浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析
浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在下面的表格内）．
1. 2017倒数是（ ）.
A. 2017 B. C. D.
2. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
3. 在半径为12cm圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A. 3 cm B. 27 cm C. 12 cm D. 6 cm
4. 如图，在一本书上放置一个乒乓球，则此几何体的俯视图是（　　）

A. B. C. D.
5. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 打开电视机，正在播广告，是必然
B. 在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30%
D. 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球
6. 若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）
A. （3，﹣6） B. （﹣3，6）
C. （﹣3，﹣6） D. （3，6）
7. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 某校开展“节约每一滴水”，为了了解开展一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月约节水情况．见表：
节水量/m3
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
家庭数/个
2
4
6
7
1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（　　）
A. 130m3 B. 135m3 C. 6.5m3 D. 260m3
9. 矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A. 点B、C均在圆P外； B. 点B在圆P外、点C在圆P内；
C. 点B在圆P内、点C在圆P外； D. 点B、C均在圆P内．
10. 已知函数y1＝kx＋b与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图
所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）

A. x＜－1或0＜x＜3 B. －1＜x＜0或x＞3
C. －1＜x＜0 D. x＞3
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．
12. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
13. 如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为_______________．

14. 二次函数y=﹣3（x﹣3）2+2是由y=﹣3（x+3）2_____平移得到的．
15. 如图，若BC∥DE，，S△ABC=4，则四边形BCED的面积S四边形DBCE=_____．

16. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中是真命题的为_____（填序号）．
17. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____．

18. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有_________（填序号）

三、解 答 题（共96分）
19. 化简求值：_________．（其中x满足）．
20. 没有透明口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）次任意摸出一个球（没有放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到没有同颜色球的概率．
21. 某学校有1500名学生参加首届“我爱我们的课堂”为主题的图片制作比赛，赛后随机抽取部分参赛学生的成绩进行整理并制作成图表如下：
频率分布统计表

频率分布直方图

分数段

频数

频率



60≤x＜70

40

0.40

70≤x＜80

35

b

80≤x＜90

a

0.15

90≤x＜100

10

0.10









请根据上述信息，解答下列问题：
（1）表中：a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）如果将比赛成绩80分以上（含80分）定为，那么率是多少？并且估算该校参赛学生获得的人数．
22. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，
教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．

(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)
23. 已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
(1)求证：DF与⊙O的位置关系并证明；
(2)求FG的长．

24. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．发现：单价是30元
时，月量是230件，而单价每上涨1元，月量就减少10件，但每件玩具
售价没有能高于40元． 设每件玩具的单价上涨了x元时（x为正整数），月利润
为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具售价定为多少元时，月利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月利润？的月利润是多少？
25. 已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G没有与正方形顶点重合，且在CD同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的四边形，并证明你的猜想．

26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（没有与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.


























浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在下面的表格内）．
1. 2017的倒数是（ ）.
A. 2017 B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据倒数的定义直接得出答案.
【详解】解：2017的倒数是，
故选C.
本题考查了倒数的概念，是基础题.
2. 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D.
【正确答案】B

【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
本题主要考查一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，本题关键在于求出a的值并根据一元二次方程的定义进行取舍．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
3. 在半径为12cm的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A. 3 cm B. 27 cm C. 12 cm D. 6 cm
【正确答案】C

【详解】设圆为⊙O，弦为AB，半径OC被AB垂直平分于点D，连接OA，如下图所示，则：

由题意可得：OA=OC=12cm，CO⊥AB，OD=DC=6cm
∵CO⊥AB
∴由垂径定理可得：AD=DB
在Rt△ODA中，由勾股定理可得：AD2=AO2﹣OD2，
AD==6cm，
∴AB=12cm
∴垂直平分半径的弦长为12cm
故选C.
4. 如图，在一本书上放置一个乒乓球，则此几何体的俯视图是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】从上面看可得到一个矩形里面有一个圆，
故选B．
5. 下列说法中，正确的是（　　）
A. 打开电视机，正在播广告，是必然
B. 在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是30%
D. 从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球
【正确答案】D

