2023高三数学二轮热点题型专项突破专题20 立体几何中的探索性问题（新高考全国通用）

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立体几何中的探索性问题高考定位立体几何中的探索性问题是高考几何的一个难点，尤常见于新高考的多选题和解答题中，其题目特点是灵活性较强，需要相对丰富的空间想象能力及计算能力，对所研究几何体进行深入的剖析与推理。专题解析本专题研究解答题中的探索性问题：点的存在性（1）探索共面（2）探索线线平行与垂直（3）探索线面平行与垂直（4）探索面面平行与垂直（5）探索线面角定值与最值（6）探索面面角定值与最值（7）探索距离面积体积定值专项突破类型一、探索共面例1-1．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点.（1）求证：平面.（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.练. 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）当时，；（2）点在平面内．类型二、探索线线关系例2-1．在滨海文化中心有天津滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1.（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值；（3）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由.练．如图，为正三角形，半圆以线段为直径，是圆弧上的动点（不包括，点）平面平面．（1）是否存在点，使得？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由；（2），求直线与平面所成角的正弦值．例2-2．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的大小；（3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值．练．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面.（1）当为何值时，平面？证明你的结论；（2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围.例2-3．如图所示，在中，斜边，，将沿直线AC旋转得到，设二面角的大小为．（1）取AB的中点E，过点E的平面与AC，AD分别交于点F，G，当平面平面BDC时，求FG的长；（2）当时，求二面角的余弦值．（3）是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．练．如图，在四棱锥中，底面是平形四边形，设∠ABC=θ，平面，点为的中点，且，PA=AD=2．（1）若θ=45°，求二面角P-BC-A的正切值；（2）是否存在使PM⊥BD，若存在求出，若不存在请说明理由．例2-4（恒）．如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,且斜边AB=22,侧棱AA1=3,点为的中点,点在线段上,AE=λAA1(λ 为实数）.（1）求证：不论λ取何值时,恒有CD⊥B1E；（2）当λ=13时,求平面与平面所成二面角的余弦值.练．如图,四棱锥的底面是正方形,平面,,AD=2a，点是上的点,且DE=λa(0