2022-2023学年上海市市北中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市市北中学高一上学期期中数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市市北中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．下列四个命题中，为真命题的是（    ）．A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】ABD可举出反例，C选项可利用作差法比较大小.【详解】A选项，当时，，A错误；不妨设，满足，，而，B错误；若，则，故，所以，故，C正确；不妨设，满足，此时，D错误.故选：C2．命题“对任意的，”的否定是（    ）．A．对任意的， B．对任意的，C．存在， D．存在，【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以D选项正确.故选：D3．若集合则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由题得}所以或，所以“”是“”的充分不必要条件，选A.4．设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意，，不等式的解集为，又，则解集中的整数为，，0，进而列出不等式求解即可得答案.【详解】解：关于x的不等式，即，∵，的解集中的整数恰有3个，∴，∴不等式的解集为，又，∴解集中的整数为，，0．∴，即，∴， ∵，∴，解得，综上，．故选：C． 二、填空题5．设全集，若集合，则______．【答案】【分析】根据补集的概念进行计算.【详解】.故答案为：6．已知集合、，则_______．【答案】【分析】根据交集的定义直接求解即可【详解】因为、，所以，故答案为：7．设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】根据题目条件得到，从而求出实数的取值范围.【详解】是的充分条件，故，所以，实数的取值范围为.故答案为：8．若关于的不等式的解集为，则______．【答案】-2【分析】将不等式解集问题转化为一元二次方程的两根问题，结合韦达定理求出，得到答案.【详解】由题意得：-1,3为方程的两根，故，解得：，故.故答案为：-29．已知集合，，则用列举法表示______．【答案】##【分析】通过解方程组求得.【详解】由解得或，所以.故答案为：10．若集合有且仅有一个元素，则实数的值是______．【答案】或【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的值.【详解】当时，，符合题意.当时，令，解得，综上所述，的值为或 故答案为：或11．已知，则关于的不等式的解集是______．【答案】【分析】根据绝对值不等式的解法、分式不等式的解法求得正确答案.【详解】依题意，，，所以或，即或，即或，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：12．设集合，若，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若的容量为奇（偶）数，则称为奇（偶）子集．若，则的所有奇子集的容量之和为______．【答案】47【分析】写出所有的奇子集，从而求出所有奇子集的容量之和.【详解】时，，含有一个元素的奇子集为，含有两个元素的奇子集为，含有三个元素的奇子集为，故所有奇子集的容量之和为.故答案为：47.13．研究问题：“已知关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(1，2)，解关于x的不等式cx2－bx＋a＞0”，有如下解法：由ax2－bx＋c＞0⇒a－b＋c＞0.令y＝，则y∈，所以不等式cx2－bx＋a＞0的解集为.类比上述解法，已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x的不等式＋＜0的解集为________．【答案】【分析】根据题意，将替换x可得所求的方程，并且可知∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出的解集.【详解】关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，用－替换x，不等式可以化为＋＝＋＜0，因为－∈(－2，－1)∪(2，3)，所以＜x＜1或－＜x＜－，即不等式＋＜0的解集为∪故答案为： ∪【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.14．定义区间的长度均为，其中．已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为            ．【答案】2【详解】试题分析：原不等式等价于．原不等式等价于．设，则．设的两个根分别为，结合数轴可得解集为由韦达定理，，所以满足条件的构成的区间的长度之和为 三、解答题15．解下列关于的不等式(1)(2)【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）整理得到，分，与三种情况进行求解不等式的解集；（2）利用零点分段法求解绝对值不等式.【详解】（1），即，当，即时，恒成立，故解集为R，当，即时，解得：，当，即时，解得：，综上：当时，解集为R；当时，解集为；当时，解集为.（2），当时，，解得：，与取交集得，当时，，解得：，与取交集得：，当时，，解得：，与取交集为，综上：不等式的解集为.16．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为Q．(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）解分式不等式，求出；（2）求出，由得到，分，与三种情况，列出不等式，求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，即，解得：，（2），解得：，解得：，故，因为，所以，，即，即，当，即时，，此时，满足要求，当，即时，，要想满足，则要，解得：，所以，当，即时，，要想满足，则要，解得：，所以，综上：，实数的取值范围是.17．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下，①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：）与游玩时间（小时）满足关系式：；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．(1)求当玩家游玩6小时时，求此时的累积经验值；(2)若玩家为保证累积经验值不低于60，分别求玩家最短游玩时间和可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间．【答案】(1)(2)玩家最短游玩时间为小时，可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间为小时. 【分析】（1）根据“防沉迷系统”的规则求得累积经验值.（2）根据“防沉迷系统”的规则求得“可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间”.【详解】（1）根据二次函数的性质可知，在区间上递增，当时，，当时，，当时，.（2）令，解得（负根舍去），故①当时，累积经验值不低于60.②当时，累积经验值，综上所述，玩家最短游玩时间为小时，可持续保证累积经验值始终不低于60的游玩时间为小时.18．命题：实数使得对于任意都成立；命题：集合，，且．(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题，中恰有一个真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）考虑与两种情况，结合开口方向和根的判别式列出不等式组，求出实数的取值范围；（2）求出，问题转化为有非负解，数形结合得到，分为真命题，为假命题，与为假命题，为真命题两种情况，求出实数的取值范围.【详解】（1）命题为真命题，当时，恒成立，满足要求，当时，要想对于任意都成立，需要满足，解得：，综上：，所以实数的取值范围是；（2）当为真命题时，，因为，所以有非负解，令，由于，且二次函数开口向上，故只需且，解得：，当为真命题，为假命题时，与取交集得：，当为假命题，为真命题时，与取交集得，综上：实数的取值范围是.19．若实数、、满足，则称比远离．(1)若比远离1，求的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数、，证明：比远离．【答案】(1)(2)证明详见解析 【分析】（1）根据“远离”的定义列不等式，由此求得的取值范围.（2）结合“远离”的定义以及差比较法证得结论成立.【详解】（1）依题意得，，两边平方得，解得或，即的取值范围是.（2）依题意知，，，，，，所以比远离．