2022-2023学年四川省内江市第六中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省内江市第六中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省内江市第六中学高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】化简集合A，进行交集运算即可.【详解】或，则.故选：B2．“”是“”成立的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由，即，解得，因为，即由推不出，即充分性不成立，由推得出，即必要性成立，所以“”是“”成立的必要不充分条件；故选：B3．已知全集为U，A，B是U的非空子集且，则下列关系一定正确的是（    ）A．，且 B．，C．，或 D．，且【答案】A【分析】根据集合之间的关系判断．【详解】A，B是U的非空子集，，中所有元素都属于的补集，因此当时一定有，A正确，B错误，D错误，不一定是全集，C错误．例如，，，可以判断ACD均错．故选：A．4．若，则下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意求得，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，，即，可得，所以，故A，B错误；由，可得，，则，故C错误；由，可得，故D正确．故选：D.5．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据集合的运算结果利用数轴分析并集如何实现为即可得出答案.【详解】解得集合或，，当，如图，所以．故选：B．6．实数a，b满足a＞0，b＞0且a＋b＝3，则的最小值是（   ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】令利用换元法得到，将转化为，最后利用1的代换求解即可.【详解】令则，所有，故选:D.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】先得出为真命题，再分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.【详解】由题意得：为真命题，当时，，满足要求，当时，要满足，解得：，综上：实数的取值范围是故选：C8．若关于x不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】根据二次不等式的解法可知－1和是方程的两个根，结合韦达定理求出a、b、c的关系，然后再利用二次不等式解法求解﹒【详解】解：化为，因为其解为，所以a＜0，且－1和是方程的两根，根据韦达定理得，①，②，∴①÷②得，∵a＜0，，∴b＞0，c＞0，∴化为，即，解得x＞4或x＜－1．故选：D 二、多选题9．图中矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，则图中的阴影部分可以表示为(    )A． B．C． D．【答案】AD【分析】分析图中阴影部分，结合集合交并补运算即可得到答案．【详解】易知图中阴影部分为M和的并集，故A正确；又也可表示图中阴影部分，故D也正确；选项B：表示的区域如图：选项C：；故AD符合题意，BC不符题意．故选：AD．10．下列选项中正确的是（    ）A．已知集合，若，则B．若不等式的解集为，则C．若集合满足，则满足条件的集合有8个D．已知集合，若，则的取值范围为【答案】CD【分析】根据集合的包含关系及集合元素的性质可判断A，根据二次不等式的解法可判断B，根据集合的关系及集合子集的个数可判断C，根据集合的包含关系可判断D.【详解】由，可知，所以或，解得或或，根据集合元素的互异性，可得或，故A错误；因为的解集为，所以，解得，故B错误；由，可知集合必有2,4，的个数为集合的子集数8个，故C正确；因为，，所以，故D正确。故选：CD.11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称中为正数a，b的算术平均数.为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．已知，且，则下列说法中正确的是（    ）A．有最大值为 B．有最小值为9C．有最小值为 D．有最小值为3【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合基本不等式与二次函数求解最值逐项判断即可.【详解】解：知，且，则，当且仅当时，等号成立，所以，则有最大值为，故A正确；又，当且仅当，即时等号成立，所以有最小值为9，故B正确；因为，所以，且，所以，则当时，有最小值为，故C不正确；又，当且仅当，即时等号成立，所以有最小值为3，故D正确.故选：ABD.12．已知有限集，如果中元素满足，就称为“完美集”下列结论中正确的有（    ）A．集合不是“完美集”；B．若是两个不同的正数，且是“完美集”，则至少有一个大于2；C．二元“完美集“有无穷多个；D．若，则“完美集”有且只有一个，且；【答案】BCD【分析】由“完美集”的定义即可判断A错误；由“完美集”的定义可知可以看成一元二次方程的两正根，则可得，则可判断B、C正确；设，由“完美集”的定义可知，结合，可知，，由此即可判断D正确.【详解】对于A选项：，，故，所以集合是“完美集”，故A错误；对于B选项：集合是“完美集”，设，则可以看成一元二次方程的两正根，则，解得：（舍）或，即，所以至少有一个大于2，故B正确；对于C选项：由B可知，一元二次方程当取不同值时，的值是不同的，因而二元“完美集”有无穷多个，故C正确；对于D选项：设，则，所以，又，所以，当时，，则，不合题意，当时，，所以只能是，由，代入解得，所以此时“完美集”只有一个，为，故D正确.