初中数学中考复习 考点05 一次方程（组）及其应用（解析版）

这是一份初中数学中考复习 考点05 一次方程（组）及其应用（解析版），共19页。
在中考，主要考查一元一次方程和二元一次方程的解法，常以选择题、填空题和计算题考查为主；一次方程的实际应用常在解答题中与不等式、一次函数的实际应用结合考查。
【中考考查重点】
掌握等式性质
掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程
利用一次方程解决实际用题
考点一：等式性质及及在解方程中的应用
1．（2021秋•重庆月考）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+c＝b﹣cB．若a＝b，则ac＝bc
C．若a＝b，则2a＝3bD．若a＝b，则＝
【答案】B
【解答】解：A．根据等式两边加上或减去同一个数，等式仍然成立，那么由a＝b，得a+c＝b+c或a﹣c＝b﹣c，故A不符合题意．
B．根据等式两边乘以同一个数，等式仍然成立，那么由a＝b，得ac＝bc，故B符合题意．
C．若a＝b，则2a＝2b或3a＝3b，故C不符合题意．
D．当c＝0时不成立，故D不符合题意．
故选：B．
2．（2021•饶平县校级模拟）下列等式的变形正确的是（ ）
A．如果s＝vt，那么v＝B．如果x＝8，那么x＝4
C．如果﹣x﹣1＝y﹣1，那么x＝yD．如果a＝b，那么a+3＝3+b
【答案】D
【解答】解：A．当t＝0时，不能从s＝vt得出v＝，故本选项不符合题意；
B．∵x＝8，
∴两边都乘以2得：x＝16，故本选项不符合题意；
C．∵﹣x﹣1＝y﹣1，
∴方程两边都加1得：﹣x＝y，故本选项不符合题意；
D．∵a＝b，
∴a+3＝b+3，故本选项符合题意；
故选：D
考点二：解一元一次方程的步骤及注意事项（化归思想）
3．（2021•商河县校级模拟）解方程：
（1）3（x﹣4）＝2（x+5）；
（2）﹣1＝．
【答案】（1） x＝22 （2）y＝﹣
【解答】解：（1）3（x﹣4）＝2（x+5），
去括号得：3x﹣12＝2x+10，
移项得：3x﹣2x＝10+12，
合并同类项得：x＝22；
（2），
去分母得：3（3y+1）﹣6＝2（y﹣2），
去括号得：9y+3﹣6＝2y﹣4，
移项得：9y﹣2y＝﹣4+6﹣3，
合并同类项得：7y＝﹣1，
系数化为1得：y＝﹣．
4．（2020•凉山州）解方程：x﹣＝1+．
【答案】x＝2
【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），
去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，
移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，
合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
系数化为1，得：x＝2．
考点三：二元一次方程组的解法（消元思想）
5．（2021•福州模拟）解方程组：．
【答案】
【解答】解：①×2﹣②得﹣x＝﹣1，解得：x＝1，
把x＝1代入①中，得3﹣y＝1，解得：y＝2，
∴原方程组的解为．
6．（2021•闽侯县模拟）解方程组：．
【答案】
【解答】解：，
①×2+②，可得5x＝15，
解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y＝﹣1，
∴原方程组的解是．
7．（2011•乌鲁木齐）甲仓库乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．若设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨．
根据题意得：．
故选：C．
8．（2021•安徽模拟）受疫情影响，某公司2月份产值相比1月份下降80%，3月份开始回暖，达到1月份产值的70%，设该公司3月份相比2月份增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（ ）
A．80%（1+x）＝70%B．（1﹣80%）（1+x）＝70%
C．1﹣80%+x＝70%D．（1﹣80%）x＝70%
【答案】B
【解答】解：根据题意知：（1﹣80%）（1+x）＝70%．
故选：B．
9．（2021春•玉林期末）如图，八块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的宽等于（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．45cm
【答案】C
【解答】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
即每块小长方形地砖的宽等于15cm，
故选：C．
