2023年高考数学压轴题--圆锥曲线专题 第08讲：三点共线问题（解析版）

这是一份2023年高考数学压轴题--圆锥曲线专题 第08讲：三点共线问题（解析版）

第八讲：三点共线问题【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，坐标的表示；应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线联立求解，并表示交点，向量，斜率等计算量；拓展目标：能够熟练掌握三点共线的表达和求解方法.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形和坐标等的分析，在一定程度上可以进行坐标的计算，达到解决解析几何的目的，因此在解析几何中的三点共线证明上，重点放在点的坐标的表示和计算中。解析几何证明三点共线的方法：（1）直接证明其中一点在过另两点的直线上；（2）证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等；（3）证明过其中一点和另两点所连两个向量共线.【考点剖析】考点一：证明三点共线例1．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.【答案】(1)；(2)证明见解析解析：(1)根据题意，解得.所以椭圆C的方程为：....(2)由（1）知，.根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.由，得.根据题意，恒成立，设则.直线的方程为，令，得，所以.因为，则直线的斜率分别为，.又，，，.所以，所以三点共线.变式训练1：已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)已知、分别是椭圆的左、右顶点，是直线上不与点重合的任意一点，是坐标原点，与直线垂直的直线与的另一个交点为.求证：、、三点共线.【答案】(1)；(2)证明见解析解析：（1）由题意可得，解得，因此，椭圆的方程为.（2）证明：设点的坐标为，其中，易知点、，，则直线的方程为，联立，可得，即点，，，则，因此，、、三点共线.变式训练2：已知椭圆的右焦点为，且经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于两点，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使.求证：三点共线.【答案】(1)；(2)证明见解析.解析：(1)依题意，椭圆的左焦点，由椭圆定义得：即，则，所以椭圆的标准方程为.(2)由(1)知，，直线不垂直y轴，设直线方程为，，由消去x得：，则，，直线的斜率，直线的方程：，而直线，即，直线的斜率，而，即，直线的斜率，直线的方程：，则点，直线的斜率，直线的斜率，，而，即，所以三点共线.变式训练3：如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．(1)若直线平分线段，求的值；(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．【答案】(1)；(2)最大值，；(3)证明见解析.解析：（1）由题设知，，，故，，线段中点坐标为．由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，；（2），，，设与平行的直线方程为，联立，得．由，解得：．由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，最大值．即面积有最大值，等于．由，解得，，点坐标为；（3）设，，，，中点，，则，，两式作差可得：，，即．，，即，．，，，即．，，故，，三点共线．考点二：已知三点共线（求坐标）例1．如图，已知椭圆E：（）的右焦点为，离心率，过F作一直线交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线：的垂线，垂足为C．（1）求椭圆的方程；（2）问：在轴上是否存在一个定点T，使得B，T，C三点共线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在；定点.解析：（1）由题意可知，，解得，，所以，所以椭圆E的方程为.（2）假设存在点，使得B，T，C三点共线.当斜率不存在时，连结交x轴于点T，因为，，所以，所以，又因为，所以，即.下面再证明当斜率存在时，B，T，C三点共线.证明：设，，则，，将：与，得，从而要证B，T，C三点共线，即证.，得证.所以在轴上是否存在一个定点，使得B，T，C三点共线.变式训练1：已知长轴长为的椭圆过点,点是椭圆的右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在轴上的定点,使得过点的直线交椭圆于两点，设为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.解析：(1)因为，所以，将点代入，得，所以椭圆的方程为.(2)存在点满足条件.设，直线方程为，，,则联立，消去，得，且，由三点共线，得，所以，所以解得.所以存在定点满足条件．变式训练2：已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定点为.解析（1）由题意，抛物线，可得焦点为，所以，又由双曲线的离心率为，可得椭圆的离心率，可得，解得，即椭圆的标准方程为.