故选：BCD. 三、填空题13．设，若集合，则____________．【答案】【分析】由集合中元素知，再利用集合中元素的互异性可求出，进而可得到答案.【详解】因为集合，所以，得，所以，则，所以.故答案为：.14．某班共有30名学生，在校运会上有20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，则两项都参加的人数为________.【答案】5【分析】设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，根据题意，可得、、中元素的数目，由集合间元素数目的关系计算可得答案.【详解】根据题意，设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，可得，（B），，所以（A）（B），所以两项都参加的有5人.故答案为：5.15．已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是_________；【答案】【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和三种情况，求出符合要求的实数a的取值范围.【详解】可变形为，因为，所以，其中，当时，开口朝下，不合题意；当时，，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去；当时，开口朝上，因为，所以不等式解集为，此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，则必有，所以，结合，所以，所以，综上：故答案为：. 四、双空题16．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4，AD＝3，那么当BM＝_____时，矩形花坛的AMPN面积最小，最小面积为 _____．【答案】          【分析】利用平行线分线段成比例得到，进而得到，再利用矩形面积公式与基本不等式即可得到答案.【详解】依题意不妨设，易知，故，即，即，故矩形的面积为 ，当且仅当，即时，等号成立，故当时，矩形的面积取得最小值为48.故答案为：；. 五、解答题17．已知集合,．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知确定集合，再根据集合的并集运算即可；（2）若“”是“”的必要不充分条件，则B是A的真子集，列不等式求解，即可得实数a的取值范围．【详解】（1）解：若，则，又所以；（2）解：，因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以，解得，所以实数a的取值范围是．18．已知集合．(1)当时，求；(2)若，求实数m的取值范围．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）求出集合，再由交集和补集的定义即可得出答案.（2）由，得，讨论当和，求出实数m的取值范围【详解】（1）当时，，则，故或（2）由，得；①当时，有，解得；②当时，有，解得．综上解得，实数m的取值范围是．19．已知函数．(1)求关于x的不等式的解集；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求出对应方程的根，再根据根的大小进行讨论，即可得解；（2）对任意的，恒成立，即恒成立，结合基本不等式求出的最小值即可得解.【详解】（1）解：由已知易得即为：，令可得与，所以，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；（2）解：由可得，由，得，所以可得，，当且仅当，即时等号成立，所以，所以的取值范围是.20．已知、、、.(1)试比较与的大小，并给出证明；(2)利用（1）的结论求函数的最大值.【答案】(1)，证明见解析.(2)函数的最大值为. 【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系；（2）利用（1）中的结论可得出，由此可求得的最大值.【详解】（1）解：，理由如下：，当且仅当时，等号成立.（2）解：因为，则，即，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，函数的最大值为.21．2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130．【解析】（1）可得出平均每万箱的成本为，再利用基本不等式可求；（2）可得利润为，利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）设生产万箱时平均每万箱的成本为，则，因为，所以，当且仅当，即时等号成立．所以，当时取到最小值，即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元．（2）设生产万箱时所获利润为，则，即，，即，所以，所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．22．已知集合，（1）当时，求（2）若集合问是否存在实数，使得且同时成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）不存在；理由见解析．【分析】（1）将代入，解方程组即可求解.（2）由题意可得有整数解，根据，由，联立不等式组即可求解.【详解】解：（1）当时，可知，则由得，解之得或，因为所以，，所以.（2）由于，则有解，即有整数解，由，①又由，得到，②由①②得，代入①②得，所以，．则解得，所以这样的实数不存在