10.（2021•晋中模拟）某小区为了绿化环境，分两次购买A，B两种树苗，第一次购买A种树苗10棵，B种树苗20棵，共花费600元；第二次购买A种树苗25棵，B种树苗10棵，共花费1100元．（两次购买的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的单价分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】（1）
（2）A种树苗的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元
【解答】解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得，
答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，
∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，
∴42﹣t≤2t，
解得：t≥14，
∵t是正整数，
∴t最小值＝14，
设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，
∵k＞0，
∴W随t的减小而减小，
当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．
答：购进A种树苗的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
11．（2021•南昌模拟）某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，已知购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元．
（1）求甲、乙两种型号的空气加湿器每台的进价．
（2）超市根据市场需求，决定购进这两种型号的空气加湿器共60台进行销售，甲种型号每台售价260元，乙种型号每台售价190元，若超市购进的这两种空气加湿器全部售出后，共获利2800元，则该超市本次购进甲、乙两种型号的空气加湿器各多少台？
【答案】（1）
（2）甲种型号的空气加湿器40台，乙种型号的空气加湿器20台
【解答】解：（1）设甲种型号的空气加湿器每台的进价为x元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种型号的空气加湿器每台的进价为200元，乙种型号的空气加湿器每台的进价为170元．
（2）设该超市本次购进甲种型号的空气加湿器m台，则购进乙种型号的空气加湿器（60﹣m）台，
依题意得：（260﹣200）m+（190﹣170）（60﹣m）＝2800，
解得：m＝40，
∴60﹣m＝20（台）．
答：该超市本次购进甲种型号的空气加湿器40台，乙种型号的空气加湿器20台．
1．（2021秋•盐城月考）下列变形中错误的是（ ）
A．由x＝y，得x+5＝y+5B．由m＝n，得m﹣2＝n﹣2
C．由a＝b，得3a＝3bD．由mx＝my，得x＝y
【答案】D
【解答】解：A、等式x＝y两边都加5得x+5＝y+5，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、等式m＝n两边都减去2得m﹣2＝n﹣2，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、等式a＝b两边都乘3得3a＝3b，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、当m＝0时，不能由mx＝my得x＝y，原变形错误，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2021秋•雨花区校级期中）下列变形中，不正确的是（ ）
A．若3a＝3b，则a＝bB．若＝，则a＝b
C．若a＝b，则a+3＝b+3D．若a＝b，则＝
【答案】D
【解答】解：A．若3a＝3b，则a＝b，所以A选项不符合题意；
B．若＝，则a＝b，所以B选项不符合题意；
C．若a＝b，则a+3＝b+3，所以C选项不符合题意；
D．若a＝b＝1，c＝2，则≠，以D选项符合题意．
故选：D．
3．（2021春•鼓楼区校级月考）福州某机械厂加工车间有35名工人，平均每名工人每天加工大齿轮5个或小齿轮10个，已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有x名，则可列方程为（ ）
A．3×5x＝2×10（35﹣x）B．2×5x＝3×10（35﹣x）
C．3×10x＝2×5（35﹣x）D．2×10x＝3×5（35﹣x）
【答案】A
【解答】解：设加工大齿轮的工人有x名，则加工小齿轮的工人有（35﹣x）名，
依题意得：＝，
即3×5x＝2×10（35﹣x）．
故选：A．
