2022-2023学年四川省遂宁中学校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

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四川省遂宁市船山区四川省遂宁中学2022～2023学年度上期半期考试高一数学考试时间：120分钟          满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.第Ⅰ卷（选择题   共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为，所以,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2. 已知，，则是的（   ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.【详解】由，可得出，由，得不出，所以是的充分而不必要条件，故选：A.3. 已知函数，若，则实数的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式求得，继而可得，可得，即可求得答案.【详解】由题意可得，故，所以，故选:A4. 下列函数中，满足“对任意，当时，都有的是（    ）A.  B. =C. = D. 【答案】C【解析】【分析】根据题设条件可得函数为上的减函数，结合反例或反比例函数的性质可得正确选项.【详解】因为对任意，当时，都有，故为上的减函数，对于A，，故不是上的减函数；对于B，，故不是上的减函数；对于C，由反比例函数的单调性可得是上的减函数；对于D，，故不是上的减函数；故选：C.5. 已知函数．则的值为（    ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，将代入，可得，故选：．6. 设是定义域为R的函数.命题“存在，”的否定形式是（    ）A. 任意， B. 任意，或C. 任意， D. 任意，或【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定直接求解即可.【详解】解：命题“存在，”的否定形式是“任意，或”.故选：D.7. 设则a，b，c的大小关系是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性判断大小关系，再根据幂函数在上的单调性，得大小关系，即可得结果.【详解】解：因为且函数在上单调递减，所以，即又函数在上单调递增，所以，即综上，.故选：A.8. 已知定义在R上的函数满足：且对任意有，若，则实数的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先由题给条件得到函数的单调性及奇偶性，进而得到关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围【详解】定义在R上的函数满足：，则有恒成立，则为R上的奇函数由对任意有可得为R上增函数则由，可得则有，解之得或故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 下列函数中为奇函数的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可求解.【详解】A.因为定义域为，关于原点对称，且，故函数为奇函数，所以A选项正确；B.函数定义域为，关于原点对称，且，故函数为奇函数，所以B选项正确；C.函数定义域为，关于原点对称，且，故函数为偶函数，所以C错误；D. 函数定义域，关于原点对称，且，故函数为奇函数，所以D正确，故选：ABD.10. 下列选项不正确的是（   ）A. 49的平方根为7； B. ；C. ； D. ．【答案】ACD【解析】【分析】根据平方根与算数平方根、绝对值、指数的基本运算，即可判断正误.【详解】解：对于A，49的平方根为，A选项错误；对于B，，B选项正确；对于C，，只有，C选项错误；对于D，，D选项错误；故选：ACD.11. 下列命题不正确的（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.【详解】A：且，因此，即，故本命题不正确；B：因为，显然不成立，所以本命题不正确；C：由，而，所以有，而，故本命题正确；D：若，显然成立，但是不成立，故本命题不正确，故选：ABD【点睛】方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法.12. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ）A. 若，，，则B. 若，，，则的最小值为C. 若，，，则的最小值为D. 若，，，则的最小值为2【答案】AD【解析】【分析】A.根据，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断；B. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断； C.由，得到，利用基本不等式求解判断.D. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断.【详解】A.因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确；B. 因为，，，令，则，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；C. 因为，，，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故错误；D. 令，则，，则，而，当且仅当，即时，等号成立，故正确；故选：AD第Ⅱ卷（非选择题   共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知,，则,的大小关系是 _____．【答案】【解析】分析】利用作差法直接比较大小.【详解】解：因为,所以所以.故答案为：.14. 已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.【答案】-1【解析】【分析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【详解】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.故答案为：-1.15. 若函数恒满足对称，则实数m的取值为______【答案】【解析】【详解】根据确定函数图象的对称轴，结合二次函数对称轴方程即可求得答案.函数恒满足对称，则图象关于直线对称，则，故答案为：16. 对任意的，使不等式恒成立，则的取值范围 __________.【答案】【解析】【分析】将不等式变形后看作为的一次函数，从而只需，解出答案.【详解】由题知，不等式即，设，则在上恒成立因为为一次函数，所以只需，即，解得或，所以的取值范围为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分（10+12×5）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数.（1）求的定义域；（2）计算.可参考：，其中，【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)根据偶次根式的被开方数大于等于零、分式分母不为零列出不等式组，解之即可；(2)判断变量是否有意义，然后代入计算即可.【小问1详解】要使函数有意义，则有，解之可得：函数定义域为，【小问2详解】因为，所以.18. 已知，（1）在所给坐标系中画出的图象；（2）直接写出的值域.【答案】（1）作图见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据分段函数作图，注意端点值的取舍；（2）根据值域的定义结合图象求解.【小问1详解】函数图象如下所示：小问2详解】当时，则；当时，则；结合图象可得：函数的值域为.19. 已知.（1）求ab的最大值；（2）求的最小值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）利用“1”的代换，将原式变形后再利用基本不等式求解即可.【小问1详解】因为，，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以ab的最大值为.【小问2详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.20. 已知函数．（1）判断并证明的奇偶性；（2）判断函数在上的单调性，并证明．【答案】（1）是奇函数，证明见解析    （2）在上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数定义域，然后利用函数奇偶性的定义即可证明；（2）根据函数单调性的定义证明即可.【小问1详解】解：是奇函数，证明：，其定义域为，关于原点对称，又由，所以是奇函数；【小问2详解】解：在上单调递增．证明：设，则因，所以，，则，即，所以在上单调递增.21. 吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？【答案】（1）    （2）70万盒【解析】【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.【小问1详解】当产量小于或等于50万盒时，，当产量大于50万盒时，，故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为【小问2详解】当时，；当时，，当时，取到最大值，为1200．                    因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．22. 给定函数．且用表示，的较大者，记为．（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；（2）若函数的最小值为，试求实数的值．【答案】（1），；（2）或．【解析】【分析】由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.【详解】由题意，当时，，当时，，∴（1）当时，，∴当时，，此时，当时，，此时，.（2），且对称轴分别为，①当时，即时，在单调递减，单调递增；，即，（舍去），②当，即时，在单调递减，单调递增；，有，故此时无解.③当，即时，在单调递减，单调递增； ，即，（舍去）综上，得：或.【点睛】关键点点睛：写出的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.