【详解】A、打开电视机，正在播广告，是随机，没有是必然，故该选项错误；
B、在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩没有稳定，而没有是稳定，故该选项错误；
C、某同学连续10次抛掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是，没有是30%，故该选项错误；
D、从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球，是必然，故该选项正确，故该选项错误；
故选D．
6. 若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）
A. （3，﹣6） B. （﹣3，6）
C. （﹣3，﹣6） D. （3，6）
【正确答案】A

【详解】
由图知A点的坐标为（6，3），
根据旋转O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
点A′的坐标是（3，﹣6）．故选A．
7. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】解：，
由①得：x≥1，由②得：x＜2，
在数轴上表示没有等式的解集是：，
故选D．
8. 某校开展“节约每一滴水”，为了了解开展一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月约节水情况．见表：
节水量/m3
0.2
025
0.3
0.4
0.5
家庭数/个
2
4
6
7
1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（　　）
A. 130m3 B. 135m3 C. 6.5m3 D. 260m3
【正确答案】A

【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
【详解】20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：400×0.325=130（m3），
故选A．
9. 矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A. 点B、C均在圆P外； B. 点B在圆P外、点C在圆P内；
C. 点B在圆P内、点C在圆P外； D. 点B、C均在圆P内．
【正确答案】C

【详解】∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD==7，
PC==9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．
点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断
10. 已知函数y1＝kx＋b与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图
所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）

A. x＜－1或0＜x＜3 B. －1＜x＜0或x＞3
C. －1＜x＜0 D. x＞3
【正确答案】B

【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（-1，3），（3，-1）．由图象可以直接写出当y1＜y2时所对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象知，函数y1=kx+b与反比例函数y2=的交点是（-1，3），（3，-1），
∴当y1＜y2时，-1＜x＜0或x＞3；
故选B．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
11. 如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．
【正确答案】1

【详解】解：∵x的方程x2-2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m=0
4-4m=0
m=1
故1
12. 某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
【正确答案】20%

【详解】分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
解答：解：设这个增长率是x，根据题意得：
2000×（1+x）2=2880
解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）
故答案为20%．
13. 如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为_______________．

【正确答案】26°

【分析】连接OA，则△PAO是直角三角形，根据圆周角定理即可求得∠POA的度数，进而根据直角三角形的性质求解．
【详解】解：连接OA．

∴∠PAO=90°，
∵∠O=2∠B=64°，
∴∠P=90°-64°=26°．
故26°．
本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得∠POA的度数是解题的关键．
14. 二次函数y=﹣3（x﹣3）2+2是由y=﹣3（x+3）2_____平移得到的．
【正确答案】向右平移6个单位，再向下平移2个单位．

【详解】新抛物线的顶点为（3，2），原抛物线的顶点为（﹣3，0），
∴二次函数y=﹣3（x+3）2的图象向右平移6个单位，再向下平移2个单位，便得到二次函数y=﹣3（x﹣3）2+2的图象，
故答案为向右平移6个单位，再向下平移2个单位．
15. 如图，若BC∥DE，，S△ABC=4，则四边形BCED的面积S四边形DBCE=_____．

【正确答案】

【详解】∵D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AB：AD=3：4，
∴S△ABC：S△ADE=9：16，
∴S四边形DBCE：S△ABC=7：9，
∵△ABC的面积为4，
∴四边形DBCE的面积为．
故答案为．
16. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中是真命题的为_____（填序号）．
【正确答案】①③④．

【详解】（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1是正确的，利用SAS判定即可；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1是错误的，SSA没有能判定两个三角形全等，角必须是夹角；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1是正确的，根据两对角相等的三角形相似判定即可；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1是正确的，根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定即可，
综上可知①③④，
故答案①③④．
17. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____．

