湖南省长沙市长郡中学2022届高三下学期二模数学试题及参考答案

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长郡中学2022届模拟试卷（二）数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）A.  B.  C.  D. 2. 在复平面内,复数对应的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是（    ）A. 60 B. 160 C. 180 D. 2404. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（    ）A.  B.  C.  D. 5. 设等比数列满足，则的最大值为（    ）A 64 B. 128 C. 256 D. 5126. 已知是双曲线C两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 7. 已知函数的部分图像如图所示，则（    ）
 A. 函数的最小正周期是 B. 函数关于直线对称C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在区间上的最大值是8. 已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（   ）A.  B.  C.  D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，9. 2022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中错误的是（    ）A. 2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降B. 2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加C. 2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D. 2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率12.6%10. 已知向量，则下列命题正确的是（    ）A. 存在，使得 B. 当时，与垂直C. 对任意，都有 D. 当时，11. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于两点A，B，O为坐标原点，则（    ）A. C的准线方程为 B. 若，则C. 若，则l的斜率为 D. 过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分，则12. 已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（    ）A.  B. 平面C. 与所成角余弦值为 D. 动点P的轨迹长为第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13. 已知函数是奇函数，则__________.14. 从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.记事件A为“抽取到的两张卡片上的数奇偶性相同”，事件B为“两张卡片上的数字均为偶数”，则________.15. 已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________.16. 已知数列的前n项和（a为常数），则________；设函数且，则__________.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，（1）求角A的大小；（2）请在① ② 两个条件任选一个，求面积.（如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分）18. 已知数列满足，.（1）记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19. 某食品企业与甲、乙两超市签订了长期供应某种海鲜罐头的合同，每月供应一次，经调研发现：①每家超市的月需求量都只有两种：400件或600件，且互相不受影响；②甲、乙两超市的月需求量为400件的概率分别为，.（1）求两超市的月需求总量为1000件的概率；（2）已知企业对此罐头的供货价格为30元／件，生产此罐头的成本为：800件内（含800）为20元／件，超过800件但不超过1000件的部分为15元／件，超过1000件的部分为10元／件.企业拟将月生产量X（单位：件）定为800或1000或1200.若两超市的月需求总量超过企业的月生产量，则企业每月按月生产量供货，若两超市的月需求总量不超过企业的月生产量，则企业每月按月需求总量供货.为保障食品安全，若有多余罐头企业每月自行销毁，损失自负.请你确定的值，使该企业的生产方案最佳，即企业每月生产此罐头的利润的数学期望最大，并说明理由.20. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，.（1）证明：；（2）求当面与面所成的二面角的正弦值最小时，三棱锥的体积.21. 已知平面内两点，动点P满足：.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.22. 已知．其中，为自然对数的底数．（1）设曲线在点处的切线为l，若l与两坐标轴所围成的三角形的面积为，求实数a的值．（2）若，当时，恒成立时，求a的最大值．