4．（2020秋•金牛区期末）甲乙两地相距400千米，A车从甲地开出前往乙地，速度为60km/h，B车从乙地开出前往甲地，速度为90km/h．设两车相遇的地点离甲地x千米，则可列方程为（ ）
A．B．60x+90x＝400
C．D．
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
5．（2021•乌鲁木齐一模）某服装进货价为60元/件，商店提高进价的50%进行标价，现为回馈老顾客将此服装打 折销售，仍可获利20%．
【答案】8
【解答】解：设该服装应打x折销售，根据题意得：
60×（1+50%）×0.1x﹣60＝60×20%，
解得：x＝8．
故该服装应打8折销售．
故答案是：8．
6．（2021•福州模拟）解方程组：．
【答案】
【解答】解：，
①×2+②，得：7x＝7，
解得x＝1，
将x＝1代入①，得：3+y＝4，
解得y＝1，
所以方程组的解为．
7．（2021•桂林模拟）为了做好学校疫情防控工作，某中学开学前需备足防疫物资，准备购买N95口罩（单位：只）和医用外科口罩（单位：包）若干．根据标价，已知购买10只N95口罩和9包医用外科口罩共需236元，购买一只N95口罩的费用是购买一包医用外科口罩费用的5倍．
（1）求一只N95口罩和一包医用外科口罩的标价各是多少元？
（2）市场上现有甲、乙两所医疗机构对该中学的采购给出如下的优惠方案：甲医疗机构：购买的口罩按标价结算，但每购买一只N95口罩赠送一包医用外科口罩；乙医疗机构：购买的口罩全部按标价打九折结算．若该中学准备购买1000只N95口罩和6000包医用外科口罩，考虑配送成本等其他因素，只能一次性从其中一家采购，问选择哪所医疗机构更省钱？
【答案】（1） （2）乙医疗机构更省钱．
【解答】解：（1）设一只N95口罩x元，一包医用外科口罩y元，根据题意得，
，
解得：，
答：一只N95口罩20元，一包医用外科口罩4元；
（2）单独去甲医疗机构买总费用为：20×1000+4（6000﹣1000）＝40000（元）；
单独去乙医疗机构买总费用为：（20×1000+4×6000）×0.9＝39600（元）；
∵40000＞39600，
∴选择乙医疗机构更省钱．

1．（2011•枣庄）已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【答案】A
【解答】解：∵已知是二元一次方程组的解，
∴
由①+②，得a＝2，
由①﹣②，得b＝3，
∴a﹣b＝﹣1；
故选：A．
2．（2021•金华）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 ．
【答案】A
【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，
∴m＝2，
故答案为：2．
3．（2021•广元）解方程：+＝4．
【答案】x＝7
【解答】解：+＝4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
3x﹣9+2x﹣2＝24，
3x+2x＝24+9+2，
5x＝35，
x＝7．
4．（2021•桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
【答案】x＝3
【解答】解：4x﹣1＝2x+5，
4x﹣2x＝5+1，
2x＝6，
x＝3．
5．（2020•杭州）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】有错误；x＝﹣3．
【解答】解：圆圆的解答过程有错误，
正确的解答过程如下：
去分母，得：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．
去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
6．（2021•广州）解方程组．
【答案】
【解答】解：，
将①代入②得，x+（x﹣4）＝6，
∴x＝5，
将x＝5代入①得，y＝1，
∴方程组的解为．
7．（2021•眉山）解方程组：．
【答案】
【解答】解：方程组整理得：，
①×15+②×2得：49x＝﹣294，
解得：x＝﹣6，
把x＝﹣6代入②得：y＝1，
则方程组的解为．
8．（2021•娄底）为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；
（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．
【答案】（1）甲种纪念品需要10元，购买一个乙种纪念品需要5元
（2）7种购买方案，所花资金的最小值为770元
【解答】解：（1）设购买一个甲种纪念品需要x元，购买一个乙种纪念品需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一个甲种纪念品需要10元，购买一个乙种纪念品需要5元．
（2）设购买m个甲种纪念品，则购买（100﹣m）个乙种纪念品，
