在上单调递增，，若，则x的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用偶函数的性质将不等式变形为，可得出，解出该不等式即可.

【详解】偶函数在单调递增，，

且，则，

，即，解得.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）计算；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解；

（2）根据指数幂的运算性质即可求解.

【详解】（1）原式.

（2）因为，所以，

所以.

18．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．

(1)求函数的解析式；

(2)写出函数的单调区间和值域．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）直接根据偶函数的定义计算；

（2）利用二次函数的性质可得答案.

【详解】（1）因为函数是定义在R上的偶函数

当时，

；

（2）当时，，在上单调递减，在上单调递增；

此时有

当时，，在上单调递减，在上单调递增；

此时有

综合得函数的单调增区间为，，单调减区间为，，值域为

19．已知二次函数过坐标原点，且对任意实数x都有．

(1)求函数的解析式；

(2)在区间上，函数恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题目条件求出，，设，利用待定系数法求出，最终求出答案；

（2）化简得，设,，求出的范围，从而求出的取值范围.

【详解】（1）∵二次函数过坐标原点，

∴

根据对任意实数x都有

∴，

设

导入得

解得

∴

（2）根据化简得，

设,

∴

∴

20．某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，（万元），若每台电子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）.

(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)

(2)年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元.

【分析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本再减去年固定成本即可求解；

（2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大

【详解】（1）解：由题意可得：时，，

当时，

所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：

，

（2）解：由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为，

此时时，万元，

当时，，

当且仅当即时等号成立，（万元），

综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元.

21．已知函数为定义在R上的奇函数，且．

(1)求a、b的值；

(2)用定义证明函数在区间上的单调性．

【答案】(1)，；

(2)证明见解析.

【分析】（1）结合已知条件和奇函数的定义即得；

（2）利用单调性定义即可证明.

【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，

所以，即，

所以，可得，

所以，

又由，

可得；

（2）由题可知，

设，，且，

则

，

因为，

所以，，，

从而，即，

故在上单调递增.

22．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的“有上界函数”，其中称为函数的上界．已知函数．

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为“有上界函数”，请说明理由；

（2）若函数在上是以4为上界的“有上界函数”，求实数的取值范围．

【答案】（1）值域为，不是“有上界函数”；理由见解析；（2）

【分析】（1）把代入函数的表达式，令，可得，可求出的值域，即为在的值域，结合“有上界函数”的定义进行判断即可；

（2）由题意知，对恒成立，令，可得，整理得对恒成立，只需即可.

【详解】（1）当时，，

令，，，，

在上单调递增，，

即在的值域为，

故不存在常数，使成立．

∴函数在上不是“有上界函数”

（2）由题意知，对恒成立，

令，，，

对恒成立，即对恒成立，

设，易知在上递减，

在上的最小值为．

∴，

∴实数的取值范围为

【点睛】本题考查新定义，考查函数的值域与最值，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.