【正确答案】

【分析】过点O作OCAB的延长线于点C，构建直角三角形ACO，利用勾股定理求出斜边OA的长，即可解答．
【详解】如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，

则AC=4，OC=2，
在Rt△ACO中，AO=，
∴sin∠OAB=．
故答案为．
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
18. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有_________（填序号）

【正确答案】①③

【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，
∴b=﹣4a＞0，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴x=﹣1时，a﹣b+c=0，
∴a+4a+c=0，
∴c=﹣5a，
∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴当x＜2时，函数值随x增大而增大，所以④错误．
故①③．
此题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象可知抛物线的对称轴为x=2，开口向下，以及抛物线与x轴交于点（-1，0），从而可判断所给的结论．
三、解 答 题（共96分）
19. 化简求值：_________．（其中x满足）．
【正确答案】1

【分析】原式项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：

=


，
则．
∴原式=．
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．

20. 没有透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）次任意摸出一个球（没有放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到没有同颜色球的概率．
【正确答案】（1）袋中黄球的个数为1个；（2）两次摸到没有同颜色球的概率为：P=．

【详解】（1）由题意可知袋中共有球的个数为4个．
（2）考查用画树状图或列表格的
方法求概率．
21. 某学校有1500名学生参加首届“我爱我们的课堂”为主题的图片制作比赛，赛后随机抽取部分参赛学生的成绩进行整理并制作成图表如下：
频率分布统计表

频率分布直方图

分数段

频数

频率



60≤x＜70

40

0.40

70≤x＜80

35

b

80≤x＜90

a

0.15

90≤x＜100

10

0.10









请根据上述信息，解答下列问题：
（1）表中：a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）如果将比赛成绩80分以上（含80分）定为，那么率是多少？并且估算该校参赛学生获得的人数．
【正确答案】（1）a＝15，b＝0.35；（2）如下图；（3）25℅，375


【详解】试题分析：（1）根据组的频数与频率可求出总的人数，然后根据第二组的频数和第三组的频率即可求出a和b的值；
（2）根据（1）中求出的a值，可补全频数分布直方图；
（3）率=第三组和第四组频率之和×；用总人数乘以率，计算即可得解．
（1）总的人数=40÷0.40=100人，
∵第二组的频数为35，
∴b=35÷100=0.35；
∵第三组的频率为0.15，
∴a=100×0.15=15；
（2）补全频数分布直方图如下所示：

（3）率=（0.15+0.10）×=25%，
1500×25%=375（人）．
考点：统计图的应用
点评：统计图的应用初中数学的，是中考必考题，一般难度没有大，需熟练掌握.
22. 如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，
教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．

(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)
【正确答案】（1）12m（2）27m

【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用，求出即可．
（2）利用Rt△AME中，，求出AE即可．
【详解】解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．

设AB为x．
在Rt△ABF中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x，
∴BC=BF＋FC=x＋13．
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，
又∵，∴，解得：x≈12．
∴教学楼的高12m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25．
在Rt△AME中，，
∴AE=MEcos22°≈．
∴A、E之间的距离约为27m．
23. 已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
(1)求证：DF与⊙O的位置关系并证明；
(2)求FG的长．

【正确答案】（1）证明见解析；
（2）FG的长为．

【详解】试题分析：（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．
试题解析：（1）连接OD，

∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，
∴∠B=∠C=∠ODB=60°，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，
∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，
∴DF是圆O的切线；
（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，
∴BD=OB=OD=6，
∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，
∵在Rt△CFD中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=×6=3，
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA=90°，
∵∠FAG=60°，
∴FG=AFsin60°=．
24. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．发现：单价是30元
时，月量是230件，而单价每上涨1元，月量就减少10件，但每件玩具
售价没有能高于40元． 设每件玩具的单价上涨了x元时（x为正整数），月利润
为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月利润？的月利润是多少？
【正确答案】（1）（且为正整数）；（2）所以每件玩具的售价定为32元时，月利润恰为2520元；（3）所以每件玩具的售价为36或37元时，可使月利润，的月利润为元