依题意得：，
解得：53≤m≤60，
又∵m为整数，
∴m可以为54，55，56，57，58，59，60，
∴共有7种购买方案．
设购买总费用为w元，则w＝10m+5（100﹣m）＝5m+500，
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝54时，w取得最小值，最小值＝5×54+500＝770．
答：共有7种购买方案，所花资金的最小值为770元．
9．（2021•宁夏）学校计划购买甲、乙两种品牌的羽毛球拍若干副．已知购买3副甲种品牌球拍和2副乙种品牌球拍共需230元；购买2副甲种品牌球拍和1副乙种品牌球拍共需140元．
（1）甲、乙两种品牌球拍的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买这两种品牌球拍共100副，要求乙种品牌球拍数量不超过甲种品牌球拍数量的3倍，那么购买多少副甲种品牌球拍最省钱？
【答案】（1） 甲种品牌球拍的单价是50元，乙种品牌球拍的单价是40元
（2）25副甲种品牌球拍最省钱
【解答】解：（1）设甲种品牌球拍的单价是x元，乙种品牌球拍的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种品牌球拍的单价是50元，乙种品牌球拍的单价是40元．
（2）设购买m副甲种品牌球拍，则购买（100﹣m）副乙种品牌球拍，
依题意得：100﹣m≤3m，
解得：m≥25．
设学校购买100副球拍所需费用为w元，则w＝50m+40（100﹣m）＝10m+4000．
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝25时，w取得最小值，
∴购买25副甲种品牌球拍最省钱．
10．（2021春•长沙期中）由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车的每辆的进价相同）．第一次用270万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第一次用128万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车10辆．
（1）求甲、乙两种型号汽车每辆的进价；
（2）经销商分别以每辆甲型号汽车8.8万元，每辆乙型号汽车4.2万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，设再次购进甲型汽车a辆，这100辆汽车的总销售利润为W万元．
①求W关于a的函数关系式；
②若每辆汽车的售价和进价均不变，该如何购进这两种汽车，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） 甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为7万元、3万元
（2）甲型汽车25辆，乙型汽车75辆，最大利润是135万元
【解答】解：（1）设甲种型号汽车的进价为a元、乙种型号汽车的进价为b元，
，
解得：，
即甲、乙两种型号汽车每辆的进价分别为7万元、3万元；
（2）①由题意得：购进乙型号的汽车（100﹣a）辆，
W＝（8.8﹣7）a+（4.2﹣3）×（100﹣a）＝0.6a+120，
乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，
∴100﹣a≥3a，且a≥0，
解得，0≤a≤25，
∴W关于a的函数关系式为W＝0.6a+120（0≤a≤25）；
②W＝0.6a+120，
∵0.6＞0，
∴W随着a的增大而增大，
∵0≤a≤25，
∴当a＝25时，W取得最大值，此时W＝0.6×25+120＝135（万元），100﹣25＝75（辆），
答：获利最大的购买方案是购进甲型汽车25辆，乙型汽车75辆，最大利润是135万元．
1．（2021•衡水模拟）下列等式变形正确的是（ ）
A．若2x＝1，则x＝2
B．若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2﹣1
C．若2x＝3，则x＝
D．若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝1
【答案】C
【解答】A、若2x＝1，则x＝，故本选项错误，不符合题意；
B、若4x﹣1＝2﹣3x，则4x+3x＝2+1，故本选项错误，不符合题意；
C、若2x＝3，则x＝，故本选项正确，符合题意；
D、若，则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2020•西湖区校级模拟）若a＝b+2，则下面式子一定成立的是（ ）
A．a﹣b+2＝0B．3﹣a＝b﹣1C．2a＝2b+2D．﹣＝1
【答案】D
【解答】解：∵a＝b+2，
∴a﹣b﹣2＝0，
所以A选项不成立；
∵a＝b+2，
