北京市西城区2022-2023学年高三数学上学期1月期末考试试卷（Word版附答案）

北京市西城区 2022-2023 学年度第一学期期末试卷

高三数学

2023.1

第一部分（选择题 共 40 分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（ 1） 已知全集 U = { - 2， - 1，0，1，2，3}，集合 A = { x Z | x ≤ 2} ，则

（A）{－ 1，0，1} （B）{ － 2，2，3} （C）{ － 2， - 1，2} （D）{ －2，0，3}

（ 2） 设复数 z = 3 － i，则复数i ·z 在复平面内对应的点的坐标是

（A） （1，3） （B）（ －1，3） （C） （3，1） （D） （3， －1 ）

（ 3） 已知函数 ，则

（A）是奇函数，且在 上是增函数

（B）是奇函数，且在上是减函数

（C）是偶函数，且在上是增函数

（D）是偶函数，且在上是减函数

（ 4） 已知双曲线 C : ，则 C 的焦点到其渐近线的距离为

（A）   （B）   （C） 2 （D）3

（ 5） 设 ，且，则

（A）             （B）

（C）              （D）

（ 6） 在 △ ABC中，若 c = 4 ， b － a = 1， cos C = ，则 △ ABC的面积是

（A）1    （B）   （C）    （D）

（ 7）“ 空气质量指数（ AQI ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当 AQI 大于 200 时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0 ~ 24 时的空气质量指数 y 随时间 t 变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展 户外活动的时长至多为

（A） 5 小时 （B） 6 小时（C） 7 小时 （D）8小时

（ 8） 设， 均为锐角，则“ ” 是“>”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（ 9）在 △ ABC中， AC = BC = 1，∠ C= 90 0 .P 为 AB 边上的动点， 则的取值范围是

（A）                    （B）     （C）        （D）

（10）如图，正方形 ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直. Ω1 是正方形 ABCD 及 其内部的点构成的集合， Ω2 是正方形CDEF 及其内部的点构成的集合.设 AB = 1 ，给出下列三个结论：

① ，，使 MN = 2;

② ，，使 EM 土 BN;

③ ，，使 EM 与 BN 所成的角为600 .

其中所有正确结论的个数是

（A） 0             （B）1              （C） 2              （D）3

第二部分（非选择题 共 110 分）

二、填空题共5小题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》每小题5分，共25分。

（11）的展开式中常数项为_______.（用数字作答） ）

（12）已知抛物线的焦点为 F ，准线为l .则以点 F 为圆心，且与直线l 相切的圆 的方程是_______.

（13）已知{ an } 是等差数列， a1 = 5，且 a2 + 2， a3 + 4， a4+ 6成等比数列，则 a6 = _______; { an } 的前 n 项和 Sn =                    

（14）设函数= ，若 a = 2，则 的单调递增区间是_______；若 的值域为，则a的取值范围是________.

（15）人口问题是关系民族发展的大事.历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有 学者提出了“ Logistic model ”: ，其中 K ， r 0 ， x 0 均为正常数，且 K > x 0，该模型描述了人口随时间t 的变化规律.给出下列三个结论：

① x 0;

② 在上是增函数；

③ ， < K .

其中所有正确结论的序号是                                 .

三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题 13 分）

已知函数 .

（Ⅰ）求 的最小正周期；

（Ⅱ）若，且 > －1，求 x 的取值范围.

（17）（本小题 14 分）

如图，四边形 ABCD 为梯形， AB //CD ，四边形 ADEF 为平行四边形.

（Ⅰ）求证： CE //平面 ABF ;

（Ⅱ）若 AB ⊥平面 ADEF ， AF ⊥ AD，

AF = AD = CD= AB = 2，求：

（ⅰ）直线 AB 与平面 BCF 所成角的正弦值；

（ⅱ）点 D 到平面 BCF 的距离.

（18）（本小题 13 分）

近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计， 2021年12 月至 2022 年5 月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）:

（Ⅰ）从 2021年12 月至 2022 年5 月中任选1个月份，求该月 MPV 零售销量超过这 6 个月 该车型月度零售销量平均值的概率；

（Ⅱ）从2022 年1月至2022 年5 月中任选3个月份，将其中SUV 的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望 E X;

（Ⅲ）记 2021年12 月至 2022 年5 月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与 对应的 MPV 月度零售销量分别相加得到 6 个数据的方差为 ，写出 与的大小 关系.（结论不要求证明）

（19）（本小题 15 分）

如图，已知椭圆 ：的一个焦点为 F 1（0，1） ，离心率为 .

（Ⅰ）求椭圆 的方程；

（Ⅱ）过点F 1作斜率为 k 的直线交椭圆 E 于两点 A， B ， AB 的中点为 M .设O 为原点，射线OM 交椭圆E 于点C .当 △ ABC与 △ ABO的面积相等时，求k 的值.

（20）（本小题 15 分）

已知函数，其中.

（Ⅰ）当 a = 0时， 求曲线在点（1，）处的切线方程；

（Ⅱ）当 a > 0时，判断的零点个数， 并加以证明；

（Ⅲ）当 a < 0时，证明：存在实数m ，使≥ m 恒成立.

（21）（本小题 15 分） 已知 An : a1，a2，…an， （n ≥ 4） 为有穷数列.若对任意的，都有 ≤ 1 （规定 a0 = an），则称An 具有性质 P.

设 Tn =

（Ⅰ）判断数列 A4 :1，0.1，－1.2，－0.5，   A5 :1，2，2.5，1.5，2是否具有性质 P ?若具有性质 P，写 出对应的集合 Tn；

（Ⅱ）若A4具有性质 P ，证明：T4 ；

（Ⅲ）给定正整数 n ，对所有具有性质 P 的数列An ，求Tn 中元素个数的最小值.