【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月量为（230-10x），然后根据月利润=一件玩具的利润×月量即可求出函数关系式；
（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，解方程求出x的值即可；
（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
y=（30+x-20）（230-10x）=-10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
函数关系式为y=-10x2+130x+2300(0＜x≤10且x为正整数)；
（2）当y=2520时，得-10x2+130x+2300=2520，
整理得，即，
解得x1=2，x2=11（没有合题意，舍去），
当x=2时，30+x=32（元），
答：每件玩具的售价定为32元时，月利润恰为2520元；
（3）根据题意得：
y=-10x2+130x+2300
=-10（x-6.5）2+2722.5，
∵a=-10＜0，
∴当x=6.5时，y有值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），
当x=7时，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得利润，的月利润是2720元．
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
25. 已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G没有与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别线段BC与线段AD上时．
①求证：DG=2PC；
②求证：四边形PEFD是菱形；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的四边形，并证明你的猜想．

【正确答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）四边形PEFD是菱形．理由见解析．

【详解】试题分析：（1）①作PM⊥DG于M，根据等腰三角形的性质由PD=PG得MG=MD，根据矩形的判定易得四边形PCDM为矩形，则PC=MD，于是有DG=2PC；
②根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形；
（2）与（1）中②的证明方法一样可得到四边形PEFD为菱形．
试题解析：（1）①作PM⊥DG于M，如图1，

∵PD=PG，
∴MG=MD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴PCDM为矩形，
∴PC=MD，
∴DG=2PC；
②∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∵四边形ABPM为矩形，
∴AB=PM，
∴AD=PM，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∴∠GDH+∠DGH=90°，
∵∠MGP+∠MPG=90°，
∴∠GDH=∠MPG，
在△ADF和△MPG中，,
∴△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF，
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形；
（2）解：四边形PEFD是菱形．理由如下：
作PM⊥DG于M，如图2，

与（1）一样同理可证得△ADF≌△MPG，
∴DF=PG，
而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF
而DF⊥PG，
∴DF∥PE，
即DF∥PE，且DF=PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形．
点睛：本题考查了四边形综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题.
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（没有与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.

【正确答案】（1）（2）①

②满足题意的点P有三个，分别是

【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）①利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答；
②分（i）点G在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角边”证明△APH和△GAO全等，根据全等三角形对应边相等可得PH=AO=2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，根据正方形的性质可得AP=FP，∠APF=90°，再根据同角的余角相等求出∠APM=∠FPN，然后利用“角边角”证明△APM和△FPN全等，根据全等三角形对应边相等可得PM=PN，从而得到点P的横坐标与纵坐标相等，再根据二次函数的解析式求解即可．
【详解】解：（1）令，则，解得，当时，，∴点A（2，0），B（﹣8，），把点A、B代入抛物线得，，解得：，所以，该抛物线的解析式；
（2）①∵点P在抛物线上，点D在直线上，∴PD=，∵PE⊥AB，∴∠DPE+∠PDE=90°，又∵PD⊥x轴，∴∠BAO+∠PDE=90°，∴∠DPE=∠BAO，∵直线解析式，∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，∴PE=PDcos∠DPE=PD，DE=PDsin∠DPE=PD，∴△PDE的周长为l=PD+PD+PD=PD==，即；∵，∴当x=﹣3时，值为15；
②∵点A（2，0），∴AO=2，
分（i）点G在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，∴∠PAH=∠AGO，在△APH和△GAO中，∵∠PAH=∠AGO，∠AHP=∠GOA=90°，AP=AG，∴△APH≌△GAO（AAS），∴PH=AO=2，∴点P的纵坐标为2，∴，整理得，，解得，∴点P（，2）或P（，2）；
（ii）点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，在正方形APFG中，AP=FP，∠APF=90°，∵∠APM+∠MPF=90°，∠FPN+∠MPF=90°，∴∠APM=∠FPN，在△APM和△FPN中，∵∠APM=∠FPN，∠AMP=∠FNP=90°，AP=AF，∴△APM≌△FPN（AAS），∴PM=PN，∴点P的横坐标与纵坐标相等，∴，整理得，，解得，（舍去），∴点P(，)．
综上所述，存在点P(，2)或P(，2)或P(，)．