（2）由直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，其中，设点､，则点，联立直线与椭圆的方程，整理得，由恒成立，且，，由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，故假设存在定点，使得､､三点共线，则，即，可得.故存在定点，使得､､三点共线.变式训练3：已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.解析：（1）由于抛物线的焦点为，所以，双曲线的离心率为，故椭圆的离心率，由题意可得，解得，即椭圆的标准方程为；（2）由于直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，其中，设点、，则点，联立直线与椭圆的方程，消去并整理得，，由韦达定理得，，由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，故假设存在定点，使得、、三点共线，则，即，可得.故存在定点，使得、、三点共线.考点三：已知三点共线求参例1．已知椭圆C：（）的短轴长为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点是否存在实数（），使得直线：与直线的交点满足三点共线？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）;（2）存在，直线：解析：（1）由于短轴长为，所以，.又离心率，且，解得.所以椭圆C的标准方程为.（2）假设存在直线满足条件，设的方程为，且，.联立方程组，消去x可得，，，.由于，，所以直线的方程为，则：（）与直线的交点P的坐标为，且，.当，，三点共线时有与共线.所以，即.由于，所以，所以，解得，所以存在直线：满足条件.变式训练1：已知椭圆C：（）的右准线方程为，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线的斜率.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由题意知，直线的方程为，，右焦点F到直线的距离为，，又椭圆C的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，，椭圆C的方程为；（2）由（1）知，，直线的方程，联立方程组，解得或（舍），即，直线的斜率，所以三点共线时直线的斜率.变式训练2：设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)设直线与轴交于点，关于轴的对称点为.若三点共线，求证：为定值.【答案】(1)；(2)，证明见解析.解析：(1)令，则，∴双曲线的渐近线方程为.(2)①当直线MN的斜率不存在时，三点共线，满足题意；②当直线MN的斜率存在时，设为，则其方程为.设，则，联立，得，所以.因为三点共线，所以，即，即，所以，即，所以，化简得：，解得：为定值.变式训练3：已知椭圆的离心率为，为椭圆上任意一点，且已知.（1）若椭圆的短轴长为，求的最大值；（2）若直线交椭圆的另一个点为，直线交轴于点，点关于直线对称点为，且，三点共线，求椭圆的标准方程.【答案】（1）5；（2）解析：（1）由题意，∴，且，∴，所以，设，则∵，故当时，.（2）当斜率为时，三点共线；当斜率不为时，设直线，与椭圆，即联立得：，设，，则，，又由题知，，∴，故由三点共线得，即，∴，∴代入韦达定理得：，∴，，故椭圆方程为.考点三：已知三点共线求范围例1．已知椭圆：的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为，点的坐标为．（1）求椭圆的方程；（2）已知纵坐标不同的两点，为椭圆上的两个点，且，，三点共线，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）；（2）.解析：（1）∵椭圆：的离心率为，且过点，∴，解得，，∴椭圆的方程为；（2）依题意知直线过点，且斜率不为0，故可设其方程为，由，消去得，，设点，，，直线的斜率为，故，∴，∴，又点的坐标为，∴，当时，；当时，，∵，当且仅当时，等号成立，∴，∴，∴且；综上所述，直线的斜率的取值范围是．变式训练1：在平面直角坐标系中，的两个顶点，的坐标分别为，，平面内两点，同时满足以下3个条件：①是三条边中线的交点；②是的外心；③．（Ⅰ）求的顶点的轨迹方程；（Ⅱ）若点与（Ⅰ）中轨迹上的点，三点共线，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）设，，，因为是的外心，所以，所以在线段的中垂线上，所以．因为，所以．又是三条边中线的交点，所以是的重心，所以，，所以．又，所以，化简得（），所以顶点的轨迹方程为（）．（Ⅱ）因为，，三点共线，所以，，三点所在直线斜率存在且不为0，设所在直线的方程为，联立得．由，得．设，，则所以．又，所以，所以．故的取值范围为．变式训练2：如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点（，不同于）．（1）求椭圆的焦距；（2）设抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且、、三点共线，若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最小值．【答案】（1）2；（2）解析：（1）由椭圆的方程可得焦点坐标为，故焦距为2.（2）由抛物线方程可得，，由抛物线和椭圆的对称性可不妨设，则.设直线，则，由可得，故.设，则，所以即，所以，而，所以，因为直线不过原点，故，所以，故即，整理得到，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.