高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数课堂检测

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专题13 指数函数恒成立与求参

目录
【题型一】利用奇偶性单调性求参 1
【题型二】求参：指数换元一元二次型 4
【题型三】求参：指数换元对钩函数 5
【题型四】求参：指数换元双刀函数 7
【题型五】求参：指数型分段函数含参 8
【题型六】求参：指数函数求值域 10
【题型七】指数型超越函数解不等式 12
【题型八】指数型“倍增函数” 13
【题型九】指数型“放大镜函数” 15
【题型十】指数型“高斯函数” 18
【题型十一】指数型“复合二次型”求参 19
培优第一阶——基础过关练 21
培优第二阶——能力提升练 24
培优第三阶——培优拔尖练 28






【题型一】利用奇偶性单调性求参
【典例分析】
．已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（    ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式可得单调性和奇偶性，再利用性质可得答案.
【详解】当时，则，，
当时，则，，，所以为奇函数，
因为时为增函数，又为奇函数，
为上单调递增函数，的图象如下，
由得，
所以，即在都成立，即，解得.故选：D.
【变式训练】
1.定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得为偶函数，且在上单调递减，根据奇偶性及单调性可得对任意的恒成立，两边平方即可得到，再对分类讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解；
【详解】解：因为定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，，则当时函数在定义域上单调递减，，当时，函数在上单调递减，且当时，所以函数在上单调递减，当时函数图象如下所示：
因为对任意的，不等式恒成立，即恒成立，即，平方可得；
①当，即时，即，对任意的，所以，即，所以；
②当，即时，显然符号题意；
③当，即时，即，对任意的，所以，即，与矛盾；
综上所述，，即实数的最大值为；故选：B
2.已知函数是定义在上的奇函数，若不等式在上恒成立，则整数m的最大值为（    ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】首先根据是定义在上的奇函数，可得，即可求出的值，再利用的单调性脱掉可得可得在上恒成立，分离可得
，求得最大值即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以对于恒成立，
即，整理可得：，因为，所以，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以不等式即不等式，
可得在上恒成立，所以，令，则
令，，
因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以，即得，所以整数m的最大值为，故选：B
3.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围是（    ）
A．[2，5] B． C．[2，3] D．
【答案】A
【解析】利用的奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A，由二次函数的单调性求出在上的值域B，由题意知，列出不等式组求解即可.
【详解】当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，记，
，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
即当时，，记，
对于任意，存在，使得等价于，
所以，解得.故选：A

【题型二】求参：指数换元一元二次型
【典例分析】
已知函数，在的图像恒在轴上方，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意令，由则，则函数，则问题转化成在上恒成立，化简不等式恒成立，根据基本不等式可求的范围，再根据恒成立思想，可求参数取值范围.
【详解】令，则，函数化成。则函数，在图象恒在轴上方，可转化成在恒成立，故在恒成立，
则有。且。则，又在恒成立，
则故的范围故选：
【变式训练】
1.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将不等式整理为，令，根据二次函数性质可求得的最小值为，由此可得，解不等式可求得结果.
【详解】由得：，
令，则当时，，，
，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.
2.．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将时，不等式恒成立，转化为对一切恒成立，再，求得其最小值即可.
【详解】因为时，不等式恒成立，
所以对一切恒成立，令，
所以，解得.
3.已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（    ）
A．2－2