考点：二次函数综合题．





浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的倒数是
A. B. C. D.
2. 如图，∠1＋∠2等于（ ）
A. 60° B. 90° C. 110° D. 180°

3. 下列运算正确的是（ ）
A. 2a+2a=2a2 B. （a3）3=a9 C. a2•a4=a8 D. a6÷a3=a2
4. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
5. 如图，正三棱柱的主视图为（ ）．

A. B. C. D.
6. 一个没有透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（　　）
A. B.
C. D.
7. 以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（　　）

A. （3，3） B. （5，3） C. （3，5） D. （5，5）
8. 速录员小明打2500个字和小刚打3000个字所用的时间相同，已知小刚每分钟比小明多打50个字，求两人的打字速度．设小刚每分钟打x个字，根据题意列方程，正确的是（　　）
A. B. C. D.
9. 在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表：
成  绩
45
46
47
48
49
50
人  数
1
2
4
2
5
1
这此测试成绩的中位数和众数分别为（    ）
A. 47, 49 B. 48, 49 C. 47.5, 49 D. 48, 50
10. 如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）

A. B. C. D.
11. 填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）

A. 110 B. 158 C. 168 D. 178
12. 一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定没有变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（　　）

A. B. C. D.
13. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．其中正确的结论有（）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
14. 如图，在直角坐标系中，直线y1＝2x－2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2＝(x＞0)交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA＝AD，则以下结论：①当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；②k＝4；③当0＜x＜2时，y1＜y2；④如图，当x＝4时，EF＝4.其中正确结论的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题：（本大题共5个小题.每小题3分，共15分）
15. 分解因式：ax2﹣4axy+4ay2=_____．
16. 计算：=_____．
17. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则=_______.

18. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_____．

19. 如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
如：（2+i）+（3﹣4i）=（2+3）+（1﹣4）i=5﹣3i，
（5+i）（3﹣4i）=5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4i2=19﹣17i
请根据以上内容的理解，利用以前学习的有关知识将（1+2i）（1﹣3i）化简结果为_____．
三、解 答 题（本大题共7小题，共63分）
20. 计算：．
21. 七年级教师对试卷讲评课中学生参与深度与广度进行评价，其评价项目为主动质疑、思考、专注听讲、讲解题目四项：评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均没有完整），请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）在这次评价中，一共抽查了________名学生；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为________度；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）如果全市有8600名七年级学生，那么在试卷评讲课中，“思考”七年级学生约有多少人？
22. 如图，海中一小岛有一个观测点A，某天上午观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．B处距离观测点30海里，若该渔船的速度为每小时30海里，问该渔船多长时间到达观测点A的北偏西60°方向上的C处？（计算结果用根号表示，没有取近似值）

23. 如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．

24. 为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体如下：
甲林场
乙林场
购树苗数量
单价
购树苗数量

单价
没有超过1000棵时
4元/棵
没有超过2000棵时
4元/棵
超过1000棵的部分
3.8元/棵
超过2000棵部分
3.6元/棵
设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）．
（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用　 　元，若都在乙林场购买所需费用为　 　元；
（2）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
25. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若没有成立，请说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①求证：BD⊥CF； ②当AB=2，AD=3 时，求线段DH的长．

26. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+cA（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．


























浙江省杭州市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的倒数是
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】∵(−)×(−)=1，
∴−的倒数是−.
故选D.
2. 如图，∠1＋∠2等于（ ）
A. 60° B. 90° C. 110° D. 180°