故即，由可得，故，所以，所以，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.考点四：证明三点共线（充要条件）例1．已知椭圆方程为，右焦点为，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的两点，直线与曲线相切．证明：三点共线的充要条件是．【答案】（1）；（2）证明见解析.解析：（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为；（2）由（1）得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；当直线的斜率存在时，设，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：设直线即，由直线与曲线相切可得，所以，联立可得，所以，所以，化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是．变式训练1：已知平面内两点，动点P满足：.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.【答案】(1)；(2)证明见解析.解析：(1)因为.所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，所以轨迹C的方程为.(2)当直线的斜率不存在时，直线：，不合题意；当直线的斜率存在时，设，必要性：若三点共线，可设直线，即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以，所以必要性成立；充分性：设直线即，由直线与曲线相切可得，所以，联立可得，所以，所以，化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，三点共线，充分性成立；所以三点共线的充要条件是.变式训练2：已知椭圆的方程为，长轴长为，且离心率为.(1)求圆的方程；(2)过椭圆上任意一点作两条直线，与椭圆的另外两个交点为，，为坐标原点，若直线和直线的斜率存在且分别为和.证明：，，三点共线的充要条件是.【答案】(1)；(2)证明见解析解析：(1)由题意得：，，所以，，又，所以椭圆的方程为.(2)必要性：若，，三点共线，不妨设，，.则，，所以又因为，在椭圆上，所以①，②.①②两式相减得：，即.故;充分性：设，，，则①，②.①②两式相减得：，即.又因为，所以，整理得：所以，，三点共线，又因为点在椭圆上，所以点与点重合，显然点与点关于原点O对称，所以弦过原点，即，，三点共线.【当堂小结】1、知识清单：（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；（2）弦长最值的基本不等式求解；（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；2、易错点：弦长公式的计算，基本不等式的应用；3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1．已知椭圆的左右顶点分别记为、，其长轴的长为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）记的中点为，若动点的横坐标恒为，过点作∥交椭圆于点，直线交椭圆于点，求证：、、三点共线．【答案】（1）（2）见解析解析：（1）由题可知，；∴，，故所以椭圆方程为：（2）设的坐标为，，，,∴∴的方程为，代入椭圆方程，得故∴又∵，∴为代入椭圆方程，得∴，故，∴，故、、三点共线．2．过抛物线焦点的直线交于两点，为的准线，0为坐标原点.过做于，设.（1）求的值；（2）求证：三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.解析：（1）由题意可设直线，联立，化简得,.由题知为方程（*）的根，所以.（2）因为，又因为，由（1）可知，所以，所以，所以三点共线.2．已知椭圆（）的右焦点为，左右顶点分别为、，，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于、点，直线与轴的交点为，与直线的交点为.（1）求椭圆的方程；（2）若，求出点的坐标；（3）求证：、、三点共线.【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析解析：(1)由题，，，故圆的方程为(2)当时，易得，且相似比为,故.设，则，即，解得.将代入代入可得，故.故或(3)显然直线的斜率不为0，故设直线的方程为，.联立有，得，故.设，因为共线，故.又直线的斜率，直线的斜率.若、、三点共线则，即，化简得，代入韦达定理显然成立.故成立，故、、三点共线.3．如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为右焦点为，右准线的方程为，过焦点的直线与椭圆相交于点（不与点重合）.（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线的倾斜角为45°时，求弦的长；（3）设直线交于点，求证：三点共线.【答案】（1）（2）（3）见解析解析：（1）设椭圆C的焦距为2c．由题意得．又右准线l的方程为，所以，所以，，所以椭圆的标准方程为，（2）设，，因为直线的倾斜角为且过点，所以直线，联立，消去得，，所以，，所以；（3）由题意可得，，因为直线AB的斜率不为0，所以设直线，，，则直线，令，得，所以；要证，，三点共线，只需证，即证，即证；联立，消去x得，，所以，，所以，所以，，三点共线．4．