∴3﹣a＝3﹣b﹣2＝1﹣b，
所以B选项不成立；
∵a＝b+2，
∴2a＝2b+4，
所以C选项不成立；
∵a＝b+2，
∴﹣＝1，
所以D选项成立．
故选：D．
3．（2021•锡山区一模）已知是方程2x﹣ay＝6的一个解，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【答案】B
【解答】解：把代入方程2x﹣ay＝6得：
4+a＝6，
解得：a＝2，
故选：B．
4．（2020•金坛区二模）若关于x，y的二元一次方程ax+by＝2有一个解是则代数式2a﹣2b+3的值是 ．
【答案】7
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程ax+by＝2有一个解是，
∴代入得：a﹣b＝2，
∴2a﹣2b+3＝2（a﹣b）+3＝7，
故答案为：7．
5．（2021•杭州模拟）解方程：
（1）2（x+1）＝1﹣（x+3）．
（2）+1＝．
【答案】（1）x＝﹣ （2）x＝﹣1
【解答】解：（1）去括号得：2x+2＝1﹣x﹣3，
移项合并得：3x＝﹣4，
解得：x＝﹣；
（2）去分母得：10x﹣14+12＝9x﹣3，
移项合并得：x＝﹣1．
6．（2020•凉山州）解方程：x﹣＝1+．
【答案】x＝2
【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），
去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，
移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，
合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
系数化为1，得：x＝2．
7．（2021•永定区模拟）解方程组：．
【答案】
【解答】解：，
①﹣②，得3y＝6，
解得y＝2，
将y＝2代入①，得x＝，
∴方程组的解为．
8．（2021•玉州区二模）解方程组：．
【答案】
【解答】解：，
①﹣②得：﹣2x＝﹣2，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1+2y＝7，
解得：y＝3，
所以原方程组的解为．
9．（2021•长沙模拟）至2020年，长沙市已经连续十四年获评最具幸福感城市为倡导“幸福生活，健康生活”，巩固提升幸福成果，某社区积极推进全民健身，计划购进A，B两种型号的健身器材100套，已知A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套600元、400元，且每种型号健身器材必须整套购买．
（1）若购买这两种型号的健身器材恰好支出46000元，求这两种型号的健身器各购买多少套：
（2）设购买A种型号的健身器材x套，且两种健身器材总支出为y元，求y关于x的函数关系式；
（3）若购买时恰逢健身器材店店庆，所有商品打九折销售，要使购买这两种健身器材的总支出不超过50000元，那么A种型号健身器材最多只能购买多少套？
【答案】（1） A型号建身器材30套，B型号建身器材70套 （2） y＝200x+40000；
（3）A种型号健身器材最多只能购买77套
【解答】解：（1）设购买A型号建身器材x套，B型号建身器材（100﹣x）套，
则600x+400（100﹣x）＝46000，
解得：x＝30（套），
100﹣30＝70（套），
答：购买A型号建身器材30套，B型号建身器材70套；
（2）设购买A种型号的健身器材x套，则购买B型号建身器材（100﹣x）套，总费用为y元，
则：y＝600x+400（100﹣x）＝200x+40000；
（3）打九折后，A器材的单价为600×0.9＝540元，B器材单价为400×0.9＝360元，
设购买A型号建身器材x套，B型号建身器材（100﹣x）套，
由题意得：540x+360（100﹣x）≤50000，
解得：x≤≈77.8，
∵x是正整数，
∴A型号建身器材最多购买77套．
答：A种型号健身器材最多只能购买77套．
等式性质及及在解方程中的应用
若
若a=b，则ac=bc(用于解方程中的去分母），
对称性：若a=b,则b=a
传递性：若a=b,b=c,则b=c
步骤
注意事项
去分母
不要漏乘不含分母的项（尤其是常数项），分子是多项式时注意添括号
去括号
方程中有括号时，先去括号，若括号前时负号，去括号内各项均要变号
移项
移项要变号
等号两边同除以未知数的系数
代入法
当方程中有一个方程的未知数的系数时1或-1，或有一个未知数是由另一个未知数的代数式表示时，选择代入消元法较简单
加减消元法
（1）当方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，采用加减消元法较为简单；
（2）当系数不相同也不互为相反数时，可通过找系数的最小公倍数，将系数变成相同或或互为相反数，采用加减消元法较为简单
去括号