【正确答案】B

【详解】根据平角的定义得到∠1+90°+∠2=180°，即由∠1+∠2=90°．
解：∵∠1+90°+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°．
故选B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. 2a+2a=2a2 B. （a3）3=a9 C. a2•a4=a8 D. a6÷a3=a2
【正确答案】B

【详解】试题解析:A.故错误.
B.正确.
C. 故错误.
D. 故错误.
故选B.
点睛:同底数幂相乘,底数没有变,指数相加.同底数幂相除,底数没有变,指数相减.
4. 没有等式组解集在数轴上表示正确的是（　　）
A B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解没有等式得，解没有等式得，即没有等式的解集
为，根据数轴易得为B.
5. 如图，正三棱柱的主视图为（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：主视图是从物体的前面往后看到的平面图形，正三棱柱的主视图是矩形，中间有竖着的实线，故选B．
考点：几何体的三视图．

6. 一个没有透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【详解】根据题意可得：一个没有透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，共15个，摸到红球的概率为=，故选B．
7. 以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1，3），（4，0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（　　）

A. （3，3） B. （5，3） C. （3，5） D. （5，5）
【正确答案】D

【详解】如图，∵A为原点，D(4,0)，

∴AD=4−0=4，
∵B(1,3)，
∴点C的横坐标为1+4=5，
∴点C的坐标为(5,3)，
∴把平行四边形向上平移2个单位，
3+2=5，
所以，点C平移后的对应点的坐标是(5,5).
故答案为D.
8. 速录员小明打2500个字和小刚打3000个字所用的时间相同，已知小刚每分钟比小明多打50个字，求两人的打字速度．设小刚每分钟打x个字，根据题意列方程，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】设小刚每分钟打x个字,根据题意列方程得：=，
故选C.
9. 在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表：
成  绩
45
46
47
48
49
50
人  数
1
2
4
2
5
1
这此测试成绩的中位数和众数分别为（    ）
A. 47, 49 B. 48, 49 C. 47.5, 49 D. 48, 50
【正确答案】B

【详解】试题解析：测试的人数是15人，处于第8位的是48，所以中位数是48.
49的次数至多，众数是49.
故选B.
10. 如图，AB是⊙O的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，然后证明△OCE≌△BDE，得到求出扇形COB面积，即可得出答案．
【详解】解：设AB与CD交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，如图，

∴CE=CD=，∠CEO=∠DEB=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴∠OCE=30°，
∴，
∴，
又∵，即
∴，
在△OCE和△BDE中，
，
∴△OCE≌△BDE（AAS），
∴
∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，
故选D．
本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．
11. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（　　）

A. 110 B. 158 C. 168 D. 178
【正确答案】B

【详解】根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，
∵8=2×4−0，22=4×6−2，44=6×8−4，
∴m=12×14−10=158．
故选：B．
12. 一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定没有变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】分三段考虑：①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度增加；②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度没有变；③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加．
综合上述分析可知B选项中的图象符合题意．
13. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．其中正确的结论有（）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B

【详解】试题解析：如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴，
∴CF=2AF，故②正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 ，即b=，
∴tan∠CAD=．故④没有正确；
故选B．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
14. 如图，在直角坐标系中，直线y1＝2x－2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2＝(x＞0)交于点C，过点C作CD⊥x轴，且OA＝AD，则以下结论：①当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小；②k＝4；③当0＜x＜2时，y1＜y2；④如图，当x＝4时，EF＝4.其中正确结论的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C

【详解】对于直线y₁=2x−2，
令x=0,得到y=2;令y=0,得到x=1,
∴A(10),B(0,−2)，即OA=1，OB=2，
在△OBA和△CDA中,，
∴△OBA≌△CDA(AAS)，
∴CD=OB=2，OA=AD=1，
∴C(2,2)，
当x>0时,y₁随x的增大而增大,y₂随x的增大而减小；故①正确；
把C坐标代入反比例解析式得：k=4，故②正确；
由函数图象得：当0