已知抛物线，为其焦点，，三点都在抛物线上，且，设直线的斜率分别为.（1）求抛物线的方程，并证明；（2）已知，且三点共线，若且，求直线的方程.【答案】（1），证明见解析；（2）.解析：（1）由题抛物线，，且，根据抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线的方程为，且点，设点，可得，同理，，所以，，所以.（2）由，且三点共线，设直线的方程为，其中（），联立，消去得，则，，又由，解得或，因为，所以，解得，由（1）知，所以，且，所以，所以直线的方程为，即.5．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数（1）求动点的轨迹方程；（2）若过点作与坐标轴不垂直的直线交动点的轨迹于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在定点，使得三点共线．解析：（1）设，则，化简得故动点的轨迹方程为．（2）由题知且直线斜率存在，设为，则直线方程为由得设，则，由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上故假设存在定点，使得三点共线，则且又，即化简得将式代入上式得化简得故存在定点，使得三点共线．6．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，.解析：（1）设椭圆方程，抛物线的焦点为，所以又解得所以椭圆标准方程为（2）由题意，点，因为点在线段上，所以，设过点的直线方程为，代入椭圆方程并整理得，，设点，点，则，，，设中点，由，可得，所以，即，，整理得，，所以的取值范围为.（3）由（2）知，点和点关于轴对称，所以，设点，则，，当C、B、N三点共线时，即，所以，整理得，，由（2）知，，，，所以，所以定点.7．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是线段上的一个动点，且，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，.解析：（1）由椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点为，知：，而，∴由，可得：，即椭圆的标准方程为；（2）由（1）知：，则可设直线l为且，令，∴联立直线与椭圆方程，有，整理得，，则，∵，且，∴，而，，∴整理可得：，又，∴，即；（3）由（2），有，若存在使C、B、N三点共线，∴，由知：，∴，由（2）可知：，整理可得：，而且，故仅当时，有C、B、N三点共线.∴8．已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点，且.（1）分别求与的值；（2）点与点关于原点对称，点，是异于点的抛物线上的两点，且，，三点共线，直线，分别与轴交于点，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.【答案】（1），；（2）为定值，2.解析：（1）由已知得抛物线过点，所以，所以.即抛物线的方程为.设点，则，所以，于是得，即，将点的坐标代入圆的方程，得，所以.（2）设点，，由已知得，由题意直线斜率存在且不为，设直线的方程为，由得，由，得，即，因为，异于原点，所以，则，.因为点，在抛物线上，所以，，则，.因为轴，所以，所以的值为定值.9．设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若，求点纵坐标的值；（3）设直线与轴交于点关于轴的对称点为．若三点共线，求证：为定值．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．解析：（1）令则，∴双曲线的渐近线方程为．（2）由题意知，，设为，则，且，又，解得，所以点M纵坐标的值为（3）①当直线MN的斜率不存在时，其方程为与轴有无数个交点，不符合题意；②当直线的斜率存在时，设为，则其方程为，设，则，联立，得，所以，因为三点共线，所以，即，即，所以，即，所以，化简得，为定值，故命题得证．10．已知椭圆：过点，离心率为，点、分别为其左、右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若上存在两个点、，椭圆上有两个点、，满足、、三点共线，、、三点共线，且，若四边形的面积为，求直线的方程．【答案】（1）；（2）和．解析：（1）由题意得，可得：，，又因为，可得，，所以椭圆的标准方程为；（2）由（1）知：，①当直线斜率不存在时，直线的斜率为，易得，，不符合题意；②当直线斜率存在时，设直线方程为，与联立得．设，，则，，所以，因为，所以直线的方程为，将直线与椭圆联立，得．设，，则，，所以所以四边形的面积，所以，整理可得：，解得：，即．所以直线的方程为和．11．已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为.（i）证明：；（ii）若，设直线过点，直线过点，证明：为定值.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；解析：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知：，…①，双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点为，，解得：.在椭圆上，，即：…②，由①②解得：，，椭圆的标准方程为：.（2）由题意知：关于原点对称，则可设，，.（i）点在椭圆上，，，，，.（ii）不妨设，，，，，，直线过点，直线过点，直线，，由得：，，由得：，，，即，为定值.