2023高三数学二轮热点题型专项突破 专题02 以单调性为主导的函数性质探究

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函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式，同时单调性可以和函数的其他性质结合，提高了综合性和创造性．
学情解析
一轮复习重点：确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程:
（1）能画出图像的函数用图像法，其思维流程为
（2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数用转化法，其思维流程为
（3）利用导数法求解单调区间
本节复习重点
（1）在奇偶性、对称性、周期性的作用下单调性的判定
（2）对单调性的应用的梳理
考点解析
（1）单调性的判定（2）与奇偶性、对称性、周期性的交汇（3）单调性在不等式中的应用
（4）构造单调函数
分项突破
类型一、判断函数的单调性
例1-1利用复合函数判断单调性（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求出函数的定义域，再求出函数在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.
【详解】
在函数中，由得或，则的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：B.
例1-2利用奇偶性判定单调性（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则满足的m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得，即可解出，由奇函数的性质可得函数在上递增，再将等价变形为，然后根据单调性即可解出．
【详解】
依题意可得，解得，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又函数连续，故函数在上递增，
不等式即为，所以，解得．
故选：B．
练（2021·全国·高三月考（理））已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】
利用导数可判断函数在为增函数，再利用函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数，从而将转化为，进而可求出不等式的解集
【详解】
定义域为，
由题意，，
当时，，
故在为增函数.
因为，
所以为偶函数，故
即，
则，
故，
解得，
故原不等式的解集为.
故答案为：.
练．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性比较大小．
【详解】
解：令函数，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；
，当时，因为，所以，所以，即，所以在上为减函数，
，
因为，
所以，
即.
故选：B.
例1-3利用对称性判定单调性（2021·全国·高三期中）已知是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分析可知函数在为增函数，由已知条件可得，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】
当时，恒成立，则，
所以在为增函数.
又因为是偶函数，所以，，
即，所以，即.
故选：A.
例1-4利用周期性判定单调性．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（ ）
A．f0.又f（x）在区间（-∞，0）内单调递增，且f（x）为偶函数，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递减，所以f（lg23）